Tw. Wektory są liniowo niezależne⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Dowód: ⇒ z założenia istnieje kombinacja λ1v1+...λnvn=0, gdzie λ≠0 wówczas λ1v1= - λ2v2 - ...- λnvn/ * 1/λ1
V1= - λ2/λ1*vn- ...-λn/λ1*vn⇐ niech v1=λ2*v2+...+λnvn wówczas v1-λ2*v2-...-λnvn=0 a to jest kombinacja nie trywialna.
Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią. Dowód: oznaczmy {vα} gdzie α∈A , Vα-podprzestrzeń niech V0= dla każdego α∈A Vα - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V0 jest podprzestrzenią? . niech v,w ∈V0 .czy λ1v+λ2w∈V0 , (λ1,λ2∈K)? Z założenia dla każdego α,v,w∈V0⊂Vα , a więc λ1v+λ2w∈Vα. A zatem λ1v+λ2w∈ dla każdego α∈A Vα=V0.
Tw. Wektory a1....an tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów. Dowód: ⇒niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w= α1a1+...αkak. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=β1a1+..+.βkak to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(α1-β1)a1+...+(αk-βk)ak. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α1-β1=α2-β2=...=αk-βk a więc α1=β1, α2=β2,...,αk=βk. ⇐ wystarczy pokazać, że wektory a1....an są liniowo niezależne. Niech α1a1+...αkak=0 ponieważ także 0*a1+...+0*ak=0, więc z jednoznaczności rozkładu α1=...=αk=0.
Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Dowód: niech f:V→V', g:V'→V'' będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).
Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0 Dowód:⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0∈ker(f) ⇐ przypuśćmy, że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w. otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0. stąd v-w∈ker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.
Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.
Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kn.
Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)
Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV
Podprzestrzeń:podzbiór V0⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn: 1.jeśli v,w∈V0⇒v+w∈V0 2.jeśli v∈V0, λ∈K⇒λ*v∈V0
Liniowa niezależność zbiór wektorów v1...vnnazywamy liniowo niezależny⇔ dla dowolnych λ1...λn∈K jeśli λ1v1+...λnvn=0 to λ1=...=λn=0
Wartość własna Dane jest odwz liniowe f:VV. Wektor V=/0 nazywamy wektorem własnym istnieje λ∈R takie że f(V)= λV. Wówczas liczbę λ nazywamy wartością własną.
Wektor własny macierzy A to taki wektor x, dla którego istnieje taka wartość λ, że zachodzi równość:A*(wektor)x= λ*(wektor)x
Wielomian charakterystyczny Niech A będzie macierzą kwadratową. Wielomian wA(λ)=det(λI-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.
Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy. Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P-1AP. Z równości det(P-1AP-λI)=det(P-1AP-P-1λP)=det(P-1(A-λI)A)=detP-1det(A-λI)detP=(detP)1det(A-λI)detP=det(A-λI) wynika niezależność od bazy.
Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry. Dowód: Zasadnicze twierdzenie algebry każdy wielomian o współczynnikach zespolonych
W(z)=a0zn+a1zn-1+...+an (a0,a1∈C, an≠0) posiada pierwiastki zespolone.
Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć W(z)=a0(z-z1)(z-z2)...(z-zn)
Tw. Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v1...vn są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne. Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ1, λ2 i wektory im odpowiadające v1,v2. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a1v1+a2v2=0, wówczas 0=f(a1v1+a2v2)=a1λ1v1+a2λ2v2 (*) z drugiej strony 0= λ2(a1v1+a2v2)=λ2a1v1+λ2a2v2 (**)
Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a1v1(λ1-λ2)=0, z założenia v1,v2 sa liniowo niezależne, a więc a1(λ1-λ2)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc (λ1-λ2)≠0 daje to a1=0 , a także a2=0.
Def:Sygnaturę formy kwadratowej nazywamy parą liczb (p,g) gdzie p=ilość di>0 q=ilość di<0.
Def:Formę kwadratową nazywamy dodatnio określoną f(x)>0 dla każdego x=/0 || ujemnie określoną f(x)<0 dla x=/0 || nieokreśloną f(x)>0 f(y)<0 dla pewnych x,y.
Tw. Kryterium Sylwestera Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)kdk>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)kdk≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)idi>0,(-1)jdj<0 dla pewnych i,j=1..k.
Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję: < , >:VxVR t,że: 1.<x,y+z>=<x,y>+<x,z> 2.< λx,y>=λ<x,y> 3.<x,y>=<y,x> 4.<x,x>>=0 oraz <x,x>=0x=0
Normą wektora v∈V nazywamy liczbę ||v||=det pierwiastek z<v,v>. Definicja poprawna bo <v,v>>=0
Nierównosc Schwarza. Dla dowolnych wektorów w przestrzeni unormowanej zachodzi
nierównosc | < x, y > | ≤ ||x|| ·|| y||. Ponadto równosc ma miejsce <=> wektory x, y sa
współliniowe
Kat między dwoma niezerowymi wektorami v i w określamy poprzez: cosfi=<x,y>/||x||*||y|| fi=arccos(<x,y>/||x||*||y||)
Tw Pitagorasa. Jesli v⊥w to ||v||2+||w||2=||v+w||2.
Dowód.||v+w||2=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=<v,v>+<w,w>=||v||2+||w||2
Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.
Tw. Każda przestrzeń posiada bazę
Tw.Każde dwie bazy są równoliczne
Tw. Baza=minimalny układ generatorów=maksymalny podzbiór liniowo niezależny
Wzór de Moivre'a zk=rk(coskα+isinkα)
Tw. Wektory są liniowo niezależne⇔ jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Dowód: ⇒ z założenia istnieje kombinacja λ1v1+...λnvn=0, gdzie λ≠0 wówczas λ1v1= - λ2v2 - ...- λnvn/ * 1/λ1
V1= - λ2/λ1*vn- ...-λn/λ1*vn⇐ niech v1=λ2*v2+...+λnvn wówczas v1-λ2*v2-...-λnvn=0 a to jest kombinacja nie trywialna.
Tw. Część wspólna podprzestrzeni jest podprzestrzenią. Dowód: oznaczmy {vα} gdzie α∈A , Vα-podprzestrzeń niech V0= dla każdego α∈A Vα - część wspólna. Jest to zbiór niepusty bo zawiera 0. Czy V0 jest podprzestrzenią? . niech v,w ∈V0 .czy λ1v+λ2w∈V0 , (λ1,λ2∈K)? Z założenia dla każdego α,v,w∈V0⊂Vα , a więc λ1v+λ2w∈Vα. A zatem λ1v+λ2w∈ dla każdego α∈A Vα=V0.
Tw. Wektory a1....an tworzą bazę przestrzeni V ⇔ element przestrzeni w∈V daje się przedstawić jednoznacznie jako kombinacja liniowa tych wektorów. Dowód: ⇒niech w ∈V z definicji bazy wynika, że istnieje w= α1a1+...αkak. jest to jedyny rozkład , bo gdyby istniał inny w=β1a1+..+.βkak to odejmując stronami uzyskalibyśmy 0=(α1-β1)a1+...+(αk-βk)ak. A zatem wobec liniowej niezależności wektorów α1-β1=α2-β2=...=αk-βk a więc α1=β1, α2=β2,...,αk=βk. ⇐ wystarczy pokazać, że wektory a1....an są liniowo niezależne. Niech α1a1+...αkak=0 ponieważ także 0*a1+...+0*ak=0, więc z jednoznaczności rozkładu α1=...=αk=0.
Tw. Złożenie dwóch odwzorowań liniowych jest odwzorowaniem liniowym. Dowód: niech f:V→V', g:V'→V'' będą liniowe. Wówczas gf(av+bw)=g(f(av+bw))=g(a(f(v)+bf(w))=a(gf(v)+b(gf(w)).
Tw. Odwzorowanie liniowe jest różnowartościowe⇔Ker(f)=0 Dowód:⇒ jeśli v∈ker(f) to f(v)=0, a więc z różnowartościowości v=0. a zatem tylko 0∈ker(f) ⇐ przypuśćmy, że f(v)=f(w). pokazujemy, że v=w. otóż f(v-w)=f(v)-f(w)=0. stąd v-w∈ker(f).a zatem v-w=0, daje v=w.
Tw. Dwie przestrzenie v,w są izomorficzne, gdy jest między nimi izomorfizm (tzn. Istnieje między nimi odwzorowanie liniowe , wzajemnie równoznaczne -różnowartościowe I „na”) dimv=dimw.
Tw. Przestrzeń liniowa V wymiaru n zbudowana nad ciałem K jest izomorficzna z przestrzenią liniową Kn.
Def. Rzędem odwzorowania liniowego f:v→w nazywamy wymiar obrazu rz(f)=dimf(v)
Tw. DimKer(f)+dimf(V)=dimV
Podprzestrzeń:podzbiór V0⊂V przestrzeni liniowej nazywamy podprzestrzenią ⇔ gdy jest zamknięty względem działań tzn: 1.jeśli v,w∈V0⇒v+w∈V0 2.jeśli v∈V0, λ∈K⇒λ*v∈V0
Liniowa niezależność zbiór wektorów v1...vnnazywamy liniowo niezależny⇔ dla dowolnych λ1...λn∈K jeśli λ1v1+...λnvn=0 to λ1=...=λn=0
Wartość własna Dane jest odwz liniowe f:VV. Wektor V=/0 nazywamy wektorem własnym istnieje λ∈R takie że f(V)= λV. Wówczas liczbę λ nazywamy wartością własną.
