1.Podstawy Matematyki z przykladami

1.1 Rachunek wektorowy - graficznie,

Wartość wektora a (moduł) jest równa

                  


a cosinusy kątów, jakie wektor a tworzy z osiami współrzędnych wynoszą

                  

1.2 Rachunek wektorowy - analitycznie

1.3 Iloczyn skalarny i wektorowy

1.4 Analiza funkcji

1.4.1 Pojęcie pochodnej

1.4.2 Pochodne funkcji

1.4.3 Całka funkcji

1.5 Pochodna funkcji złożonej

1.6 Pochodna iloczynu funkcji

2.Kinematyka

2.1 Klasyfikacja ruchu - postępowy, obrotowy, drgający

2.2 Definicje funkcji drogi, prędkości i przyspieszenia po czasie(liniowe i obrotowe)

Prędkość - definicja

Prędkość ciała jest to iloraz drogi jaką przebyło to ciało przez czas w jakim się to odbyło. Dla kogoś znającego trochę więcej matematyki można podać dokładniejszą definicję, że prędkość jest to pierwsza pochodna drogi od czasu. Jednostką prędkości w układzie SI jest metr na sekundę - [m/s]

Przyspieszenie - definicja

Przyspieszenie jest to zmiana prędkości w czasie. Bardziej matematycznie - jest to druga pochodna drogi od czasu (albo pierwsza pochodna prędkości od czasu). Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę kwadrat - [m/s2]

Tor ruchu - definicja

Tor ruchu jest to zbiór wszystkich punktów przestrzeni, do których przesuwa się dany punkt materialny. Torem może być prosta lub krzywa, a w zależności od jego kształtu wyróżniamy ruch prostoliniowy lub krzywoliniowy.

Droga - definicja

Drogą nazywamy długość przebytego odcinka toru. Jednostką drogi w układzie SI jest metr - [m]

2.2.1 Ruch prostoliniowy

Ruch jednostajny prostoliniowy jest to ruch, w którym torem jest linia prosta, zaś przebyta droga jest proporcjonalna do czasu, w którym tę drogę przebyto.

Stosunek drogi przebytej przez ciało do czasu, w jakim ciało tę drogę przebyło nazywamy prędkością. Prędkość wyrażamy wzorem:

v = s / t

Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę (m/s).

Wykres prędkości v(t) w funkcji czasu dla ruchu jednostajnego to linia prosta równoległa do osi czasu, gdyż w tym ruchu prędkość ma wartość stałą, zaś wykres drogi s(t) w funkcji czasu to również linia prosta nachylona pod kątem α do osi czasu, przy czym tangens kąta α jest miarą prędkości ciała. Na wykresie v(t) pole zaciemnionej figury jest miarą drogi przebytej przez ciało do chwili t0 (bo prędkość razy czas to droga).

2.2.2 Ruch po okręgu

2.3 Ruch jednostajny po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu bywa przypadkiem ruchu krzywoliniowego, którego cena prędkości nie ulega zmianie. W ruchu występuje moc dośrodkowa, która powoduje powstanie przyspieszenia dośrodkowego(normalnego), jakie powoduje zmianę kierunku wektora prędkości.

2.4 Jazda samochodem po rondzie

ziałające na ciało poruszające się po łuku siły odśrodkowa i dośrodkowa są siłami bezwładności, więc również należą do sił pozornych.

2.5 Ogólny opis ruchu za pomocą wektora wodzącego

2.6 Składanie ruchów (rzut ukośny)

Rzut ukośny

Z rzutem ukośnym spotykamy się rzucając kamieniem, czy kopiąc piłkę. Traktujemy go jako złożenie dwóch ruchów:

- jednostajnego- w poziomie

- jednostajnie opóźnionego (rzut pionowy)- w pionie

Wektor v0 jest wektorem wypadkowym wektora v1 oraz v2. W poziomie odbywa się ruch jednostajny, prędkość w tym ruchu jest stała w każdej sekundzie tego ruchu i jest wyrażona wzorem v2=s/t, natomiast w pionie ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową v1 i z opóźnieniem g (przyśpieszenie ziemskie) równym w przybliżeniu 9,81m/s2, czyli po prostu jest to rzut pionowy, prędkość ciała w tym ruchu wyraża wzór vk=v1-gt, gdzie vk- jest prędkością końcową, t- to czas. Drogę (w pionie) jaką przebywa to ciało wzór h=v1t-gt2/2. Tak, więc możemy w każdej chwili obliczyć położenie, prędkość oraz przyśpieszenie ciała stosując równania, utworzone z powyższych wzorów:

