|
|
|
|
|
|
Wyznaczanie modułu Young'a metodą ugięcia.
W doświadczeniu tym wykorzystywane będą: dwie podpory zakończone pryzmatami, badane pręty, ciężarki z uchwytami, katetometr, mikromierz oraz miara długości.
Do przeprowadzenia naszego doświadczenia przydatna będzie znajomość następujących pojęć i praw:
Prawo Hooke'a - mówi, iż wydłużenie względne jest wprost proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju:
'
gdzie Fn to siła rozciągająca, natomiast E to moduł Young'a.
Moduł Young'a - Jest to wielkość naprężenia potrzebna do wydłużenia ciała o długość początkową.
Gdy na pręt podłużny działa siła prostopadle do jego długości, doznaje on ugięcia, a wielkości tzw. strzałki ugięcia S jest zawsze proporcjonalna do siły F, a także zależy od wymiarów geometrycznych, sposobu mocowania pręta i rodzaju materiału z którego jest on wykonany.
Rozpatrzmy bardziej szczegółowo ugięcie pręta (belki) , którego jeden koniec jest zamocowany poziomo a do drugiego przyłożona jest pionowa siła F. Pod działaniem siły górne warstwy pręta są rozciągane, zaś dolne - ściskane. W środku wysokości istnieje warstwa, której długość nie ulegnie zmianie. Przekroje prostopadłe pręta, przy braku obciążenia są wzajemnie równoległe, tworzą natomiast pewien kąt ϕ po przyłożeniu siły.
Gdy pręt jest swobodnie oparty dwoma końcami i obciążony w środku - zachowuje się tak, jakby był zamocowany na środku, a na jego końce działały siły F/2 skierowane ku górze. W takim przypadku siła działa na pręt o długości l/2.
Pomiary i obliczenia:
h0 - pierwotne położenie pręta
l, r, d, h - odpowiednio: długość, promień, grubość i kolejne położenie pręta
lp - odległość między podporami
Δr, Δd, Δh = 0,01 [mm]
Δl = 1[mm]
Pręt o przekroju okrągłym:
h0 = 621,73 [mm]
masa obciążenia |
h przy obc. ros. |
h przy obc. mal. |
h średnie |
strzałka S [mm] |
200g |
621,35 |
621,37 |
621,36 |
0,37 |
400g |
621,19 |
621,19 |
621,19 |
0,54 |
700g |
620,62 |
620,60 |
620,61 |
1,12 |
900g |
620,21 |
620,21 |
620,21 |
1,52 |
1200g |
619,80 |
619,78 |
619,79 |
1,94 |
1900g |
618,21 |
618,21 |
618,21 |
3,52 |
Pręt o przekroju prostokątnym:
h0 = 619,79 [mm]
masa obciążenia |
H przy obc. ros. |
h przy obc. mal. |
h średnie |
strzałka S [mm] |
200g |
619,17 |
619,19 |
619,18 |
0,61 |
400g |
618,44 |
618,46 |
618,45 |
1,34 |
700g |
617,29 |
617,27 |
617,28 |
2,51 |
900g |
616,61 |
616,63 |
616,62 |
3,17 |
1200g |
615,55 |
615,55 |
615,55 |
4,24 |
1900g |
613,23 |
613,24 |
613,24 |
6,55 |
wzór na moduł Young'a E dla pręta o przekroju kołowym:
wzór na moduł Young'a E dla pręta o przekroju prostokątnym:
Obliczanie wartości modułu Younga E dla pręta o przekroju kołowym obciążonego ciężarkiem o masie m=200 g (dane: średnica d=0,007 m; długość x=0,7 m; odległość między podporami l=0,65 m):
Obliczanie wartości modułu Younga E dla pręta stalowego o przekroju prostokątnym obciążonego ciężarkami o masie m=200 g (dane: szerokość b=0,07 m; wysokość h=0,0055 m; długość x=0,7 m; odległość między podporami l=0,65 m):
Moduł Young'a [N/m2] dla obu użytych przez nas prętów (odpowiednio dla kolejnych obciążeń):
pręt 1 |
pręt 2 |
2,575·108 |
1,896·108 |
3,529·108 |
1,726·108 |
2,977·108 |
1,612·108 |
2,821·108 |
1,641·108 |
2,947·108 |
1,636·108 |
2,571·108 |
1,677·108 |
Średnia wartość modułu Young'a dla pierwszego pręta to 2,903·108 [N/m2]
Odchylenie standardowe dla powyższego pręta wynosi 0,352·108 [N/m2]
Średnia wartość modułu Young'a dla drugiego pręta wynosi 1,698·108 [N/m2]
Odchylenie standardowe dla tego pręta wynosi 0,105·108 [N/m2]
Wzór, z którego korzystałem przy obliczaniu odchylenia standardowego:
,
gdzie εi to odchylenie wartości poszczególnych pomiarów od średniej arytmetycznej, natomiast n to liczba obserwacji.
Wnioski: