Okres bazowy to okres, po którym następuje kapitalizacja odsetek.

Kapitalizacja odsetek jest to dodawanie odsetek do kapitały i naliczanie odsetek po danym okresie od kwoty, która była na koncie poprzednio.

Strumień pieniężny jest to ciąg kwot pieniężnych umieszczonych w różnych momentach czasowych.

Dyskontowanie jest to liczenie wartości obecnej pieniądza.

Wartość przyszła- suma wartości przyszłych wszystkich kwot tworzących strumień

Wartość obecna- suma wartości obecnych wszystkich kwot tworzących strumień

Równanie bankierów - kwota kredytu musi być równa obecnej wartości strumienia utworzonego przez płatności.

Pochodna funkcji: Jeżeli ta granica istnieje i jest właściwa to nazywana jest pochodną funkcji f w punkcie x_o

Granica lewostronna: jeżeli istnieje i jest właściwa to nazywana jest pochodną lewostronna funkcji f w punkcie x_o

Granica prawostronna: jeżeli istnieje i jest właściwa to nazywana jest pochodną prawostronną funkcji f w punkcie x_o

Funkcja f posiada w x_o pochodną <=> posiada w tym punkcie pochodną lewo i prawostronną i pochodne te są równe w x_o

MAX: Funkcja f(x) posiada w punkcie x_o maximum lokalne <=> istnieje sąsiedztwo punktu x_o takie, że dla każdego argumentu x z tego sąsiedztwa f(x)≤f(x_o).

MIN: Funkcja f(x) posiada w punkcie x_o minimum lokalne <=> istnieje sąsiedztwo punktu x_o takie, że dla każdego argumentu x z tego sąsiedztwa f(x)≥f(x_o).

Min i Max właściwe: wystarczy powyższe nierówności nieostre zastąpić nierównościami ostrymi.

Twierdzenie o warunku koniecznym: Jeżeli f(x) jest ciągła w punkcie x_o i posiada w tym punkcie ekstremum to posiada w x_o pochodną, która przyjmuje w nim wartości „0” lub nie posiada w x_o pochodnej.

Twierdzenie o warunku dostatecznym: Jeżeli f(x) jest ciągła w x_o i posiada w jego sąsiedztwie pochodną i pochodna ta w sąsiedztwie x_o zmienia znak to w punkcie x_o posiada ekstremum: +/- max; -/+ min

Wypukłość: Funkcja f(x) ma w pewnym przedziale wykres wypukły <=> w każdym punkcie tego przedziału styczna poprowadzona do wykresu nie leży powyżej wykresu. Jeżeli dla każdego x€ X f'(x)<0 to funkcja jest wypukła.

Wklęsłość: Funkcja f(x) ma w pewnym przedziale wykres wklęsły <=> w każdym punkcie tego przedziału styczna poprowadzona do wykresu nie leży poniżej wykresu. Jeżeli dla każdego x€ X f'(x)>0 to funkcja jest wklęsła.

Warunek konieczny istnienia punktu przegięcia: Jeżeli funkcja jest ciągła w x_o i posiada w nim punkt przegięcia to posiada w x_o f'', która przyjmuje wartość równą „0” lub funkcja w x_o nie posiada.

Warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia: Jeżeli funkcja jest ciągła w x_o i posiada w jego sąsiedztwie f'', która zmienia w tym sąsiedztwie swój znak to w x_o posiada punkt przegięcia.

Asymptoty: Pionowa- Prostą o równaniu x = x_o nazywamy asymptotę pionową lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji <=> lim_x→xo- f(x)=±∞ lim_x→xo+ f(x)= ±∞

Ukośna- Prosta o równaniu y=ax+b jest asymptotą ukośną (poziomą gdy a=0) lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji <=> lim_x→-∞f(x)ax-b=0 lim_x→+∞f(x)ax-b=0

Prosta o równaniu y=ax+b jest asymptotą ukośną lewostronną (prawostronną) wykresu funkcji f(x) <=> gdy istnieją skończone granice

Całką nieoznaczoną- f(x) nazywamy rodzinę jej funkcji pierwotnej ∫f(x)dx= F(x) + c

Całkowanie- to proces liczenia funkcji z pochodnej f'(x) => f(x)

Funkcja pierwotna- funkcja F(x) funkcji f(x) w przedziale x <=> dla każdego x€ X F'(x)=f(x)

Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną f(x) to:

• F(x) + C jest również funkcją pierwotną funkcji f(x)

• każdą funkcję pierwotną G(x) można przedstawić G(x)=F(x) + C_o

Całkowanie przez części- Jeżeli funkcja U(x) oraz V(x) mają ciągłe pochodne to prawdziwy jest wzór nazywany wzorem na całkowanie przez części

∫U(x)*V'(x)dx = U(x)∙V(x)-∫V(x)∙U'(x)dx

Całkowanie przez podstawianie- Jeżeli funkcja g(x) ma ciągłą pochodną w przedziale x i przekształca ten przedział na t, na którym określona jest ciągła funkcja f(t) to stosujemy wzór na całkowanie przez podstawianie ∫f(g(x))∙g'(x)dx = ∫f(t)dt t=g(x)

