METODA ŚREDNIEJ RUCHOMEJ

Analizę szeregu czasowego należy rozpocząć od sporządzenia jego wykresu. Szeregi czasowe ze znacznym udziałem wahań okresowych i przypadkowych poddaje się zwykle wyrównaniu, czego rezultatem jest nowy szereg eksponujący trend rozwojowy zjawiska.

Najprostszą metodą eliminacji wahań z szeregu czasowego jest obliczenie tzw. średnich

ruchomych i zastąpienie nimi pierwotnych wartości zmiennej prognozowanej średnimi

arytmetycznymi, obliczanymi sekwencyjnie dla wybranej liczby obserwacji. Wyznaczone wartości

średnie przyporządkowuje się na ogół środkowym obserwacjom, na których podstawie były obliczane
średnie.

Modele średniej ruchomej mogą być wykorzystywane zarówno do wygładzanie szeregu czasowego, jak i do prognozowania.

Formuła obliczania prognozy na odstawie modelu średniej ruchomej prostej jest następująca:

*

y

gdzie:

t =

1
k

1

∑t− y i (1)

i= t −k

y_t* - prognoza zmiennej Y wyznaczona na moment lub okres t,

y_i - wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie i, k - stała wygładzania.

Liczba wyrazów średniej ruchomej (k - stałą wygładzania) jest określana jako prognostę. Wraz ze
wzrostem wartości stałej wygładzania rośnie efekt wyrównywania. Średnia ruchoma wyznaczona z
większej liczby wyrazów będzie silniej wygładzała szereg, lecz jednocześnie będzie wolniej
reagowała na zmiany poziomu prognozowanej zmiennej. Wyznaczona z mniejszej liczby wyrazów
będzie szybciej odzwierciedlała aktualne zmiany zachodzące w wartościach prognozowanej zmiennej,
lecz większy wpływ będą wywierały na nią wahania przypadkowe (mniejszy będzie efekt wygładzania szeregu). Wybór liczby wyrazów średniej ruchomej musi stanowić kompromis pomiędzy tymi
możliwościami. Sugeruje się, aby przy prognozowaniu krótkookresowym (4-5 tygodni) średnia
ruchoma była wyznaczana z 10-15 wyrazów dla obserwacji dniowych lub 3-5 wyrazów dla danych
miesięcznych. Do wyznaczania liczby wyrazów średniej ruchomej można użyć średniego
kwadratowego błędu prognozy ex post wyrażającego w tym przypadku odchylenia prognoz wygasłych od wartości zmiennej prognozowanej, określonego wzorem:

*

s =

 1

n 0 ,5

* 2 

( y − y ) (2)

 ∑ t

 n − k t = k + 1

gdzie:

t 



y^*t - prognoza zmiennej Y wyznaczona na moment lub okres czasu t,

y_t - wartość zmiennej prognozowanej w momencie lub okresie t, n - liczba wyrazów szeregu czasowego zmiennej prognozowanej, k - stała wygładzania.

Spośród różnych, wstępnie przyjętych wartości stałej k, jako ostateczną wybiera się tę, dla której wielkość błędu jest najmniejsza.

Wadą modelu średniej ruchomej prostej jest nadawanie tych samych wag (jednostkowych)
wszystkim k wartością zmiennej prognozowanej, na których podstawie wyznacza się prognozę.

METODA WSKAŹNIKÓW

Jest to często używana metoda w analizie wahań sezonowych, polegająca na wyznaczeniu wskaźników sezonowości dla poszczególnych faz cyklu.

Gdy amplitudy wahań (tj. różnice między rzeczywistymi wartościami prognozowanej zmiennej a odpowiadającymi im wartościami teoretycznymi uzyskanymi z modelu tendencji rozwojowej) w
analogicznych fazach cyklu są w przybliżeniu takie same, mówimy o wahaniach bezwzględnie
stałych. Gdy zaś wielkości amplitud wahań zmieniają się mniej więcej w tym samym stosunku,
mówimy o wahaniach względnie stałych.

