1. Elementy aktywne

1. Źródła niesterowane

Źródło niesterowane może być przedstawione za pomocą jednego z dwóch schematów zastępczych: szeregowego i równoległego

Rys. 3-1. Symbole graficzne źródeł niesterowanych a) rzeczywistego źródła napięcia b) rzeczywistego źródła prądu

Źródło przedstawione za pomocą schematu zastępczego szeregowego nazywamy źródłem napięcia, a za pomocą schematu równoległego źródłem prądu.

Wielkość R_w w schemacie (rys. 3-1a) nosi nazwę rezystancji wewnętrznej źródła napięcia, a G_w (rys. 3-1b) konduktancji wewnętrznej źródła prądu.

Źródło napięcia o R_w = 0 nazywa się idealnym źródłem napięcia (rys. 3-2a), a źródło prądu o G_w = 0 idealnym źródłem prądu (rys. 3-2b).

Rys. 3-2. Symbole zastępcze źródeł niesterowanych a) idealnego źródła napięcia b) idealnego źródła prądu

Źródła idealne mają następujące właściwości:

• napięcie na zaciskach idealnego źródła napięcia nie zależy od obciążenia, tzn. od pobieranego prądu,

• prąd pobierany z idealnego źródła prądu nie zależy od obciążenia tzn. od napięcia na zaciskach źródła.

Napięcie na zaciskach idealnego źródła napięcia nazywamy napięciem źródłowym, a prąd idealnego źródła prądu - prądem źródłowym.

1. Źródła sterowane

Źródło sterowane jest elementem czterozaciskowym (czwórnikiem) i charakteryzuje się tym, że napięcie źródłowe lub prąd źródłowy związany z jedną parą zacisków jest proporcjonalny do napięcia lub prądu związanego z drugą parą zacisków.

Rys. 3-3. Schematy rzeczywistych źródeł sterowanych a) źródło napięcia sterowane prądowo b) źródło napięcia sterowane napięciowo c) źródło prądu sterowane napięciowo d) źródło prądu sterowane prądowo

Cechą charakterystyczną wszystkich czterech typów źródeł sterowanych jest to, że wielkość wyjściowa, będąca wielkością sterowaną, jest proporcjonalna do wielkości wejściowej, będącej wielkością sterującą. Współczynnik proporcjonalności między wielkością sterującą a wielkością sterowaną jest liczbą rzeczywistą.

Rys. 3-4. Schematy idealnych źródeł sterowanych a) źródło napięcia sterowane prądowo b) źródło napięcia sterowane napięciowo c) źródło prądu sterowane napięciowo d) źródło prądu sterowane prądowo

W odniesieniu do poszczególnych typów idealnych źródeł sterowanych można sformułować równania wiążące wielkości sterujące z wielkościami sterowanymi

• źródło napięcia sterowane prądowo (rys. 3-4a)

U₂ = r · I₁ U₁ = 0

• źródło napięcia sterowane napięciowo (rys. 3-4b)

U₂ = μ · U₁ I₁ = 0

• źródło prądu sterowane napięciowo (rys. 3-4c)

I₂ = g · U₁ I₁ = 0

• źródło prądu sterowane prądowo (rys. 3-4d)

I₂ = α · I₁ U₁ = 0

2. Idealne i rzeczywiste źródła napięcia i ich charakterystyki

Rys. 3-1. Źródła napięcia i ich charakterystyki a) obwód elektryczny b) schemat zastępczy rzeczywistego źródła napięcia c) charakterystyka prądowo-napięciowa rzeczywistego źródła napięcia d) charakterystyka prądowo-napięciowa idealnego źródła napięcia

Rys. 3-2. Rzeczywiste źródło napięcia jako odbiornik energii elektrycznej

3. Uogólnione prawo Ohma w obwodzie nierozgałęzionym. Łączenie szeregowe odbiorników

Na rys. 4-1a pokazano obwód złożony z rzeczywistego źródła napięcia o parametrach E, R_w i trzech odbiorników rezystancyjnych R₁, R₂, R₃ połączonych szeregowo.

Rys. 4-1. Obwód elektryczny z kilkoma odbiornikami a) schemat obwodu b) ten sam obwód z włączonymi amperomierzami

Przenoszony w czasie Δt ładunek ΔQ = I ·Δt. Na przeniesienie tego ładunku przez poszczególne odbiorniki potrzebna jest praca

Praca ΔW potrzebna na przeniesienie ładunku ΔQ od punktu a do punktu d

dalej

co można zapisać w postaci ogólnej

Jeżeli w obwodzie działa kilka źródeł napięcia o różnych zwrotach to należy dodać do siebie napięcia o jednym zwrocie i oddzielnie napięcia o przeciwnym zwrocie. Zwrot prądu jest zgodny ze zwrotem przeważających napięć źródłowych, a wartość prądu oblicza się ze wzoru

Prąd płynący w obwodzie elektrycznym nierozgałęzionym jest równy sumie napięć źródłowych podzielonej przez sumę rezystancji łącznie z rezystancjami wewnętrznymi źródeł.

4. Stan jałowy i stan zwarcia źródła napięcia

Na zaciskach rzeczywistego źródła napięcia o parametrach E, R_w napięcie

Rys. 5-1. Rzeczywiste źródło napięcia b) pomiar napięcia stanu jałowego c) pomiar prądu zwarcia

Stan jałowy źródła napięcia jest to stan, w którym prąd płynący przez źródło jest równy zeru. Napięcie na zaciskach źródła napięcia w stanie jałowym nazywane napięciem stanu jałowego jest równe jego napięciu źródłowemu

Stan zwarcia źródła napięcia jest to stan, w którym napięcie na zaciskach źródła jest równe zeru. Wówczas prąd pobierany ze źródła, zwany prądem zwarcia wynosi

Rezystancja wewnętrzna źródła napięcia jest równa ilorazowi napięcia stanu jałowego i prądu zwarcia

Prąd I w obwodzie można wyrazić za pomocą napięcia stanu jałowego i prądu zwarcia, zgodnie z poniższym wzorem

5. Sprawność rzeczywistego źródła napięcia i dopasowanie odbiornika

Moc elektryczna wytworzona w źródle napięcia o parametrach E, R_w przy obciążeniu prądem I wynosi

zaś moc oddawana przez źródło

Moc oddawana jest równa zeru w stanie jałowym i w stanie zwarcia źródła napięcia (rys. 6-1).

Rys. 6-1. Wykres zależności mocy i sprawności rzeczywistego źródła napięcia od prądu obciążenia

Chcąc wyznaczyć największą wartość mocy P₂, jaką źródło może oddać, należy przyrównać do zera pochodną

skąd

Rzeczywiste źródło napięcia oddaje największą moc, gdy prąd obciążenia jest równy połowie prądu zwarcia.

W przypadku obciążenia rzeczywistego źródła napięcia odbiornikiem rezystancyjnym R prąd I wynosi

Źródło oddaje największą moc, gdy

czyli, gdy

Odbiornik pobierający największą moc z danego źródła napięcia nazywa się odbiornikiem dopasowanym do źródła, a jego rezystancja jest równa rezystancji wewnętrznej źródła.

Stosunek mocy elektrycznej oddawanej P₂ do mocy wytwarzanej P₁ wyznacza sprawność źródła napięcia

W przypadku odbiornika rezystancyjnego R sprawność wyraża się wzorem

Rzeczywiste źródło napięcia obciążone odbiornikiem dopasowanym pracuje ze sprawnością 50%.

