Wykład XII

Ogólne zasady rozwiązywania równań hydrodynamicznego modelu przepływu.

Metody rozwiązania równania Laplace'a

Wprowadzenie wielkości potencjału prędkości przepływu zbliża rozważanie przepływu do ogólnej teorii pola potencjalnego, co pozwala na wykorzystanie szeregu zagadnień brzegowych rozwiązanych przez badaczy w zakresie teorii pola. Należy podkreślić, że ogólna teoria pola potencjalnego obejmuje teorie dotyczące na przykład pola elektrycznego czy magnetycznego. Rozważmy na początku metody rozwiązywania równania przepływu cieczy nieściśliwej przez nieściśliwy szkielet ośrodka porowatego

Równanie (4.140) jest równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu zwanym równaniem Laplace'a. Jest to równanie zaliczające się do grupy równań eliptycznych.

W ogólnym przypadku równanie Laplace'a jest szczególnym przypadkiem równania Helmholtza:

gdy stała

W pracy [ ] zostały przedstawione szczegółowo własności tego typu równań, twierdzenia oraz dowody jednoznaczności rozwiązań. Aby zrozumieć dalszy ciąg rozważań prowadzących do rozwiązania konkretnych zagadnień brzegowych konieczne jest zapoznanie się z teorią rozwiązywania równania Laplace'a. Z teorii tej dowiadujemy się przede wszystkim, że funkcję ciągłą w obszarze, spełniającą równanie Laplace'a nazywamy funkcją harmoniczną. Można wykazać, że funkcja harmoniczna w obszarze jest w tym obszarze funkcją klasy C², tzn., że w każdym punkcie obszaru ma ciągłe drugie pochodne.

Przykładem funkcji harmonicznej w przestrzeni trójwymiarowej w układzie prostokątnym kartezjańskim jest funkcja liniowa

Ogromne jest bogactwo rozwiązań równania Laplace'a. Mają one tę interesującą własność, że można je otrzymać dokonując pewnych działań nad pewnym rozwiązaniem, zwanym rozwiązaniem podstawowym.

Z analizy wektorowej wiadomo, że Laplacjan funkcji w trójwymiarowej przestrzeni można przedstawić w układzie sferycznym (biegunowym przestrzennym) jak następuje:

Korzystając z tożsamości, którą można bezpośrednio uzyskać przez wykonanie działań w obu jej stronach.

Poszukajmy rozwiązania równania Laplace'a, zależnego od zmiennych
,
. W przypadku zagadnień osiowo symetrycznych pochodna cząstkowa szukanej funkcji
względem zmiennej r stanie się pochodną zwyczajną, zaś pozostałe pochodne cząstkowe będą równe zeru.

Korzystając z zależności (4.161) i (4.162) równanie
zapiszemy w postaci:

Całkowanie prowadzi kolejno do:

Całką ogólną (przy założeniu, że
) jest

Kładąc
i
otrzymujemy rozwiązanie podstawowe równania Laplace'a w przestrzeni

Gdybyśmy wprowadzili układ biegunowy, w którym punktowi 0 odpowiadałby dowolnie ustalony punkt
prostokątnego układu kartezjańskiego, uzyskalibyśmy rozwiązanie (4.167) z tym, że r jako odległość zmiennego punktu
od punktu
wyraziłaby się związkiem:

Poszukujemy rozwiązania podstawowego równania Laplace'a dla przypadku płaskiego. W układzie biegunowym na płaszczyźnie Laplasjan daje się zapisać w postaci:

Wobec tego rozwiązanie równania Laplace'a, zależne tylko od r, znajdziemy całkując równanie różniczkowe:

Mamy kolejno

Kładąc
i
otrzymujemy rozwiązanie równania Laplace'a na płaszczyznach, które nazywać będziemy rozwiązaniami podstawowymi:

Ponieważ rozwiązaniem równania Laplace'a jest funkcja harmoniczna powinniśmy znać kilka podstawowych własności funkcji harmonicznych w przestrzeni:

• Całka pochodnej normalnej funkcji
  harmonicznej w obszarze
  , a ciągłej w jego domknięciu
  , brana po brzegu obszaru jest równa zeru

• Funkcja harmoniczna w każdym punkcie obszaru przybiera wartość równą średniej arytmetycznej swoich wartości na każdej sferze, leżącej w obszarze o środku w tym punkcie i o dowolnym promieniu

• Funkcja harmoniczna niestała w obszarze w żadnym punkcie obszaru nie osiąga swego kresu górnego ani dolnego (zasada ekstremum).

