(1) Stan nieustalony w gałęzi szeregowej R, L, C przy wymuszeniu stałym.

W chwili t=0 prąd w obwodzie nie płynie i(0)=0, nie występuje także napięcie na zaciskach kondensatora . Z chwilą przyłożenia napięcia kondensator zaczyna się ładować.

W rozpatrywanym obwodzie nastąpi ładowanie kondensatora. Wyznaczymy prąd ładowania, napięcie na zaciskach kondensatora oraz napięcie na elemencie indukcyjnym.

Schemat gałęzi szeregowej R, L, C włączonej na napięcie stałe.

Prawo Ohma dla transformat :

przy czym

Przy wymuszeniu stałym zatem

(*)

Równanie (*) ma postać równania w rozpatrywanym przypadku

W wyniku rozwiązania równania N(s) = 0 otrzymujemy dwa pierwiastki. Załóżmy, że są to pierwiastki różne, co pozwoli na zastosowanie do rozwiązania wzoru podstawowego Heaviside'a o postaci

W wyniku rozwiązania równania kwadratowego (1) otrzymamy dwa pierwiastki . Wprowadzimy oznaczenia

zatem .

Wyróżnik równania kwadratowego (1) w zależności od wartości parametrów R, L, C może być: (a) dodatni, (b) ujemny, ( c) równy zeru.

Przypadek rezystancja gałęzi jest większa od rezystancji krytycznej

Wyrazimy mianownik równania (*) w postaci iloczynowej

(2)

Zgodnie z przyjętymi oznaczeniami

zatem

Stosując wzór podstawowy Heaviside'a, otrzymamy przebieg czasowy prądu ładowania kondensatora

lub

W wyniku podstawienia uzyskujemy inną postać rozwiązania

Transformata napięcia na kondensatorze

(3)

Równanie (2) ma postać równania , wobec czego skorzystamy ze wzoru Heaviside'a o postaci (4) przy czym:

- wartość wielomianu L(s) dla s=0; M(0)- wartość wielomianu M(s) dla s=0.

Napięcie na elemencie indukcyjnym

Ładowanie kondensatora przy warunku przez rezystor i cewkę ze źródła napięcia stałego ma charakter aperiodyczny czyli nieokresowy.

Przypadek , rezystancja gałęzi jest mniejsza od rezystancji krytycznej.

Punktem wyjścia do rozważań jest równanie (2) z tym, że pierwiastki mianownika są w rozważanym przypadku zespolone sprzężone.

przy czym

jest liczbą rzeczywistą, gdyż Możemy zatem napisać

ponadto

W rozpatrywanym przypadku

Korzystając ze wzoru podstawowego Heaviside'a, otrzymamy

Ostatecznie

W celu wyznaczenia przebiegu napięcia na kondensatorze wyrazimy to napięcie w postaci operatorowej posługując się prawem Ohma dla elementu C przy warunku początkowym zerowym

Odpowiedź czasową otrzymamy stosując wzór o rozkładzie w postaci (4), przy czym

zatem

(5)

Aby uprościć otrzymane wyrażenie wprowadzimy kąt f wyrażony następująco (rys.1):

Rys. 1

Po wprowadzeniu zależności do równania (5) otrzymamy

Równanie wyrażające napięcie na cewce:

Dla przypadku, gdy R=0 przy połączeniu szeregowym elementów L i C otrzymamy

wobec czego

; ;

(2) Stan nieustalony w gałęzi szeregowej R, L, C przy zwarciu.

Warunek początkowy w obwodzie jest nie zerowy: w chwili t=0 napięcie na kondensatorze wynosi U, czyli . Drugi warunek dotyczący prądu w obwodzie jest zerowy, gdyż przed komutancją gałąź R, L, C była dołączona do źródła napięcia stałego, wobec tego prąd w stanie ustalonym nie płynął, a zatem

Schemat ilustrujący zwarcie w gałęzi szeregowej R, L, C przy warunku początkowym zerowym.

Prąd wyładowania kondensatora:

(6)

Przypadek rezystancja gałęzi jest większa od rezystancji krytycznej.

Napięcie na kondensatorze w stanie zwarcia:

Podobnie napięcie na cewce :

Przypadek , rezystancja gałęzi jest mniejsza od rezystancji krytycznej.

Prąd rozładowania:

Napięcie na kondensatorze przy zwarciu:

Napięcie na cewce:

---