Różniczka funkcji- jest to iloczyn pochodnej funkcji i przyrostu jej argumentu (dx)

Całka oznaczona- Jeżeli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału <a,b> odpowiadający mu ciąg sum całkowych Riemanna dąży do tej samej granicy niezależnie od sposobów wyborów punktów to tą granicę nazywamy całką oznaczoną Riemanna funkcji f w przedziale <a,b> i oznaczamy symbolem _a∫^bf(x)dx a-dolna granica, b-górna granica

Ciąg podziału przedziału- ciąg podziału <a,b> nazywamy ciągiem normalnym podziału <=> odpowiadający mu ciąg średnic dąży do „0”

Własności całki Riemanna- 1)jeżeli funkcje f i g są całkowalne w <a,b> to:

2)jeżeli funkcja f jest całkowalna w <a,b> to całka:

3)jeżeli funkcja f jest całkowalna w <a,b> i punkt „c” należy do przedziały to:

4)całka

5)jeżeli f jest całkowalne w <a,b>

Twierdzenie Newtona-Leibnica- Jeżeli F(x) jest jakąkolwiek funkcją pierwotną funkcji ciągłej to:

Macierz- macierzą o -m- wierszach i -n- kolumnach nazywamy funkcję -a-, która przyporządkowuje każdej parze liczb (i;j) gdzie i€ {1,2,…,m}, j€ {1,2,…,n}

Macierz kwadratowa- ilość wierszy równa się ilości kolumn

Macierz prostokątna- odwrotnie niż wyżej

Macierz diagonalna- to taka, która poza przekątną posiada same zera

Macierz jednostkowa- to macierz diagonalna, która ma przekątną z samych jedynek

Iloczyn macierzy A∙B- (liczba kolumn macierzy A) = (liczba wierszy macierzy B)

zatem: A_{m ∙ p} ∙ B_{p ∙ n} = C_{m ∙ n}

Wyznacznik- jest to liczba przyporządkowana jednoznacznie macierzy kwadratowej. Liczymy tylko z macierzy kwadratowej.

Minor- M_ij macierzy -a- nazywamy wyznacznik macierzy, który powstaje z macierzy -a- w wyniku usunięcia z niej i- tego wiersza i j- tej kolumny.

Dopełnienie algebraiczne- D_ij elementu a_ij macierzy -a- nazywamy iloczynem D_ij = (-1)^i+j∙M_ij

Twierdzenie Laplace`a- wyznacznik macierzy kwadratowej jest równy sumie iloczynów elementów dowolnego wiersza (kolumny) i ich dopełnień algebraicznych

detA = a_i1∙D_i1 + a_i2∙D_i2 +…+ a_in∙D_in

detA = a_1j∙D_1j + a_2j∙D_2j +…+ a_mj∙D_mj

Własności wyznaczników: a) wyznacznik macierzy o zerowym wierszu (kolumnie) jest równy zero

b) wyznacznik macierzy, którego dwa wiersze (kolumny) są proporcjonalne jest równy zero

c) wspólny czynnik elementów dowolnego wiersza (kolumny) można wyłączyć przed symbol wyznacznika

d) zamiana kolejnością dwóch dowolnych wierszy (kolumn) zmienia wartość wyznacznika na przeciwny

e) wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej detA = detA^T

f) wartość wyznacznika nie ulega zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę R

Rząd macierzy- nazywamy maksymalną ilość liniowo niezależnych wierszy lub kolumn tej macierzy rzA_m∙n ≤ min_(m,n)

Postać bazowa- (kanoniczna) macierzy mówi nam, że macierz jest w postaci bazowej, jeżeli można wyróżnić z niej 4 bloki

Własności rzędu macierzy: a) rząd macierzy jedno wierszowej (jedno kolumnowej), w której przynajmniej jeden element jest różny od zera, jest równy jeden

b) rząd macierzy nie ulega zmianie gdy:

1° transponujemy macierz;

2° zamieniamy kolejnością dwa dowolne wiersze (kolumny) macierzy;

3° usuniemy z macierzy wiersz (kolumnę) składającą się z samych zer;

4° pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) przez dowolną liczbę rzeczywista różną od zera

5° dodamy do dowolnego wiersza (kolumny) inny wiersz (kolumnę) pomnożoną przez dowolna liczbę R

Macierz odwrotna- do macierzy kwadratowej A nazywamy macierz, którą oznaczamy A^-1 taką, że: A∙ A^-1 = A^-1∙A = I jednostkowa;

Metoda I jeżeli macierz A jest macierzą nieosobliwą to istnieje do niej macierz odwrotna wyrażona wzorem: A^-1 =

A^d- macierz dołączona transponowana macierz dopełnieniem algebraicznym;

Metoda II operacji elementarnych polega: utworzeniu nowej macierzy poprzez dopisanie do macierzy A z prawej strony macierzy jednostkowej [A | I]. Przeprowadzeniu operacji elementarnych na wierszach nowo utworzonej macierzy tak, aby na miejscu macierzy A pojawiła się macierz jednostkowa wtedy na miejscu macierzy jednostkowej pojawi się macierz odwrotna. [A | I] → [I | A^-1]

Podział układów ze względu na postać wektora b: Układy jednorodne- wszystkie elementy wektora b są równe zero (nigdy nie są układem sprzecznym);

Układy niejednorodne- przynajmniej jeden element wektora b jest różny od zera.