6. Wykres potencjałów w obwodzie elektrycznym

Rys. 7-1. Przykłady obwodów elektrycznych nierozgałęzionych a) obwód z jednym źródłem napięcia i trzema opornikami b) tenże obwód, w którym opornik R₂ zastąpiono rzeczywistym źródłem napięcia E₂ połączonym zgodnie z E c) tenże obwód, w którym źródła napięcia E₂ i E są połączone przeciwsobnie

Rys. 7-2. Wykresy potencjałów obwodów elektrycznych przedstawionych a) na rys. 7-1a b) na rys. 7-1b c) na rys. 7-1c

Źródło prądu

7. 
   

Rzeczywiste źródło napięcia o napięciu źródłowym E i rezystancji wewnętrznej R_w można zastąpić idealnym źródłem prądu o prądzie I_źr=E/R_w i połączonym równolegle z nim opornikiem o rezystancji R_w.

Odwrotnie: każde idealne źródło prądu zbocznikowane opornikiem R_w można zastąpić rzeczywistym źródłem napięcia o napięciu źródłowym E = R_w I_żr i o rezystancji wewnętrznej R_w.

Gdy R → ∞, to I → 0 - stan jałowy, cały prąd płynie przez opornik bocznikujący R_w

Gdy R → 0, I → I_źr - stan zwarcia, cały prąd płynie przez gałąź zwierającą

Moc obciążająca źródło :

Moc oddawana przez źródło prądu :

Odbiornikiem dopasowanym do źródła prądu nazywa się odbiornik o rezystancji R tak dobranej, że moc pobierana przez odbiornik ze źródła prądu jest największa.

Dopasowanie na maksymalną moc:

Otrzymujemy : R = R_w

Łączenie szeregowe i równoległe źródeł napięcia

1. Łączenie szeregowe.

Układ szeregowy n gałęzi aktywnych i pasywnych (E_j= 0) można zastąpić jedną gałęzią aktywną o napięciu źródłowym E równym sumie napięć źródłowych i o rezystancji R_w równej sumie rezystancji poszczególnych gałęzi aktywnych i pasywnych.

2. Łączenie równoległe.

Układ równoległy n gałęzi aktywnych o dowolnych napięciach źródłowych E_j i konduktancjach G_j , można zastąpić jedną gałęzią o napięciu źródłowym równym sumie iloczynów konduktancji i napięć źródłowych poszczególnych gałęzi podzielonej przez sumę ich konduktancji, która jest zarazem konduktancją gałęzi zastępczej.

Rezystancja gałęzi zastępczej:

8. Prawa Kirchhoffa

I Prawo Kirchhoffa (prądowe) - suma prądów wpływających do węzła jest równa sumie prądów odpływających od węzła.

Σ I = 0

Suma algebraiczna prądów dopływających i odpływających z dowolnie wydzielonego fragmentu obwodu elektrycznego jest równa zeru.

II Prawo Kirchhoffa (napięciowe) - Suma napięć źródłowych w dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego jest równa sumie iloczynów rezystancji i prądów w gałęziach należących do danego oczka.

U_ab = V_a - V_b = E₁ - R₁I₁

U_bc = V_b - V_c = E2 - R₂I₂

U_cd = V_c - V_d = -E₃ +R₃I₃

U_da = V_d - V_a = R₄I₄

E₁ - R₁I₁ +E₂ - R₂I₂ - E₃ + R₃I₃ +R₄I₄ = 0

lub

R₁I₁ +R₂I₂ - R₃I₃ - R₄I₄ = E₁+E₂ - E₃

Σ (RI) = Σ E

Σ (E,U) = 0

W dowolnym oczku obwodu elektrycznego prądu stałego suma algebraiczna napięć źródłowych i napięć odbiornikowych jest równa zeru (jeżeli obwód nie jest poddany działaniu zmiennych pól elektromagnetycznych).

Zastosowanie praw Kirchhoffa do rozwiązywania obwodów elektrycznych rozgałęzionych

Rozwiązywanie obwodu elektrycznego polega na wyznaczaniu prądów przy danych parametrach obwodu i działających w nim wymuszeniach.

