1.Postulaty statyki 1)Zasada równoległoboku R=P₁+P₂

2)Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się tylko wtedy, gdy działają wzdłuż tej samej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe 3)Działanie układu sił przyłożonych do ciał sztyw. nie ulegnie zmianie, gdy do układu dodamy lub odejm. dowolny układ równoważących się sił tzw. układ zerowy 4)Zasada zesztywnienia - równowaga sił działających na ciało odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała 5)Każdemu działaniu towarzyszy równe co do wartości i przeciwnie skierowane wzdłuż tej samej prostej przeciwdziałanie 6)Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów, zastępując przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami.

2. Twierdzenie o trzech siłach- Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztyw. były w równowadze, linie działania tych sił muszą się przecinać w jednym punkcie, a same siły tworzyć trójkąt zamknięty.

3. Varignon Moment względem dowolnego punktu O wypadkowej dwóch sił równy jest sumie momentów sił wypadkowych względem tego punktu.

4. Para sił - Układ dwóch sił równoległych nie leżących na jednej prostej. Aby pary sił działające w jednej płaszczyźnie znajdowały się w równowadze, suma momentów tych par musi

być równa zeru.

5.Moment siły - Aby siły zbieżne leżące w jednej płaszczyźnie były w równowadze, sumy rzutów tych sił na osie układu muszą być równe zero. M_o=rFsin(r,F) ∑M_i=0

6. Kratownica - jest to układ złożony z prętów połączonych przegubowo, mający niezmienną postać geometryczną. Warunek sztywności p=2w-3

7. Redukcja płaskiego układu sił

P'=P a'=-a

8. Redukcja przestrzennego ukł. Sił - dowolny układ sił przyłożonych do jednego punktu zastąpić możemy jedną siłą wypadkową przyłożoną w tym punkcie i równą sumie geometrycznej sił.

9.Tarcie - zjawisko powstawania sił stycznych do powierzchni styku dwóch ciał. Siły te nazywamy siłami tarcia. Możemy je opisać jako siły oporu zapobiegające ruchowi, który by powstał gdyby tarcia nie było

10. Kinematyczne równania ruchu - x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) - równania parametryczne toru punktu lub

11. Definicja prędkości - Prędkość punktu jest wektorem określonym przez pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu.

12. Definicja przyspieszenia - Wektor dany przez pierwszą pochodną wektora prędkości lub dugą pochodną wektora położenia względem czasu

13. Przyspieszenie styczne; p. normalne - przysp. styczne -

; przysp. normalne -
, gdzie p- promień krzywizny

14. Droga - s=∫vdt

15. Rzut pionowy - rzut punktu materialnego z daną prędkością w kierunku pionowym. Szczególnym przypadkiem jest spadek swobodny

x=0

y=(gt²)/2

16. Rzut poziomy

x=V_ot

y=(gt²)/2

17. Rzut ukośny

x=V_otcosα

y=V_otsinα

18 Rodzaje ruchów bryły

Ruch postępowy- jeżeli bryła porusza się tak że jej chwilowe położenia są równoległe do położenia początkowego.

Ruch obrotowy- Jeżeli dwa punkty bryły są stałe, tworzą wtedy oś obrotu bryły

Ruch płaski- traktujemy jako chwilowy ruch obrotowy wokół chwilowego środka obrotu

19 Prędkość i przyspieszenie

Punktu bryły w ruchu postępowym

Prędkość:

Prędkości wszystkich punktów bryły poruszającej się ruchem

postępowym są w danej chwili wektorami równoległymi.

Przyspieszenie:

Przyspieszenia wszystkich punktów bryły w ruchu postępowym są w danej

chwili wektorami równoległymi.

20 Prędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu obrotowym

Prędkość:

Prędkość liniowa dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym

jest równa iloczynowi wektorowemu wektora prędkości

kątowej przez wektor położenia punktu (początek układu na

osi obrotu).

Przyspieszenie:

Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły w ruchu obrotowym jest sumą geometryczną przyspieszeń:

Obrotowego i poosiowego

21 Prędkość kątowa

22 Przyspieszenie kątowe

jest wektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt α, a wartość prędkości kątowej oznaczymy jako ω, to wartość przyspieszenia kątowego ε wynosi:

24 Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu płaskim

Prędkość:

Przyspieszenie

26 Chwilowy środek obrotu

Punkt, którego prędkość w danej chwili jest równa zeru.