• Funkcja harmoniczna w obszarze
  , a ciągła w jego domknięciu
  jest ograniczona swoimi ekstremalnymi wartościami.

Metodyka rozwiązywania równania Fouriera.

Równanie Fouriera, różni się tym od równania Laplace'a, że w równaniu tym oprócz operatora Laplace'a występuje pierwsza pochodna po czasie funkcji poszukiwanego rozwiązania.

W praktyce, w celu rozwiązania metodami analitycznymi tego równania stosujemy przekształcenie całkowe Laplace'a, które umożliwia nam pozbycie się pochodnej po czasie, a zagadnienie po przejściu do przestrzeni Laplace'a sprowadza się do rozwiązania równania Helmholtza. Równanie to jak to pokazaliśmy w poprzednim podrozdziale rozwiązuje się metodami omówionym wyżej. Szczegółowy opis tych metod znajdzie czytelnik w pracy Jeske Przedecki [ ].

Jedyną istotną różnicą jest określenie w tym przypadku warunków początkowych obok warunków brzegowych.

IV.2.7 Warunki brzegowe i początkowe w modelach hydrodynamicznego przepływu.

Warunki brzegowe

Zagadnieniami brzegowymi teorii przepływu filtracyjnego określonej równaniem Laplace'a, lub Helmholtza nazywają się zagadnienia poszukiwania w obszarze przepływu takiej funkcji, która spełnia pewne warunki na brzegu obszaru.

Są trzy takie zagadnienia:

• Zagadnienia Dirichlet'a

Polega ono na poszukiwaniu funkcji harmonicznej potencjału prędkości
w ograniczonym obszarze
i ciągłej w
, która na brzegu S przybiera z góry dane wartości funkcji potencjału prędkości:

Funkcja f(Q) nazywa się obłożeniem zagadnienia Dirichlet'a i z założenia powinna być ciągła na brzegu S. Można wykazać, że rozwiązanie wewnętrznego zagadnienia Dirichleta jest stateczna tzn. zależy w sposób ciągły od obłożenia.

Warunki brzegowe typu Dirichlet'a określają w przypadku zagadnień przepływu filtracyjnego następujące rodzaje granic:

• Brzeg przepuszczalny, na którym istnieje granica oddzielająca wody podziemne z wodami powierzchniowymi (rowy, zbiorniki wodne itd.)

• Zwierciadło swobodne wód gruntowych

• Kontakt na brzegu dwóch rodzajów cieczy np. woda słodka i morska

• Brzeg, na którym występuje wysączanie wody w przypadku, gdy następuje ono powyżej poziomu wód powierzchniowych

• Zagadnienia Neumann'a:

Polega ono na znalezieniu funkcji harmonicznej potencjału prędkości
w obszarze
i ciągłej w
, której pochodna normalna na brzegu S przybiera z góry dane wartości

Funkcja f(Q) jest z założenia ciągła, a ponadto - zgodnie z własnością funkcji harmonicznych (4.174) spełniona jest dla niej następująca równość:

Można ponadto pokazać, że gdy istnieją dla danego obszaru i danej funkcji brzegowej dwa rozwiązania zagadnienia Neumanna, to w obszarze
różnią się od siebie stałą.

Warunki brzegowe typu Neumanna modelują następujące typy granic:

• Brzeg nieprzepuszczalny, gdy f(Q)=0, gdyż w tym przypadku wydatek przepływający przez granicę jest równy zeru.

• Granica stanowiąca kontakt dwóch obszarów o różnej przepuszczalności

• Zasilanie obszaru o określonej wydajności (znany jest wydatek wpływającej do obszaru cieczy)

• Infiltracja lub parowanie

• Zagadnienie mieszane

Polega o na znalezieniu funkcji harmonicznej
w obszarze
i ciągłej
, której kombinacja liniowa wraz z pochodną normalną;

na brzegu jest zadana.

Zakłada się przy tym, że funkcja F(Q) jest ciągła, zaś
jest ciągła nieujemnie i nie równa tożsamościowo zeru (wówczas zagadnienia Neumanna i Dirichleta nie są szczególnymi przypadkami tego zagadnienia. Można wykazać, że dla danego obszaru
i dla danej kombinacji liniowej istnieje jedno i tylko jedno rozwiązanie.