Podział układów ze względu na ilość rozwiązań: Układy oznaczone- posiadają jedno rozwiązanie; Układy nieoznaczone- posiadają nieskończenie wiele rozwiązań; Układy sprzeczne- nie posiadają żadnego rozwiązania.

Układ Cramera- Metoda I- układ równań liniowych Ax = b nazywamy układem Cramera <=> 1° ilość równań w układzie jest równa ilości niewiadomych; 2° wyznacznik macierzy A tego układu jest różny od zera x = A^-1∙b; Metoda II- jeżeli układ równań liniowych jest układem Cramera to posiada rozwiązanie wyznaczone wzorami nazywanym wzorami Cramera

detA_j jest to wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez zastąpienie j- tej kolumny wektorem -b-.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego- układ równań liniowych nie jest układem sprzecznym <=> rzA = rzU tego układu przy czym jeżeli rzA = rzU = n (ilość niewiadomych) to układ jest oznaczony. Jeżeli rzA = rzU < n to układ jest nieoznaczony. Układ sprzeczny, gdy rzA ≠ rzU.

Operacje elementarne na macierzy uzupełnionej: 1° pomnożenie dowolnego wiersza przez dowolna liczbę R różną od zera; 2° zamiana kolejnością dwóch dowolnych wierszy; 3° dodanie do dowolnego wiersza innego wiersza pomnożonego przez dowolną liczbę R; 4° zamiana kolejnością dwóch dowolnych kolumn, ale tylko w obrębie macierzy A.

Metoda Gaussa-Jordana- Metoda operacji elementarnych rozwiązywania układów równań polega na: 1° zapisaniu macierzy uzupełnionej układu;

2° przeprowadzeniu operacji elementarnych na macierzy uzupełnionej w celu sprowadzenia jej do postaci bazowej;

3° odczytanie rozwiązań.

Zmienne, przy, których współczynniki utworzą macierz jednostkową będą zmiennymi bazowymi, pozostałe zmiennymi niebazowymi. W przypadku układu nieoznaczonego otrzymamy tzw. postać rozwiązania ogólnego układu. Jeżeli w tej postaci rozwiązania ogólnego za zmienną bazową podstawimy zera to otrzymamy tzw. rozwiązanie bazowe odpowiadające danemu rozwiązaniu ogólnemu. Jeżeli jedno rozwiązanie jest sprzeczne to cały układ jest układem sprzecznym.

Funkcje dwóch zmiennych- jeżeli ta granica istnieje i jest właściwa to nazywana jest pochodną cząstkową funkcji f względem argumentu x w punkcie P_o.

Twierdzenie Schwarza- jeżeli funkcja f(x,y) posiada w otoczeniu punktu P_o pochodne cząstkowe rzędu drugiego i pochodne cząstkowe rzędu drugiego są funkcjami ciągłymi w punkcie P_o to są równe.

Twierdzenie o warunku koniecznym funkcji 2 zmiennych- Jeżeli funkcja f(x,y) posiada w P_o ekstremum i posiada w tym punkcie pochodne cząstkowe rzędu pierwszego to przyjmują one wartości równe zero.

Twierdzenie o warunku dostatecznym funkcji 2 zmiennych- Jeżeli funkcja f(x,y) posiada w otoczeniu punktu stacjonarnego P_o ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego to: 1° posiada w P_o ekstremum, gdy W(P_o) > 0

2° nie posiada w P_o ekstremum, gdy W(P_o) < 0

3° przypadek, gdy W(P_o) = 0 jest przypadkiem nierozstrzygniętym.

Funkcja Lagrange`a- L(x,y) = f(x,y) + ∙g(x,y)

Twierdzenie o warunku koniecznym ekstremum warunkowego- warunkiem koniecznym na to by w P_o = (x_o,y_o) funkcja f(x,y) posiadała ekstremum warunkowe przy warunku g(x,y)=0 jest spełnienie następującego układu równań.

Twierdzenie o warunku dostatecznym ekstremum warunkowego- jeżeli w P_o funkcja f(x,y) posiada ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu II włącznie, a funkcja g(x,y) pochodną rzędu I to w P_o funkcja posiada max warunkowe gdy wyznacznik >0, a min, gdy <0

Kiedy stopa efektywna równa jest nominalnej?

Gdy kapitalizacja odsetek jest roczna. (1+i)ⁿ=1+ie

Ciągłość a różniczkowalność

Jeżeli funkcja jest w P_o różniczkowalna to jest w tym punkcie ciągła.

---