Równania różniczkowe zwyczajne rzędu I-go

jednorodne typu:

Przykład 1

(1)

Rozwiązanie:

(2)

Podstawienie:

(3)

Dzielimy obie strony równania (3) przez iloczyn (x²-1)(y²+1):

(4)

Całkujemy obie strony równania (4), w którym zmienne x oraz y zostały rozdzielone:

(5)

Całkę lewej strony równania (5) mnożymy przez ½, a jej funkcję podcałkową przez 2:

(6)

Wykorzystujemy do lewej strony równania (6) własność
, a do prawej
:

(7)

Modyfikujemy stałą C₀ w równaniu (7):

(8)

Obie strony równania (8) mnożymy przez 2 i wykorzystujemy do prawej strony własność (a,b>0) ⇒ ( lna + lnb = ln(ab) ) :

(9)

Korzystamy z twierdzenia o równości logarytmów, tzn.

(a,b>0 ∧ lna=lnb) ⇔ (a=b) i z własności bezwzględnej wartości
:

(10)

Mnożymy obie strony równania (10) przez
i otrzymujemy całkę ogólną równania różniczkowego (1) w następującej postaci:

CORR.

(11)

---