Liczba niewiadomych równań jest równa liczbie gałęzi g. Dla ich wyznaczania służą równania prądowe wg I prawa Kirchhoffa dla węzłów

Σ I_k = 0

oraz równania napięciowe wg II prawa Kirchhoffa dla oczek

Σ ( R_k I_k ) = Σ E_k

Liczba równań prądowych w obwodzie o w węzłach wynosi (w-1)

Brakujące równania w liczbie n = g - ( w - 1 ) = g - w +1 należy wypisać na podstawie II prawa Kirchhoffa, gdzie n oznacza liczbę niezależnych oczek w danym obwodzie.

Po wypisaniu równania dla dowolnego oczka skreśla się w nim jedną gałąź w tym celu, aby ją ominąć przy doborze następnych oczek. Postępowanie jest zakończone, gdy nie można utworzyć oczka z samych nie skreślonych oczek.

Metoda oczkowa rozwiązywania obwodów elektrycznych

Liczba niezależnych równań Kirchhoffa, stanowiących podstawę analizy obwodu elektrycznego, jest równa liczbie gałęzi g w danym obwodzie. Składają się na nie równania prądowe w liczbie (w-1) i równania napięciowe w liczbie n oznaczającej liczbę niezależnych oczek.

Metoda oczkowa może być stosowana do rozwiązywania obwodów spełniających zasadę superpozycji, a więc obwodów liniowych.

R₁₁I₁ + R₁₂I₂ + R₁₃I₃ + ... + R_1nI_n = (ΣE)₁

R₂₁I₁ + R₂₂I₂ + R₂₃I₃ + ... + R_2nI_n = (ΣE)₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R_n1I₁ + R_n2I₂ + R_n3I₃ + ... + R_nnI_n = (ΣE)_n

(ΣE)_j - suma napięć źródłowych w oczku j.

Rezystancje własne oczek zawsze ze znakiem (+).

Rezystancje wzajemne ze znakiem (+) jeżeli zwroty prądów oczkowych są zgodne, ze znakiem (-) gdy zwroty prądów oczkowych są przeciwne.

Jeżeli w obwodzie istnieją źródła prądu należy je najpierw zamienić na źródła napięcia, lub tak dobierać oczka, aby znany prąd źródłowy był jednocześnie prądem oczkowym i gałęziowym.

Metoda potencjałów węzłowych

Prąd w gałęzi aktywnej o danych parametrach E oraz G lub R jest zależny od potencjałów na końcach gałęzi.

I_k1 = G(V_k - V₁) + GE

W przypadku gałęzi pasywnej E=0 czyli I_k1 = G(V_k - V₁)

Prąd w dowolnej gałęzi obwodu elektrycznego prądu stałego można wyrazić za pomocą parametrów E, G tej gałęzi oraz różnicy potencjałów na końcach gałęzi, tj. potencjałów węzłowych.

Bilans prądów w węźle l przy przyjętych zwrotach:

I_1l + I₂₁ + I_2l + I_kl = 0

Prądy w poszczególnych gałęzniach:

I_1l = G_1l (V₁ - V₂) + G_1l E_1l

I_2l = G_2l (V₂ - V₁) + G_2l E_2l

I_3l = G_3l (V₃ - V₁) + G_3l E_3l

I_kl = G_kl (V_k - V₁)

Po przekształceniach otrzymujemy równanie dla węzła l:

(G_1l + G_2l + G_3l + G_kl)V_l - (G_1l V₁ + G_2l V₂ + G_3l V₃ + G_kl V_k) = G_1l E_1l - G_2l E_2l + G_3l E_3l

Ogólnie (równanie węzłowe):

Iloczyn sumy konduktancji łączących rozpatrywany węzeł l z węzłami sąsiednimi, przez potencjał tego węzła V_l, pomniejszony o sumę iloczynów konduktancji tych gałęzi G_jl i potencjałów V_j węzłów sąsiednich jest równy sumie iloczynów tych konduktancji i napięć źródłowych E_jl w wymienionych gałęziach.

