Zad1.

Niech
będzie przestrzenią probabilistyczną. Wskazać zdania prawdziwe: dla dowolnych zbiorów A, B
zachodzi

1. P(A
   B)=P(A)*P(B)

2. P(A
   B)
   P(B)

3. P(A
   B)
   P(A) + P(B)

4. P(A \ B) =P(A) - P(B)

Zad 2.

Doświadczenie polega na rzucie kostką do gry- rzucamy nią tak długo, aż wypadnie szóstka. Niech
oznacza zdarzenie, że za i-tym razem po raz pierwszy wypadła szóstka. Ocenić prawdziwość poniższych zdań:

1. 
   P(
   ) = 0

2. 
   P(
   ) = 1

3. P(
   ) =
   , dla każdego n
   

4. Zdarzenia
   są jednakowo prawdopodobne

Zad 3.

Ocenić prawdziwość poniższych zdań:

1. Każda zmienna ma skończoną wartość oczekiwaną.

2. Istnieją zmienne losowe, dla których nie istnieje skończona wartość oczekiwana

3. Istnieje zmienna losowa, dla której wszystkie momenty centralne są równe zeru

4. Wariancja sumy zmiennych losowych jest równa sumie wariancji tych zmiennych pod warunkiem, że wariancje istnieją i są skończone.

Zad 4.

W schemacie Bernoullego liczba doświadczeń wynosi 10, a prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p=0,7. Które z poniższych zdarzeń jest najbardziej prawdopodobne?

1. Uzyskanie 2 sukcesów

2. Uzyskanie 3 sukcesów

3. Uzyskanie mniej niż 2 sukcesów

4. Uzyskanie więcej niż 5 sukcesów

Zad 5.

Które z poniższych wykresów przedstawiają wykres dystrybuanty?

Zad 6.

Które z wykresów w zad 5. Przedstawiają wykres dystrybuanty rozkładu ciągłego?

Zad 7.

Które z wykresów w zad 5. Przedstawiają wykres dystrybuanty rozkładu dyskretnego?

W zad 8. Również wykres i pytanie o dystrybuantę, niestety odpowiedzi nie uchwyciło.

Zad 9,

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem
. Wskazać zdania prawdziwe:

1. P ( X = 0 ) = 0.5

2. PX=1 ////cholernie nieczytelne

3. P ( X = 1 ) = 0.5

4. P ( |X - 1|
   2 ) = 0.25

5. P(X
   t)-> 1 gdy t->
   

Zad 10.

Zdarzenia losowe
są niezależne i każde z nich ma rozkład N(0,1). Które z poniższych zdań są prawdziwe:

1. 
   
   N(0,1)

2. E(
   ) = 0

3. E(
   ) = 1

4. E(
   ) = 1

5. E(n
   ) = n - 1

6. Cov(
   ) = 0

7. 
   + … +
   ma rozkład ?? kwadrat o n stopniach swobody

8. 
   ma rozkład Studenta o 9 stopniach swobody

9. 
   ma rozkład Studenta o 3 stopniach swobody

10. E(
    ) = 0

Zad 11.

Zmienne losowe
są niezależne i mają ten sam rozkład, przy czym E
,
, istnieją dla każdego i
N oraz E
= m,
=
> 0. Które z poniższych zdań są prawdziwe:

1. P(|
   - m| < 3) -> 0, gdy n->
   

2. P(|
   - m| < 1) -> 1, gdy n->
   

3. P(|
   - m|
   1)
   
   

4. P(
   
   3) -> 0 gdy n->
   

5. P(
   > 0) ->
   gdy n->
   

Zad 12.

Poziom istotności testu jest to prawdopodobieństwo:

1. Popełnienia błędu I rodzaju

2. Odrzucenia hipotezy fałszywej

3. Przyjęcia hipotezy prawdziwej

4. Odrzucenia hipotezy prawdziwej

Zad 13.

Czterech koszykarzy amatorów ćwiczyło rzuty za 3 punkty. Pierwszy z nich trafił za drugim razem, drugi za trzecim, trzeci- za czwartym, a czwarty za pierwszym. Zakładając dla wszystkich graczy jednakową celność, metodą największej wiarygodności wyznaczono estymator p nieznanej wartości p. Oceń prawdziwość poniższych zdań:

1. p < 0,5

2. p < 0,4

3. p = 0,4

4. p
   0,5

Zad 14.

Z pewnej populacji w której iloraz inteligencji posiada rozkład N(m,10), wybrano losowo 10000 osób, zbadano ich iloraz inteligencji otrzymując średnią 123,5, a następnie na poziomie istotności
= 0,1 przetestowano tezę
: m = 124, przy alternatywie
: m < 124. Oceń prawdziwość poniższych zdań:

1. Wynik testu sugerował odrzucenie
   na korzyść
   

2. Wynik testu świadczył o tym, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
   

3. Nie byłoby podstaw do odrzucenia
   , gdyby
   było równe
   

---