Warunki tego typu określają następujące typy granic:

• Źródła, gdy ich wydatek zależy od położenia zwierciadła wód gruntowych

• Parowanie lub infiltracja, gdy wydatek zależy od poziomu zalegania zwierciadła wód podziemnych

• Granica modelująca przepływ w przypadku konstrukcji typu ścianki szczelne, dreny uszczelniające fundamenty budowli

• Granica stanowiąca kontakt dwóch obszarów, gdy przepływający wydatek jest funkcją wysokości hydraulicznej

W rzeczywistości możemy mieć sytuację, że brzeg ograniczający obszar
może być podzielony na obszar powierzchniowy, gdzie spełniony musi być jeden z wyżej wymienionych warunków brzegowych.

Warunki początkowe

Jeżeli wyjściowy układ równań różniczkowych, lub określone równanie zawiera pierwsze, lub wyższe pochodne po czasie, to należy podać wartości rozważanych funkcji i ich pochodnych ale o rząd niższy od najwyższego rzędu pochodnej po czasie w chwili t=0. W naszym rozważany przypadku chodzi jedynie o początkowe wartości funkcji w chwili t=+0.

Szereg badaczy rozwiązujących na drodze analitycznej przedstawione powyżej równanie stosując do rozwiązania zagadnienia transformację całkowa Laplace'a przyjmuje, ze w chwili t=+0 poszukiwane funkcje równają się zeru w całym obszarze. Otrzymane przez nich wyniki nie spełniają warunku początkowego. Stwierdzają oni, ze różnica pomiędzy uzyskanym rozwiązaniem przy przejściu granicznym z czasem do zera a przyjętym warunkiem początkowym świadczy o występowaniu tzw. efektów natychmiastowych w chwili t=+0. Zagadnienia niezgodności przyjętych warunków początkowych z wartościami poszukiwanych funkcji w zerze w przypadku równań parabolicznych zajmował się G. Doetsch [ ]. Problem ten omówiony zostanie szczegółowo w rozdz. VIII pracy.

IV.2.6. Model 2D dla przypadku przepływu cieczy nieściśliwej przez pory nieodkształcalnego szkieletu.

IV.2.6.1 Funkcja potencjału prędkości.

Rozwiązanie konkretnego zagadnienia przepływu filtracyjnego powinno być traktowane jako zadanie trójwymiarowe. Jednak rozwiązanie szeregu zagadnień metodami analitycznymi nastręcza duże trudności, a w przypadku metod numerycznych jesteśmy ograniczeni wielkością pamięci maszyn matematycznych. Dlatego rozpatrujemy często przepływ w określonym przekroju, zakładając że w pobliżu tego przekroju własności ośrodka, geometria układu warstw, a więc i parametry przepływu są w przybliżeniu takie same. Wówczas składowa prędkość normalna do przekroju jest równa zero.

Jeżeli w zasięgu rozpatrywanego obszaru zmienia się układ warstw lub własności ośrodka, wówczas można rozwiązać zagadnienie w kilku przekrojach, przyjmując jednakże do obliczeń zawsze schemat dwuwymiarowy.

W przypadku płaskiego przepływu filtracji równanie przepływu cieczy nieściśliwej przez ośrodek jednorodny izotropowy można zapisać w postaci:

lub

Równanie jest ważne w przypadku gdy rozpatrujemy przepływ przez ośrodek jednorodny i izotropowy.

Rozwiązaniem równania (4.180) jest funkcja potencjału prędkości Φ (x, y)

Przyrównując funkcję Φ do stałej C takiej, że

gdzie H₁ i H₂ są to ekstremalne wysokości hydrauliczne na brzegach obszaru filtracji wywołujące przepływ wody w rozpatrywanym obszarze, to dla

dostajemy równanie linii jednakowego potencjału C, który będziemy nazywać powierzchnią ekwipotencjalną.

IV.2.6.2. Funkcja prądu

Przepływ filtracyjny odbywa się wzdłuż linii normalnych do powierzchni ekwipotencjalnych. Wykażemy, że jest tak w rzeczywistości. W przypadku przeciwnym gdyby linia prądu nie była normalna do linii ekwipotencjalnych, można by określić składową prędkości przepływu styczną do powierzchni ekwipotencjalnej.

Rys. 4.11 Związek dla linii prądu

Jak wynika z (4.183) gradient hydrauliczny wzdłuż powierzchni ekwipotencjalnej jest równy zero, więc zerowemu gradientowi hydraulicznemu odpowiedziałaby skończona wartość prędkości filtracji, co sprzeczne jest z prawem Darcy.

Rozpatrzymy dla przykładu pewien odcinek linii prądu, (linia poprowadzona w polu prędkości filtracji w ten sposób, że styczne do niej w każdym punkcie wskazują kierunek wektora prędkości) na rys. 4.11. Weźmy dwa punkty [A(x, y) i B(x, y)] znajdujące się na linii prądu i oddalone od siebie o nieskończenie mały odcinek ds.

Z punktu A przeprowadzimy styczną do linii prądu i wzdłuż niej określimy obraz graficzny wektora prędkości
w punkcie A(x, y). Rzutując wektor na kierunek poziomy i pionowy dostaniemy współrzędne wektora
i
. Wektor
wraz ze współrzędnymi
i
tworzy trójkąt prostokątny ADE.

Ponieważ punkt B znajduje się nieskończenie blisko punktu A, można przyjąć z dokładnością do małych wyższego rzędu, że styczna AE pokrywa się z sieczną AB więc
.

Stąd mamy:

Równanie (4.184) można zapisać inaczej:

które powinno być spełnione w dowolnym punkcie linii prądu.

Załóżmy, że istnieje funkcja Ψ(x, y) określona w obszarze filtracji, taka że różniczka zupełna tej funkcji wynosi:

Jak wiemy, warunkiem koniecznym i wystarczającym na istnienie różniczki zupełnej w postaci:

jest warunek:

W naszym przypadku:

więc aby istniała różniczka zupełna w postaci (4.186), powinien być spełniony warunek:

co możemy zapisać inaczej w postaci:

Równanie (4.191) jest równaniem ciągłości przepływu dla przypadku przepływu płaskiego

(
= 0). Wykazaliśmy więc, że istnieje różniczka zupełna funkcji postaci (4.187).

Wyraźmy pochodne cząstkowe funkcji
przy pomocy składowych wektorów prędkości.

Ponieważ różniczkę zupełną funkcji
można zapisać w postaci:

dostajemy:

Z równania (4.185) wynika, że dla każdej linii prądu:

więc linię prądu określa równanie:

dlatego funkcję
będziemy nazywali funkcją prądu.

Zbadajmy relację funkcji prądu
i funkcji potencjału Φ. W tym celu skorzystamy ze związków:

i

i

stąd dostaniemy:

i

Związki (4.197) są związkami Cauchy - Riemanna, więc zgodnie z pracą [Jeske, Przedecki...] rodziny krzywych:

są wzajemnie ortogonalne. Układ tych linii w przypadku zagadnień filtracji, nazywamy siatką hydrodynamiczną przepływu.

Różniczkując związek (4.197.1.) po
, a związek (4.197.2) po
dostajemy:

Ponieważ w powyższych związkach (4.102) lewe strony są identyczne, możemy zapisać:

Funkcja prądu Ψ spełnia więc równanie Laplace'a, co możemy zapisać w postaci :

Rozwiązanie konkretnego zagadnienia sprowadza się do rozwiązania równań różniczkowych:

W wyniku rozwiązania powyższych równań różniczkowych możemy określić siatkę hydrodynamiczną przepływu. Sposoby rozwiązania płaskich zagadnień filtracji zostaną przedstawione w podrozdziale VIII. ...

Rys: 4.12 Obliczenie wydatku przepływającego pomiędzy dwoma liniami prądu

Rozważmy niewielki obszar siatki hydrodynamicznej przepływu - rys. 4.12. Obliczymy wydatek przepływający pomiędzy dowolną linią prądu Ψ, a linią oddaloną o nieskończenie mały odcinek Ψ + dΨ . Ponieważ wydatek cieczy przepływającej przez powierzchnię ds*1 wynosi:

Wydatek przepływający przez powierzchnię ekwipotencjalną reprezentowaną linią A i B wynosi:

Całkę krzywoliniową (4.204) można zastąpić całką iterowaną:

Na podstawie wzoru (4.186) wiemy, że

Stąd:

Znając więc wartości funkcji prądu odpowiadających dwóm liniom prądu (przechodzące przez punkty A i B na rys. 4.12) można określić wydatek przepływający pomiędzy tymi liniami prądu, którym odpowiadają odpowiednie wartości funkcji prądu

IV.2.6.3. Siatka hydrodynamiczna przepływu

Większość praktycznych zadań teorii filtracji można traktować jako zadanie płaskie, lub osiowo - symetryczne (opływ budowli wodnej, przepływ przez grodze ziemne, dopływ do rowu lub studni).

Rozwiązanie konkretnego zadania będzie polegało na określeniu w obszarze filtracji potencjału prędkości
i funkcji prądu
. Graficznym przedstawieniem rozwiązania zagadnienia będzie układ linii
=const i
=const tworzących siatkę hydrodynamiczną przepływu.

