Każdy płyn (ciecz, gaz) charakteryzuje się pewną lepkością , przejawiającą się występowaniem sił oporu ruchu.

Ciało zanurzone w cieczy, przyjmujemy, że jest to kulka, pokryte cienką warstewką tej cieczy.

Z tego powodu, gdy kulka jest w ruchu unosi ze sobą warstewkę przylegającego płynu, a ten na skutek zjawiska tarcia wewnątrz samego płynu wprawia w ruch następne warstwy.

Siła oporu F_r, z jaką płyn działa na poruszającą się kulkę zależy od współczynnika lepkości płynu ηi wyraża się wzorem Stokesa.

F_r = 6Π η r v gdzie r - promień kulki

v - prędkość kulki

W przypadku, gdy gęstość ϑ_k kulki jest większa od gęstości ϑ_p płynu to ruch może nastąpić na skutek siły ciężkości F_G = m g = 4 / 3 Π r³ ϑ_k g

Na kulkę działa również siła wyporu F_w = 4 / 3 Π r³ ϑ_p g

Po zsumowaniu wszystkich sił działających na kulkę mamy F = F_G + F_W + F_r

F = 4 / 3 Π r³ ϑ_k g - 4 / 3 Π r³ ϑ_p g - 6 Π η r v

znaki ( - ) są przy siłach o kierunkach działania ku górze.

Wyraz 6 Π η r v w powyższym równaniu zależy od prędkości, i istnieje taka prędkość v przy której siła F jest równa zero. Oznacza to, że kulka porusza się z prędkością v = l / t. Po przekształceniu powyższego równania otrzymamy wzór na lepkość płynu

η = [m - 1 / 6 Π d³ ϑ] g t / 3Π d l

Jednostką lepkości w tym wypadku jest 1 mm² / s = 1cst ( cSt - centi Stokes )

Celem tego ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy na podstawie prawa Stokesa. Stanowisko do tego ćwiczenia składa się z :

cylindrycznego naczynia z podgrzewaczem

termometru

badanej cieczy

kulek

stopera analogowego

linijki

wagi analitycznej

mikrometra

Najpierw 10 kulek ważyliśmy na wadze laboratoryjnej, następnie na analitycznej. Na tej podstawie jest wyznaczenie masy 1 kulki, następnie mierzymy średnice tych 10 kulek i obliczamy d . Dalej, do naczynia cylindrycznego wpuszczamy kolejno 5 kulek mierząc czas ich opadania na odcinku l = 50 [cm]. Pomiary czasów opadania wykonujemy dla temperatur:

23 ⁰C, 28 ⁰C, 33 ⁰C, 38 ⁰C, 43 ⁰C, 48 ⁰C.

Wartości mas, średnie kulek, czasu opadania, długości odcinka l oraz gęstości cieczy zebrano

w tabelach.

Dla temperatury cieczy 23⁰ C średni czas opadania wynosi 5,54 [s].

m = 6,4 10^-5 kg Δm = 0,1 10^-5 [ kg ]

d = 24,82 10^-4 m Δd = 0,01 10 ^-4 [ m ]

l = 0,5 m Δl = 0,01 [ m ]

t = 5,54 s

ϑ = 1260 kg/m³

lepkość obliczamy ze wzoru:

η = [(m - 1/6 Π d³ ϑ) g t ] / 3Π d l = 0,25 [ cSt ]

błąd Δt_∝ pomiaru czasu średniego wynosi:

Δt_∝ = t_n∝ S_x

S_x = √ ( 1 / n-1 ) Σ Ε²i

E_i = x_i - x x = 5,54

ti [s]	E [s]	E^2 [s^2]
5,40	-0,14	0,0196
5,50	-0,04	0,0016
5,80	0,26	0,0676
5,20	-0,34	0,1156
5,80	0,26	0,0676
		ΣE^2 i = 0,272

S_x = √ 0,25 0,272 = 0,26

Poziom ufności wynosi 0,96 zatem współczynnik t_∝n dla 5 pomiarów wynosi t_∝n = 2,6

Δt_∝ = 2,6 0,26 = 0,71 [s]

Błąd bezwzględny Δη lepkości popełniony przy obliczaniu η obliczamy ze wzoru.

Δη = η[(Δm + 0,5 Π d² ϑ Δd) / (m - 1/6 Π d³ ϑ) + Δt_∝ / t + Δd / d + Δl / l]

= 0,04 [ cSt ]

Dla pozostałych temperatur wartości η, Δt_∝, Δη, obliczamy według takich samych wzorów, i są umieszczone w tabelach.

T [^0 C]	ηobl [m^2 / s]	Δη [m^2 / s]	η = ηobl ± Δη
28	0,20	0,05	0,20 ± 0,05
33	0,16	0,03	0,16 ± 0,03
38	0,13	0,02	0,13 ± 0,02
43	0,10	0,02	0,10 ± 0,02
48	0,09	0,03	0,09 ± 0,03

Zależność η( T ) jest wykonana na dołączonym wykresie.

WNIOSKI

Ćwiczenie to umożliwiło nam zapoznanie się z wyznaczaniem lepkości cieczy metodą Stokesa. Błąd Δt_∝ w głównej mierze zależało od rozrzutu pojedynczych czasów, czego przyczyną mógł być niedokładny pomiar czasu opadania kulek.

Równanie F_r = 6Π η r v jest ściśle, gdy kulka porusza się w ośrodku o nieograniczonej szerokości i mamy do czynienia z ruchem harmonicznym.

W praktyce kulki poruszają się wewnątrz cylindra o pewnej średnicy, fakt ten należy uwzględnić. Prawo Stokesa ma wtedy postać

F_r = - 6 Π η r v ( 1 - r / R )^-n gdzie r - średnica kulek

R - średnica cylindra

n - wykładnik

Z wykonanego wykresu η ( T ) wynika, że lepkość cieczy maleje jak funkcja wykładnicza o wykładniku ujemnym.

---