Wyznaczenie środka obrotu

W układzie ruchomym

W układzie nie ruchomym

27 Centroida

Krzywa łącząca chwilowe środki obrotu

Ruchoma Miejsce geometryczne chwilowych środków obrotu figury płaskiej w układzie ruchomym Nieruchoma Miejsce geometryczne (nie ściągaj!!) chwilowych środków obrotu figury płaskiej w układzie nieruchomym

28 Prędkość i przyspieszenie bryły w ruchu kulistym

prędkość

przyspieszenie

29 Układ Eulera

Prędkość

31 Przyspieszeni kątowe w przypadku precesji regularnej

32 Ruch ogólny

Podstawowy + kulisty 6 stopni swobody

33 ruch złożony punktu

Ruch punktu względem układu nieruchomego nazywamy ruchem bezwzględnym, a względem układu ruchomego ruchem względnym. Ruch układu ruchomego względem układu nieruchomego nazywamy ruchem unoszenia

34 Prędkość bezwzględna

Jest wypadkową prędkości unoszenia i prędkości względnej

35 Przyspieszenie bezwz.

Jest sumą wektorową przyspieszenia unoszenia, względnego i przyspieszenia Coriolisa

36.Przyspieszenie Coriolisa, dodatkowe przyspieszenie liniowe, które ma w ruchomym układzie odniesienia (np. związanym z obracającą się Ziemią) poruszające się względem niego ciało dzięki ruchowi obrotowemu tego układu.

37 Prawa ruchu Newtona

Prawo pierwsze. Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub w stanie ruchu jednostajnego prostoliniowego dopóty, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

Prawo drugie. Zmiana ilości ruchu (czyli pędu lub impulsu) jest proporcjonalna do siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa. Oznaczając przez P siłę działającą na punkt materialny, a przez mv jego pęd (m - masa, v - prędkość), treść drugiego prawa Newtona możemy wyrazić następującym równaniem wektorowym

Jeżeli m=const. To P=ma

Prawo trzecie. Każdemu działaniu towarzyszy równe i przeciwne zwrócone oddziaływanie, czyli wzajemne działania dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.

Prawo czwarte. Jeżeli na punkt materialny o masie m działa jednocześni kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.

Prawo piąte (grawitacji). Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu ich mas (m₁, m₂) i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty.

38 Zasada d'Alemberta

W ruchu punktu materialnego układ sił czynnych i reakcji więzów równoważy się z pomyślaną siłą bezwładności.

39.Zasada zachowania pędu:

Równanie:

Wyraża zasadę pędu dla punktu materialnego. Pochodna pędu punktu materialnego jest równa sumie sił działających na dany punkt. Powyższe równanie jest ogólniejszym sformułowaniem drugiej zasady dynamiki. Jeżeli teraz:

Jest to zasada zachowania pędu dla punktu.

40.Zasada pędu i popędu.
Zasada pędu i popędu (lub inaczej, prawo zmienności pędu)

Przyrost pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ.

41.Zasada zachowania krętu.

Pochodna względem czasu krętu punktu materialnego względem nieruchomego bieguna O jest równa momentowi względem tego bieguna wypadkowej sił działających na dany punkt materialny.

dK₀/ dt = M₀

42.Zasada krętu i pokrętu.

Zasada krętu i pokrętu

Przyrost krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego punktu.

43.Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego.

44.Definicja pracy.

Praca jest to mechaniczny sposób przekazu energii.Jednostką pracy jest Jul.

45.Moc mechaniczna.

Mocą siły nazywamy pracą wykonaną w jednostce czasu. Jeśli praca siły zmienia się z czasem to wówczas moc jest pochodna pracy względem czasu: M=
[W]

46.Zasada równoważności pracy i energii kinetycznej.

Jeżeli na poruszający się punkt materialny o masie m działa siła czynna P to przyrost en. kinetycznej tego punktu jest równy pracy wykonanej przez siłę działającą na ten punkt: L=1/2mV²_k - 1/2mV²_p

48.Potencjalne (zachowawcze) pole sił.

POLE JEST POTENCJALNYM POLEM SIL, GDY PRACA PRZY PRZESOWANIU PUNKTU NIE ZALEZY OD DROGI (TZN PRACA PO DRODZE ZAMKNIETEJ = 0)

CENTRALNE POLE SIL:

POLE SIL O TEJ WLASNOSCI ZE LINIE DZIALANIA SIL TEGO POLA ZAWSZE PRZECHODZA PRZEZ JEDEN PUNKT

Zdolność do wykonania pracy ciała znajdującego się w spoczynku nazywamy en. potencjalną E_p: E_p=mgh.

49.Twierdzenie o ruchu środka masy układu punktów materialnych.

, gdzie
-R,
=0

; Mr₀''=R

Ruch układów punktów materialnych odbywa się tak jakby cała masa układu skupiona była w jego środku masy i na który to punkt działają wszystkie siły zewnętrzne.