Wektor własny macierzy A to taki wektor x, dla którego istnieje taka wartość λ, że zachodzi równość:A*(wektor)x= λ*(wektor)x
Wielomian charakterystyczny Niech A będzie macierzą kwadratową. Wielomian wA(λ)=det(λI-A) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A.
Tw. Wielomian charakterystyczny przekształcenia nie zależy od bazy. Dowód: niech będzie dany w(λ)=det(A-λI), oraz nowa baza i macierz P od jednej bazy do drugiej, to w nowej bazie przekształcenie ma macierz P-1AP. Z równości det(P-1AP-λI)=det(P-1AP-P-1λP)=det(P-1(A-λI)A)=detP-1det(A-λI)detP=(detP)1det(A-λI)detP=det(A-λI) wynika niezależność od bazy.
Tw. Każda macierz rzeczywista posiada wartość własną zespoloną. Wynika to z zasadniczego twierdzenia algebry. Dowód: Zasadnicze twierdzenie algebry każdy wielomian o współczynnikach zespolonych
W(z)=a0zn+a1zn-1+...+an (a0,a1∈C, an≠0) posiada pierwiastki zespolone.
Wniosek: wielomian zespolony stopnia n posiada n pierwiastków, a zatem daje się rozłożyć W(z)=a0(z-z1)(z-z2)...(z-zn)
Tw. Niech f:V→V będzie odwzorowaniem liniowym. jeśli v1...vn są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym to są one liniowo niezależne. Dowód: ( dla n=2) przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n=2, niech odwzorowanie liniowe posiada wartości własne λ1, λ2 i wektory im odpowiadające v1,v2. pokażemy, że te wektory sa liniowo niezależne. Niech a1v1+a2v2=0, wówczas 0=f(a1v1+a2v2)=a1λ1v1+a2λ2v2 (*) z drugiej strony 0= λ2(a1v1+a2v2)=λ2a1v1+λ2a2v2 (**)
Odejmując stronami uzyskujemy (*)-(**)= a1v1(λ1-λ2)=0, z założenia v1,v2 sa liniowo niezależne, a więc a1(λ1-λ2)=0 ponieważ wobec założenia wartości własne sa różne więc (λ1-λ2)≠0 daje to a1=0 , a także a2=0.
Def:Sygnaturę formy kwadratowej nazywamy parą liczb (p,g) gdzie p=ilość di>0 q=ilość di<0.
Def:Formę kwadratową nazywamy dodatnio określoną f(x)>0 dla każdego x=/0 || ujemnie określoną f(x)<0 dla x=/0 || nieokreśloną f(x)>0 f(y)<0 dla pewnych x,y.
Tw. Kryterium Sylwestera Macierz symetryczna A stopnia n jest dodatnio określona⇔wszystkie minory główne są dodatnie, nieujemnie określona⇔wszystkie minory główne są nieujemne, ujemnie określona⇔(-1)kdk>0 dla każdego k=1,..,n, niedodatnio określona⇔(-1)kdk≥0 dla każdego k=1,..,n, nieokreślona⇔(-1)idi>0,(-1)jdj<0 dla pewnych i,j=1..k.
Iloczynem skalarnym nazywamy funkcję: < , >:VxVR t,że: 1.<x,y+z>=<x,y>+<x,z> 2.< λx,y>=λ<x,y> 3.<x,y>=<y,x> 4.<x,x>>=0 oraz <x,x>=0x=0
Normą wektora v∈V nazywamy liczbę ||v||=det pierwiastek z<v,v>. Definicja poprawna bo <v,v>>=0
Nierównosc Schwarza. Dla dowolnych wektorów w przestrzeni unormowanej zachodzi
nierównosc | < x, y > | ≤ ||x|| ·|| y||. Ponadto równosc ma miejsce <=> wektory x, y sa
współliniowe
Kat między dwoma niezerowymi wektorami v i w określamy poprzez: cosfi=<x,y>/||x||*||y|| fi=arccos(<x,y>/||x||*||y||)
Tw Pitagorasa. Jesli v⊥w to ||v||2+||w||2=||v+w||2.
Dowód.||v+w||2=<v+w,v+w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>=<v,v>+<w,w>=||v||2+||w||2
Tw. Wektory parami prostopadłe są liniowo niezależne.
Tw. Każda przestrzeń posiada bazę
Tw.Każde dwie bazy są równoliczne
Tw. Baza=minimalny układ generatorów=maksymalny podzbiór liniowo niezależny
Wzór de Moivre'a zk=rk(coskα+isinkα)