Zajęcia nr 6 - matematyka, 22 maja 2010

Trygonometria

a - przyprostokątna przeciwległa *, b - przyprostokątna przyległa *,

c - przeciwprostokątna

	0*	30*	45*	60*	90*
sin*	0				1
cos*	1				0
tg*	0		1		-
ctg*	-		1		0

przekątna kwadratu:
wysokość trójkąta równobocznego:

Twierdzenia:

1. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

2. Kąt środkowy oparty na połowie okręgu jest prosty.

3. (Talesa 1) W figurach podobnych stosunki odpowiednich boków są równe.

4. (Talesa 2) Jeżeli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to odcinki utworzone na jednym ramieniu są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu.

5. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego i równy jego połowie.

6. Suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180⁰.

7. Suma kątów przyległych jest równa 180⁰.

8. Kąty wierzchołkowe są równe.

9. Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to otrzymamy dwie czwórki kątów równych.

10. Kąt pomiędzy styczną do okręgu a promieniem wychodzącym z punktu styczności jest równy 90⁰.

11. Kąt pomiędzy styczną do okręgu a cięciwą wychodzącą z punktu styczności jest połową miary kąta środkowego opartego na tej cięciwie.

12. (Pitagorasa) a,b - przyprostokątne, c- przeciwprostokątna to
    .

13. (odwrotne do Pitagorasa) Jeżeli suma kwadratów dwóch boków trójkąta jest równa kwadratowi trzeciego boku, to trójkąt jest prostokątny.

14. W trójkącie równobocznym wysokości dzielą się w stosunku 2:1.

15. Okręgi o promieniach R i r (R>r) i środkach w punktach A i B są:

1. styczne zewnętrznie jeżeli
   ,

2. styczne wewnętrznie jeżeli
   ,

3. współśrodkowe jeżeli A=B

Pola(P) figur płaskich:

trójkąt:
trapez:
koło:
romb:
koło:
równoległobok:
prostokąt:
kwadrat:
deltoid:
wycinek koła:

Obwody(L) figur płaskich:

prostokąt:
kwadrat:
koło:
długość łuku:

Zadania do zajęć nr 6:

Zad.1. Miary kątów przylegających do podstawy trójkąta wynoszą 60⁰ i 50⁰. Wysokość trójkąta jest równa 4 cm. Oblicz pole i obwód trójkąta.

Zad.2. Długości boków prostokąta wynoszą 6 cm i 10 cm. Wyznacz miary kątów pomiędzy przekątną a bokami.

Zad.3. Wiadomo, że
. Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta
.

Zad.4. Aby zmierzyć wysokość wieży, zmierzono kąt pomiędzy poziomem a kierunkiem, pod jakim widać jej wierzchołek i otrzymano 62⁰. Po podejściu o 20 metrów bliżej zmierzono kąt ponownie, otrzymując wynik 73⁰. Jaką wysokość ma wieża?

Zad.5. Długość boku trójkąta wynosi 7, tangensy kątów przy tym boku są równe
i 4. Oblicz pole tego trójkąta.

Zad.6. Dany jest trójkąt prostokątny. Wykaż, że jeżeli h jest wysokością poprowadzoną z wierzchołka przy kącie prostym, dzielącą przeciwprostokątną na odcinki długości x i y, to

.

Zad.7. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym długość AC jest równa długości BC i wynosi 10cm, wysokość poprowadzona z wierzchołka C jest równa 5 cm. Oblicz miary kątów tego trójkąta. Odpowiedź podaj w stopniach.
Zad.8. Ostrokątny trójkąt równoramienny ABC o podstawie AB jest wpisany w okrąg o środku S, przy czym kąt SAB ma miarę 40 stopni . Oblicz miarę kąta CAB.

Zad.9. Obwód równoległoboku wynosi 96 cm, a stosunek długości wysokości równoległoboku jest równy 5:7. Oblicz długości boków równoległoboku.

Zad.10. Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest średnica AB okręgu, którego środkiem jest punkt O. Punkty D i E są punktami przecięcia ramion AC,BC trójkąta z okręgiem. Miara kąta DOE jest równa 140⁰. Wyznacz miarę kąta ACB.

Zad.11. Wyznacz miarę kąta wewnętrznego 13-kąta foremnego.

Zad.12. Rozwiąż równanie (cos x+sin x)²-2sin x cos x=2sin x, wiedząc, że x jest kątem ostrym.

Zad.13. W trójkącie prostokątnym ABC dane są |AC|=12, a miara kąta CAB jest równa 60°. Poprowadzono prostą równoległą do przeciwprostokątnej AB i dzielącą bok AC w stosunku 1: 5, licząc od wierzchołka C. Prosta ta przecina bok AC w punkcie M, a bok BC w punkcie N. Oblicz pole trapezu ABNM.

Zad.14. Wysokość poprowadzona z wierzchołka trapezu równoramiennego dzieli dłuższą podstawę na odcinki długości 3 cm i 8 cm. Długość ramienia trapezu wynosi
cm. Oblicz pole trapezu, długość jego przekątnej i tangens kąta ostrego.

Zad.15. Oblicz pole pierścienia kołowego utworzonego przez okrąg wpisany i opisany na sześciokącie foremnym o boku a.

Zad.16. Dane są trzy okręgi styczne zewnętrznie o promieniach 2 cm, 3 cm i 10 cm. Wykaż, że trójkąt wyznaczony przez środki tych okręgów jest prostokątny i podaj sinusy kątów ostrych tego trójkąta.

---