Napięciom źródłowym E_jl skierowanym do rozpatrywanego węzła przypisujemy znak (+), a znak (-) skierowanym przeciwnie.

Jeżeli do węzła l dopływa prąd I_l to należy go dodać do prawej strony równania węzłowego ze znakiem (+) jeżeli dopływa, ze znakiem (-) gdy wypływa.

Równania węzłowe przyjmują następującą postać ogólną :

G_1l V₁ - G₁₂ V₂ - G₁₃ V₃ ... - G_1m V_m = (ΣI_źr)₁

G_2l V₁ - G₂₂ V₂ - G₂₃ V₃ ... - G_2m V_m = (ΣI_źr)₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

G_ml V₁ - G_m2 V₂ - G_m3 V₃ ... - G_mm V_m = (ΣI_źr)_m

Konduktancje własne węzłów występują ze znakiem (+), a konduktancje wzajemne węzłów ze znakiem (-). Gdy węzły nie są połączone ich wzajemna konduktancja wynosi 0.

Twierdzenie o kompensacji

1. 
   

Punkty ekwipotencjalne w obwodzie elektrycznym można ze sobą zewrzeć nie powodując przez to zmian w rozpływie prądów.

Twierdzenie o kompensacji: Rozpływ prądów w obwodzie elektrycznym nie ulegnie zmianie, jeżeli dowolny element rezystancyjny R tego obwodu zostanie zastąpiony źródłem idealnym o napięciu źródłowym R równym spadkowi napięcia RI na tym elemencie i o zwrocie przeciwnym niż zwrot prądu I.

9. Napięcie źródłowe, którego wartość i zwrot zależą od prądu płynącego przez źródło nazywa się napięciem źródłowym sterowanym.

10. Napięcie źródłowe, którego wartość i zwrot nie zależą od prądu płynącego przez źródło nazywa się napięciem źródłowym niesterowanym.

Element rezystancyjny R, przez który płynie prąd I, można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym sterowanym: E = RI.

Rozwiązywanie obwodów elektrycznych metodą superpozycji

Prąd w dowolnie wybranej gałęzi k przy jednoczesnym działaniu wielu idealnych źródeł napięcia w obwodzie

I_k = I_k1 + I_k2 + ... + I_kg

jest sumą algebraiczną prądów wywołanych w tej gałęzi przez poszczególne źródła napięcia.

Potencjał w dowolnym węźle obwodu liniowego zasilanego przez wiele źródeł napięcia i prądu jest sumą potencjałów wywołanych w tym węźle przez poszczególne źródła przy przyjęciu, że potencjał jednego z węzłów ma stale tą samą wartość, np. równą zeru w wyniku uziemienia.

Metodę superpozycji można stosować do rozwiązywania obwodów elektrycznych. W tym celu oblicza się prądy w gałęziach lub potencjały węzłów, pochodzące od poszczególnych źródeł zakładając, że wszystkie inne źródła mają napięcia źródłowe i prądy źródłowe równe zeru, ale ich rezystancje wewnętrzne i bocznikujące pozostają w obwodzie. Otrzymane wyniki dodaje się algebraicznie.

Twierdzenie Thevenina i Nortona

a. Twierdzenie Thevenina.

Prąd płynący przez odbiornik rezystancyjny R, przyłączony do dwóch zacisków a - b dowolnego liniowego układu zasilającego prądu stałego jest równy ilorazowi napięcia U₀ mierzonego na zaciskach a - b w stanie jałowym przez rezystancję R powiększoną o rezystancję zastępczą R_w układu zasilającego mierzoną na zaciskach a - b.

lub

Obwód elektryczny liniowy o dowolnym ukształtowaniu, traktowany jako złożony dwójnik liniowy aktywny o zaciskach a - b, można zastąpić jednym źródłem o napięciu źródłowym E, równym napięciu stanu jałowego U₀ na zaciskach a - b i o rezystancji zastępczej mierzonej na zaciskach a - b obwodu.

