Każdy płyn (ciecz, gaz) charakteryzuje się pewną lepkością , przejawiającą się występowaniem sił oporu ruchu.
Ciało zanurzone w cieczy, przyjmujemy, że jest to kulka, pokryte cienką warstewką tej cieczy.
Z tego powodu, gdy kulka jest w ruchu unosi ze sobą warstewkę przylegającego płynu, a ten na skutek zjawiska tarcia wewnątrz samego płynu wprawia w ruch następne warstwy.
Siła oporu Fr, z jaką płyn działa na poruszającą się kulkę zależy od współczynnika lepkości płynu ηi wyraża się wzorem Stokesa.
Fr = 6Π η r v gdzie r - promień kulki
v - prędkość kulki
W przypadku, gdy gęstość ϑk kulki jest większa od gęstości ϑp płynu to ruch może nastąpić na skutek siły ciężkości FG = m g = 4 / 3 Π r3 ϑk g
Na kulkę działa również siła wyporu Fw = 4 / 3 Π r3 ϑp g
Po zsumowaniu wszystkich sił działających na kulkę mamy F = FG + FW + Fr
F = 4 / 3 Π r3 ϑk g - 4 / 3 Π r3 ϑp g - 6 Π η r v
znaki ( - ) są przy siłach o kierunkach działania ku górze.
Wyraz 6 Π η r v w powyższym równaniu zależy od prędkości, i istnieje taka prędkość v przy której siła F jest równa zero. Oznacza to, że kulka porusza się z prędkością v = l / t. Po przekształceniu powyższego równania otrzymamy wzór na lepkość płynu
η = [m - 1 / 6 Π d3 ϑ] g t / 3Π d l
Jednostką lepkości w tym wypadku jest 1 mm2 / s = 1cst ( cSt - centi Stokes )
Celem tego ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa. Stanowisko do tego ćwiczenia składa się z :
cylindrycznego naczynia z podgrzewaczem
termometru
badanej cieczy
kulek
stopera analogowego
linijki
wagi analitycznej
mikrometra
Najpierw 10 kulek ważyliśmy na wadze laboratoryjnej, następnie na analitycznej. Na tej podstawie jest wyznaczenie masy 1 kulki, następnie mierzymy średnice tych 10 kulek i obliczamy d . Dalej, do naczynia cylindrycznego wpuszczamy kolejno 5 kulek mierząc czas ich opadania na odcinku l = 50 [cm]. Pomiary czasów opadania wykonujemy dla temperatur:
23 0C, 28 0C, 33 0C, 38 0C, 43 0C, 48 0C.
Wartości mas, średnie kulek, czasu opadania, długości odcinka l oraz gęstości cieczy zebrano
w tabelach.
Dla temperatury cieczy 230 C średni czas opadania wynosi 5,54 [s].
m = 6,4 10-5 kg Δm = 0,1 10-5 [ kg ]
d = 24,82 10-4 m Δd = 0,01 10 -4 [ m ]
l = 0,5 m Δl = 0,01 [ m ]
t = 5,54 s
ϑ = 1260 kg/m3
lepkość obliczamy ze wzoru:
η = [(m - 1/6 Π d3 ϑ) g t ] / 3Π d l = 0,25 [ cSt ]
błąd Δt∝ pomiaru czasu średniego wynosi:
Δt∝ = tn∝ Sx
Sx = √ ( 1 / n-1 ) Σ Ε2i
Ei = xi - x x = 5,54
ti [s] |
E [s] |
E2 [s2] |
5,40 |
-0,14 |
0,0196 |
5,50 |
-0,04 |
0,0016 |
5,80 |
0,26 |
0,0676 |
5,20 |
-0,34 |
0,1156 |
5,80 |
0,26 |
0,0676 |
|
|
ΣE2 i = 0,272 |
Sx = √ 0,25 0,272 = 0,26
Poziom ufności wynosi 0,96 zatem współczynnik t∝n dla 5 pomiarów wynosi t∝n = 2,6
Δt∝ = 2,6 0,26 = 0,71 [s]
Błąd bezwzględny Δη lepkości popełniony przy obliczaniu η obliczamy ze wzoru.
Δη = η[(Δm + 0,5 Π d2 ϑ Δd) / (m - 1/6 Π d3 ϑ) + Δt∝ / t + Δd / d + Δl / l]
= 0,04 [ cSt ]
Dla pozostałych temperatur wartości η, Δt∝, Δη, obliczamy według takich samych wzorów, i są umieszczone w tabelach.
T [0 C] |
ηobl [m2 / s] |
Δη [m2 / s] |
η = ηobl ± Δη |
28 |
0,20 |
0,05 |
0,20 ± 0,05 |
33 |
0,16 |
0,03 |
0,16 ± 0,03 |
38 |
0,13 |
0,02 |
0,13 ± 0,02 |
43 |
0,10 |
0,02 |
0,10 ± 0,02 |
48 |
0,09 |
0,03 |
0,09 ± 0,03 |
Zależność η( T ) jest wykonana na dołączonym wykresie.
WNIOSKI
Ćwiczenie to umożliwiło nam zapoznanie się z wyznaczaniem lepkości cieczy metodą Stokesa. Błąd Δt∝ w głównej mierze zależało od rozrzutu pojedynczych czasów, czego przyczyną mógł być niedokładny pomiar czasu opadania kulek.
Równanie Fr = 6Π η r v jest ściśle, gdy kulka porusza się w ośrodku o nieograniczonej szerokości i mamy do czynienia z ruchem harmonicznym.
W praktyce kulki poruszają się wewnątrz cylindra o pewnej średnicy, fakt ten należy uwzględnić. Prawo Stokesa ma wtedy postać
Fr = - 6 Π η r v ( 1 - r / R )-n gdzie r - średnica kulek
R - średnica cylindra
n - wykładnik
Z wykonanego wykresu η ( T ) wynika, że lepkość cieczy maleje jak funkcja wykładnicza o wykładniku ujemnym.