→ →

M ro = R

50.Pęd układu punktów materialnych.

; Q=MV₀=
- pęd ukł. punktów_materialnych;
- zasada pędu

Na pęd ma tylko wpływ siła zew, a nie wew.

R=0 >> Q=const

Jeżeli jedno ciało zyskuje pęd to drugie też go zyskuje lecz z przeciwnym znakiem.

PED DOTYCZY TYLKO RUCHU POSTEPOWEGO, NIE OBROTOWEGO, BO NIE MA MASY BEZWLADNOSCI PREDKOSCI KATOWEJ

ZASADA ZACHOWANIA PEDU: JEŻELI NA UKLAD NIE DZIALAJA SILY LUB DZIALAJACE SILY SIĘ ZNOSZA TO PED JEST STALY CZYLI ZACHOWANY R=0 TO Q=const.

OKRESLA SIĘ GO TYLKO PRZY RUCHU POSTEPOWYM, PRZY RUCHU OBROTOWYM NIE ISTNIEJE.

51.Kręt układu punktów materialnych.

K^s=
ρ_i*mV_i - kręt

Zmiana krętu ukł. punktów mat. W czasie wywołana jest przez moment główny działający na układ brany względem nieruchomego punktu lub środka masy.

M^c=0 >> K^c=const

52.Energia kinetyczna układu punktów materialnych.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej w ruch postępowym i energii kinetycznej w ruchu względnym dookoła środka masy C układu. E =½V_cp+½ωK_c ; p=mV_c ; K_c=I_cω

53.Twierdzenie Koeniga.

Energia kinetyczna układu punktów materialnych równa jest sumie energii kinetycznej, jaką miałby pkt materialny o masie całego układu, poruszający się z prędkością środka masy oraz energii kinetycznej tegoż układu względem środka masy.

54. Zasada zachowania energii mechanicznej - w układzie izolowanym suma składników wszystkich rodzajów energii całości (suma energii wszystkich jego części) układu jest stała (nie zmienia się w czasie).

55. Wahadło matematyczne

56. Wahadło fizyczne

Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

Porównując to równanie z wahadłem matematycznym otrzymujemy

długość zredukowana

Okres wahadła

Rozwiązanie:

57. Drgania swobodne

Aby wystąpiły drgania, punkt musi poruszać się ruchem prostoliniowym pod wpływem siły
przyciągającej ten punkt do stałego punktu O zwanego środkiem drgań.

Siła sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia punktu

F = -kx, k-stała sprężystości.

Równanie będzie miało postać

mx” = F

mx” = -kx lub

Otrzymujemy równanie różniczkowe drgań swobodnych

częstość ruchu.

Otrzymane równanie jest równaniem liniowym, jednorodnym drugiego rzędu. Rozwiązanie:

(a-amplituda(max.wychylenie),
- faza początkowa ruchu drgań
-faza drgań)

Ruch określony powyższym wzorem jest okresowy o okresie

58. Drgania tłumione

Drgania tłumione występują w ośrodku stawiającym opór. Siły oporu są proporcjonalne do prędkości

-siła tłumiąca.

Równania ruchu:

Ponieważ równanie charakterystyczne

jest kwadratowe, to mogą zajść 3 przypadki(delta większa, mniejsza, równa 0)

1.Małe tłumienie
Rozwiązanie:

Jeżeli
-drgania zanikają. Okres:

2.Duże tłumienie.
Mamy rozw. rzeczywiste nie będzie drgań. Rozwiązanie

Ruch ten nie jest ruchem okresowym, nie ma drgań.

3.Tłumienie krytyczne

Rozwiązanie:

Brak okresowości, brak drgań.

60. Drgania wymuszone

Jeżeli na punkt dodatkowo działa siła wymuszająca okresowa to występują drgania wymuszone.

Siła wymuszająca S=H sin(pt),

p-czestość siły wymuszającej.

Równanie ruchu tych drgań

Rozwiązanie ostateczne tych drgań

Jest to złożenie dwóch drgań: własnych i wymuszonych. Widzimy, że amplituda drgań wymuszonych

zależy od częstości drgań wymuszonych.

Jeżeli
i występuje rezonans. W przypadku rezonansu rozwiązanie drgań będzie miało postać.

61. Rezonans- zjawisko fizyczne zachodzące dla drgań wymuszonych, objawiające się pochłanianiem energii poprzez wykonywanie drgań o dużej amplitudzie przez układ drgający dla określonych częstotliwości drgań.

62. Amplituda- nieujemna wartość określająca wielkość przebiegu funkcji okresowej.

63. Okres drgań, dla ruchu periodycznego czas, po jakim układ drgający znajduje się ponownie w takiej samej fazie.

64. Częstotliwość określa liczbę cykli zjawiska okresowego występujących w jednostce czasu. W układzie SI jednostką częstotliwości jest herc (Hz)

.