Rezystancję R_w można wyznaczyć z pomiaru stanu zwarcia na zaciskach a - b.

stąd

Do scharakteryzowania aktywnego dwójnika liniowego prądu stałego wystarcza znajomość napięcia stanu jałowego i prądu zwarcia.

3. Twierdzenie Nortona.

Każdy liniowy obwód elektryczny prądu stałego, traktowany jako dwójnik źródłowy o zaciskach a - b, można zastąpić jednym źródłem prądu o prądzie I_żr = U₀/R_w = I_z , równym prądowi zwarcia na zaciskach a - b oraz równolegle włączonym opornikiem o konduktancji G_w = 1/R_w równej konduktancji wewnętrznej obwodu mierzonej na zaciskach a - b.

Prąd płynący przez odbiornik jest proporcjonalny do konduktancji gałęzi odbiornika

Napięcie na zaciskach odbiornika

Twierdzenie o wzajemności

11. 
    

Jeżeli w dowolną gałąź obwodu liniowego pasywnego włączy się idealne źródło napięcia stałego E, a w drugą również dowolną gałąź - idealny amperomierz, to po przełączeniu źródła napięcia i amperomierza z zachowaniem ich biegunowości wychylenie wskazówki będzie identyczne.

1. Prawdziwość twierdzenia można łatwo udowodnić posługując się równaniami oczkowymi:

Prąd I_l obliczony metodą wyznaczników:

Po przełączeniu źródła napięcia E do gałęzi l układu równań zmienią się tylko o tyle, że napięcie źródłowe E wystąpi tylko w wierszu l. Wówczas prąd I_k wyniesie:

Ponieważ podwyznaczniki D_kl i D_lk są sobie równe ze względu na symetrię wyznacznika charakterystycznego względem przekątnej głównej, musi zachodzić równość I_{k =} I_l

1. Prawa Kirchhoffa

Prądowe prawo Kirchhoffa

Suma prądów wszystkich gałęzi incydentnych z węzłem obwodu jest w każdej chwili równa zeru.

Rys. 4.1. Przykład prądowego prawa Kirchhoffa dla węzła

Przykładowo, dla węzła W z rys. 4.1 mamy

Prądowe prawo Kirchhoffa można sformułować również w odniesieniu do rozcięć. Suma prądów wszystkich gałęzi należących do rozcięcia jest w każdej chwili równa zeru.

Rys. 4.2. Przykład prądowego prawa Kirchhoffa dla rozcięcia

Przykładowo, dla obwodu z rys. 4.2 mamy

Prądowe prawo Kirchhoffa można wyrazić, korzystając ze strukturalnej macierzy węzłowej (incydencji) lub strukturalnej macierzy rozcięć. Oznaczmy wektory (macierze kolumnowe) prądów gałęziowych oraz napięć gałęziowych obwodu o b gałęziach

Przy tak oznaczonym wektorze prądów gałęziowych prądowe prawo Kirchhoffa można wyrazić następująco:

• dla węzłów: A_ai = 0

• dla rozcięć: D_ai = 0

Powyższe równania, w których występują pełne macierze, odpowiednio, węzłowa i rozcięć, nie tworzą układów równań liniowo niezależnych. Układy te są nadmiarowe. Równania te są spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy

(4.1)

Oznacza to, że prądowe prawo Kirchhoffa jest spełnione dla wszystkich węzłów i wszystkich rozcięć wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione jest dla węzłów niezależnych lub rozcięć niezależnych.

Napięciowe prawo Kirchhoffa

Suma napięć wszystkich gałęzi należących do oczka jest w każdej chwili równa zeru.