Do opisu kształtowania się wartości zmiennej prognozowanej można w pierwszym przypadku użyć modelu addytwnego:

^

y = y + c + ξ t=1,...,n.

i=1,...,r. (3)

ti ti i t

z kolei w drugim, częstszym przypadku stosuje się model multiplikatywny:

^

y = y c ξ t=1,...,n,

i=1,...,r. (4)

ti ti i t

gdzie:

y_ti - rzeczywista wartość prognozowanej zmiennej w momencie lub okresie t w i-tej fazie cyklu;

^

y - teoretyczna wartość prognozowanej zmiennej w momencie lub okresie t w i-tej fazie cyklu,

wyznaczona z modelu tendencji rozwojowej;

ci - wskaźnik sezonowości dla i-tej fazy cyklu;
ξ - składnik losowy;

r - liczba cyklu.

Jako miary dopasowania modelu do danych empirycznych można użyć współczynnika determinacji R².

W analizie wahań okresowych możemy wyróżnić cztery etapy prac:

a) wyodrębnienie tendencji rozwojowej,

b) eliminacje tendencji rozwojowej z szeregu czasowego,

c) eliminacje wahań przypadkowych,

d) obliczanie czystych wskaźników sezonowości.

Wyodrębnienie tendencji rozwojowej polega na określaniu modelu trendu dla prognozowanej zmiennej.

W przypadku stosowania modelu addtytywnego, eliminacji z szeregu czasowego tendencji rozwojowej dokonuje się obliczając rożnice wartości rzeczywistych prognozowanej zmiennej i wartości teoretycznych otrzymanych z modelu tendencji rozwojowej:

^

z = y − y (5)

ti ti ti

W przypadku zaś używania modelu multiplikatywnego - wyznaczając ilorazy rzeczywistych

wartości prognozowanej zmiennej przez odpowiadające im wartości teoretyczne otrzymane z modelu

tendencji rozwojowej:

z = y ti (6)

ti ^

y ti

Obliczone w ten sposób wielkości zawierają wahania sezonowe i przypadkowe. Eliminację
oddziaływania składnika losowego na kształtowanie się wartości prognozowanej zmiennej (wahań
przypadkowych) przeprowadza się obliczając tzw. surowe wskaźniki sezonowości. Stanową ją
wielkości średnie wyznaczone na podstawie wielkości z_ti, dotyczących tej samej fazy cyklu wahań:

z ti =

1
k

1

k− zi + j⋅ r,i (7)

j =0

gdzie k jest liczbą jednoimiennych faz w badanym szeregu czasowym. Na ogół stosuje się w tym celu

średnią arytmetyczną, niekiedy zaś do wyznaczenia tych wskaźników wykorzystuje się medianę.

Czyste wskaźniki sezonowości (c_i) wyznacza się następująco:

ci = z i -q

lub

z i

(dla modelu addytywnego) (8)

c i =

gdzie q

q

=

1

r

(dla modelu multiplikatywnego) (9)

r

∑ zi (r jest liczbą faz w cyklu)

i = 1

Suma czystych wskaźników sezonowości powinna być równa zeru (dla modelu addytywnego) lub liczbie faz tworzących cykl (dla modelu multiplikatywnego). Wskaźniki, które w przypadku
modelu (3,71) są niemianowane, informują o zaobserwowanych w okresie badanym średnich
(bezwzględnych dla modelu addytywnego, względnych dla modelu multiplikatywnego) odchyleniach wartości prognozowanej zmiennej o tendencji rozwojowej w poszczególnych fazach cykl.
Prognostyczną wartość zmiennej na moment lub okres t można wyznaczyć jako:

*

y ti

lub

=

*( w )

y ti + c i t > n (dla modelu addytywnego) (10)

*( w )

yti* = y ti c i t > n (dla modelu multiplikatywnego) (11)

gdzie:

ATTENTION!

TRIAL LIMITATION - ONLY 3 SELECTED PAGES MAY BE CONVERTED PER CONVERSION.

PURCHASING A LICENSE REMOVES THIS LIMITATION. TO DO SO, PLEASE CLICK ON THE FOLLOWING LINK:

http://www.investintech.com/purchasea2d.html

---