przemieszczenie

prędkość

przyśpieszenie

2.7 Składanie ruchów (ruch jednostajny po okręgu)

3.Dynamika

3.1 Trzy zasady dynamiki Newtona dla ruchu postępowego

3.1.1 I zasada - układy inercjalne, względność ruchu

3.1.2 II zasada - w tym zasada zachowania pędu

3.2 Oddziaływanie - Siła

3.2.2 Grawitacji

Na Ziemi działa siła grawitacji, która utrzymuje wszystkie przedmioty i istoty żywe przy powierzchni Ziemi. Ciężar ciała zależy od siły, jaką grawitacja wywiera na jego masę. Aby oderwać się od Ziemi, trzeba pokonać siłę grawitacji. Siła grawitacji na Ziemi zawsze działa w kierunku środka, w miarę oddalania się od środka Ziemi, siła grawitacji jest coraz słabsza.

Atmosfera, a w niej powietrze, utrzymywana jest wokół Ziemi dzięki sile grawitacji. Izaak Newton już w XVII w. stwierdził, iż każde ciało przyciąga inne ciało siłą grawitacji (siłą przyciągania). Ciała tym silniej się przyciągają, im mają większą masę oraz tym słabiej, im są bardziej od siebie oddalone.

Ziemia zachowuje się tak, jakby była wielkim magnesem. Jest tak, ponieważ w jądrze Ziemi płynie prąd elektryczny, który powoduje powstanie zjawiska magnetyzmu. Biegun magnetyczny północny znajduje się w pobliżu bieguna północnego geograficznego, a biegun magnetyczny południowy w pobliżu południowego bieguna geograficzneg

3.2.3 Elektryczna

siła elektryczna - pojawia sie kiedy przewodnik z prądem umieścimy w polu magnetycznym magnesu. Na skutek jej działania przewodnik zacznie się poruszać .

3.3 Sprężystość - prawo Hooke'a

prawo określające zależność między siłą odkształcającą a odkształceniem dla ciała sprężystego (w granicy sprężystości).Dla pręta o długości l ściskanego (rozciąganego) siłą F działającą równolegle do osi długiej pręta, prawo Hooke'a wyraża się wzorem: Δl = Fl/sE, gdzie: Δl - wydłużenie, s - pole przekroju poprzecznego pręta, E - moduł Younga (moduł sprężystości). W ogólności prawo Hooke'a ma postać prawa tensorowego, o 21 stałych elastycznych

3.4 Opór aerodynamiczny

3.5 Rozkład sił na równi pochyłej

3.6 Ruch drgający

3.6.1 Ruch harmoniczny prosty

-jeżeli ciało drga dookoła położenia równowagi pod wpływem siły , która jest proporcjonalna do jej odległości i położenia równowagi to mówimy ż ciało wykonuje ruch drgający prosty (zawsze siła w ruchu drgającym jest proporcjonalna do wychylenia i odwrotnie do niego skierowana

3.6.2 Ruch harmoniczny tłumiony

-jeżeli ciało drga dookoła położenia równowagi pod wpływem siły , która jest proporcjonalna do jej odległości i położenia równowagi to mówimy ż ciało wykonuje ruch drgający prosty (zawsze siła w ruchu drgającym jest proporcjonalna do wychylenia i odwrotnie do niego skierowana

3.6.2.1 Tłumienie słabe

3.6.2.2 Tłumienie silne

3.6.3 Ruch drgający wymuszony

Drgania wymuszone spowodowane są zewnetrzną siłą wymuszającą. Okres drgań wymuszanych jest równy okresowi zmian zewnętrznej siły wymuszającej (Tw). Np. Pchnięć tych musimy udzielać huśtawce w tym samym rytmie, w którym waha się huśtawka. W tym samym rytmie oznacza, że należy uderzać huśtawkę w odstępach czasu równych okresowi jej drgań własnych. Rezonans układ może być pobudzony do drgań w danej amplitudzie przy użyciu słabych impulsów gdy działają one na ten układ z częstotliwością zbliżoną do częstotliwości drgań własnych układów. Zjawisko to nosi nazwę rezonansu mechanicznego; m(d²x/dt²) = -kx, Jest to proste równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest taka funkcja x(t), która pokazuje jak położenie tej masy zależy od czasu.

---