65. ω_o - częstość własna drgań oscylatora - określa liczbę pełnych drgnięć w jednostce czasu.

66. Dla drgań harmonicznych opisanych równaniem
fazą drgań określa się argument funkcji sinus, czyli
lub resztę z dzielenia tego kąta przez miarę kąta pełnego

Faza drgań nieharmonicznych.

Dla drgań nieharmonicznych w których można wyróżnić drganie o najdłuższym okresie, fazę drgań określa się jako fazę drgania składowego o najdłuższym okresie.

67. Kąt φ nazywa się fazą początkową drgań, czyli fazą w chwili początkowej t = 0.

71. Reakcje dynamiczne

Korzystamy z zasady d'Alemberta

Siły odśrodkowe muszą się równoważyć z siłami reakcji. Równania będą

Oznaczając

mamy

Reakcje znikają tylko wtedy, gdy

Aby reakcje dynamiczne były równe zeru oś obrotu musi być centralną główną osią bezwładności

72 Długość zredukowana wahadła fizycznego

Wahadłem fizycznym nazywamy swobodnie obracające się ciało materialne względem stałego punktu.

73 Kręt bryły w ruchu obrotowym

74 Energia kinetyczna bryły w ruchu obrotowym

75 Energia kinetyczna bryły w ruchu płaskim

76 Środek masy bryły

77 Środek masy układu punktów materialnych

Środek masy określony jest następująco:

Zgodnie z III zasadą dynamiki Newtona
ponieważ występują parami.

Pi - siły zewnętrzne;

Wi - siły wewnętrzne;

78 Definicja momentu bezwładności

Momentem bezwładności punktu materialnego względem płaszczyzny,

osi lub bieguna nazywamy iloczyn masy tego punktu przez kwadrat odległości tego punktu od płaszczyzny, osi lub bieguna.

I = mr²

79 Główny moment bezwładności

Momenty bezwładności względem punktu

I _xx =∫ x² dm

I _yy =∫ y² dm

I _zz =∫ z² dm

Momenty bezwładności względem osi

I _x =∫ (y² + z² ) dm = I _yy + I _zz

I _y =∫ (x² + z² ) dm = I _xx + I _zz

I _z =∫ (x² + y² ) dm = I _xx + I _yy

Momentem dewiacji (zboczenia)

80 Dewiacyjne momenty bezwładności

Momentem dewiacji (zboczenia) w płaszczyźnie dwóch osi układu współrzędnych karteziańskich jest całka iloczynów mas i ich odległości od płaszczyzn. Jest on zależny od rozkładu mas i kierunku osi trzeciej.

I _xy = I _yx = ∫ xy dm

I _yz = I _zy = ∫ yz dm

I _zx = I _xz = ∫ zx dm

81 Tw. Steinera

Moment bezwładności względem dowolnej osi jest równy momentowi względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy powiększonemu o iloczyn masy całkowitej

układu przez kwadrat odległości obu osi.

I _z = I _xx + I _yy = I _z' + md²

I_l = I₀ = md²

82 Moment bezwładności względem dowolnie skierowanej osi

Moment bezwładności względem osi: I=∫ _Vr² dm, zatem:

I = I_x cos²α + I_y cos²β + I_z cos²γ−2Dxy cos α cos β − 2Dyz cos β cos γ − 2Dzx cos γ cos α

83 Główna oś bezwładności

Można przyjąć układ współrzędnych taki, ze Dαβ =0. I₁x²+ I₂y²+ I₃z²= k²

gdzie I₁,₂,₃ -główne momenty bezwładności

Takimi osiami są: każda oś symetrii, każda prosta ⊥ do płaszczyzny symetrii, każda prosta, na której leżą środki mas warstw elementarnych, otrzymanych przez podział ciała płaszczyznami prostopadłymi do

tej prostej.

84. Centralna oś bezwładności

85. Główna centralna oś bezwładności

Są to osie główne przechodzące przez środek masy

86. Macierz bezwładności

Macierz bezwładności jest macierzą symetryczną. Elementy na przekątnej - momenty bezwładności. Elementy poza przekątną - momenty dewiacyjne bądź iloczyny bezwładności.

Î

®

=

d

w

®

dt

=

w

2

®

‰

w

1

®

+

w

2

®

=

w

2

®

‰

w

1

®

d

dt

=

m

n

1

+

m

n

2

...

+

m

n

n

=

P

1

+

P

2

+

...

+

P

n

d

m

n

dt

=

P

r

c

'

=

w

‰

n

o

'

w

2

---