Rys. 4.3. Przykład napięciowego prawa Kirchhoffa

Przykładowo, dla oczka pokazanego na rys. 4.3, zawierającego cztery gałęzie, równanie wynikające z napięciowego prawa Kirchhoffa można napisać w następujący sposób. Obieramy jako dodatni zwrot zgodny z ruchem wskazówek zegara (można wybrać zwrot przeciwny), tak jak pokazano na rysunku. Jeżeli napięcia, których zwroty są zgodne z zaznaczonym zwrotem, zapiszemy ze znakiem plus, a napięcia, których zwroty są przeciwne do obranego kierunku, ze znakiem minus, to tak zapisana suma jest równa zeru.

Napięciowe prawo Kirchhoffa można wyrazić, korzystając ze strukturalnej macierzy oczkowej

Powyższe równanie macierzowe, w którym występuje pełna macierz oczkowa, nie tworzy układu równań liniowo niezależnych. Układ ten jest nadmiarowy. Równanie to jest spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy

(4.2)

Oznacza to, że napięciowe prawo Kirchhoffa jest spełnione dla wszystkich oczek wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione jest dla oczek niezależnych. Równania (4.1) i (4.2) noszą nazwę równań równowagi.

2. Potencjały węzłowe i prądy oczkowe

Potencjały węzłowe

Potencjałem węzłowym węzła W nazywamy napięcie między tym węzłem a węzłem odniesienia. Jako węzeł odniesienia może być wybrany dowolny węzeł.

Niech węzłem odniesienia w obwodzie z rys. 5.1 będzie węzeł (0). Jak pokazano na rysunku, potencjałami węzłowymi są napięcia v₁, v₂, v₃, równe napięciom między poszczególnymi węzłami a węzłem (0).

Rys. 5.1. Obwód z oznaczonymi potencjałami węzłowymi i prądami oczkowymi

W rozpatrywanym przykładzie liczba potencjałów węzłowych jest równa 3. Ogólnie liczba potencjałów węzłowych obwodu o n węzłach jest równa n - 1. Napięcia gałęziowe można wyrazić przez potencjały węzłowe, na przykład dla obwodu z rys. 5.1 mamy

Ogólnie zależność między potencjałami węzłowymi a napięciami gałęziowymi określa równanie

(5.1)

w którym

wektor potencjałów węzłowych, u wektor napięć gałęziowych oraz A^T transponowana macierz węzłowa.

Można udowodnić, że istnienie wektora potencjałów węzłowych v spełniającego równanie (5.1) jest równoważne spełnieniu napięciowego prawa Kirchhoffa. Oznacza to, że równania równowagi można wyrazić, posługując się tylko macierzą strukturalną węzłową. W tym ujęciu równania równowagi mają postać

Prądy oczkowe

Prądem oczkowym nazywamy prąd, który zatacza w oczku jeden cykl, płynąc przez wszystkie gałęzie oczka. W obwodzie o b gałęziach i n węzłach, prądy b - n + 1 oczek niezależnych tworzą układ zmiennych niezależnych.

Trzy prądy oczkowe i_o1, i_o2, i_o3 oznaczone na rys. 5.1 tworzą układ zmiennych niezależnych. Prądy gałęziowe można wyrazić przez prądy oczkowe, a mianowicie

Ogólnie zależność między prądami oczkowymi a prądami gałęziowymi określa równanie

(5.2)

w którym

wektor prądów oczkowych, i - wektor prądów gałęziowych oraz B^T transponowana macierz oczkowa.

Można udowodnić, że istnienie wektora prądów oczkowych i_o spełniającego równanie (5.2) jest równoważne spełnieniu prądowego prawa Kirchhoffa. Oznacza to, że równania równowagi można wyrazić, posługując się tylko macierzą strukturalną oczkową. W tym ujęciu równania równowagi mają postać

---