W podrozdziale IV.1.6.2. pracy wprowadzono równania różniczkowe jakie spełniają funkcję
i
, a mianowicie:

• dla zagadnień płaskich:

i

• dla zagadnień osiowych symetrycznych:

i

gdzie:

Funkcje
i
muszą spełniać również warunki brzegowe.

Dla przypadku płaskiego zagadnienia przepływu siatkę hydrodynamiczną przedstawiono przykładowo na rys. 4.13

Rys. 4.13 Przykład siatki hydrodynamicznej przepływu

IV.2.6.4. Warunki brzegowe i początkowe.

W konkretnych zadaniach ograniczymy się do kilku rodzajów warunków brzegowych na granicach obszaru filtracji:

1. na granicach nieprzepuszczalnych,

2. na granicach przepuszczalnych,

3. wzdłuż linii wyznaczonej przez powierzchnię swobodnych wód gruntowych,

4. wzdłuż linii wypływu wody ponad zwierciadłem wody swobodnej,

5. na granicy dwóch ośrodków przepuszczalnych o różnych współczynnikach filtracji.

Rys.4.14 Rodzaje granic obszaru

Rodzaje granic obszaru dla przykładowo przyjętego obszaru filtracji przedstawiono na rys. 4.14

Ad.a) Nieprzepuszczalne granice obszaru filtracji wyznaczają:

• ścianki szczelne (linia JN),

• założone granice obszaru filtracji (linia ALMH),

• linie kontaktu obszaru filtracji z warstwami nieprzepuszczalnymi,

• kontury zapór (linia łamana DCBPOGFE).

Granice nieprzepuszczalne są liniami prądu (patrz definicja linii prądu podrozdział IV.2.6.3) i dlatego funkcja prądu wzdłuż tych linii ma wartość stałą:

Ponieważ składowa normalna do granicy nieprzepuszczalnej prędkości filtracji jest równa zero, warunek brzegowy na funkcję potencjału prędkości ma postać

gdzie: n -normalna do granicy nieprzepuszczalnej.

Zazwyczaj granice nieprzepuszczalne złożone są z odcinków prostych.

Niech równane takiego odcinka ma postać:

Równania (4.211) lub 4.212) można rozpatrywać jako warunki, które winny być spełnione wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej opisanej równaniem (4.213).

Ad. b) Przy dużych rozmiarach zbiornika wodnego można założyć, że rozkład ciśnienia p wzdłuż granic przepuszczalnych jest zgodny z prawami hydrostatyki.

Rys. 4.15 Warunki brzegowe na granicach przepuszczalnych

Dlatego w dowolnym punkcie M znajdującym się na granicy AB (rys.4.15) między gruntem a zbiornikiem wodnym, wartość ciśnienia wynosi:

gdzie:

- ciśnienie atmosferyczne,

- ciężar własny wody,

- wysokość hydrodynamiczna w punkcie M w układzie osi (x, y)

y - wysokość położenia w układzie osi (x, y)

Ponieważ funkcja potencjału prędkości wyraża się wzorem:

wartość funkcji
w dowolnym punkcie M wynosi:

Z tego wynika, że dla dowolnego punktu M znajdującego się na granicy przepuszczalnej w kontakcie z wodą, funkcja potencjału:

innymi słowami, granica przepuszczalna jest granicą stałego potencjału prędkości.

Wzdłuż granicy przepuszczalnej, składowe styczne wektora prędkości są równe zero. Z tego wynika warunek brzegowy na funkcję prądu:

n - normalna do granicy przepuszczalnej.

W przypadku gdy granica przepuszczalna stanowi krzywą wyrażoną równaniem:

będziemy traktować równania (4.217) lub (4.218) jako warunki, które muszą być spełnione wzdłuż tej granicy opisane równaniem (4.219).

Ad. c) powierzchnia swobodna wód gruntowych stanowi linię rozgraniczającą obszar wód grawitacyjnych od gruntu suchego, lub gdy uwzględnimy własności kapilarne gruntu od strefy wód kapilarnych.

Rys. 4.16 Warunki brzegowe na linii swobodnej powierzchni wód gruntowych

W pierwszym przypadku zakładamy, że ciśnienie na kontakcie gruntu nawodnionego i suchego jest równe ciśnieniu atmosferycznemu.

Korzystając ze wzoru (4.215) na linii swobodnej powierzchni zwanej także krzywą depresji, uzyskujemy warunek:

Gdy oś ”y” jest skierowana w dół warunek (4.220) zastępujemy warunkiem:

Uwzględniając strefę kapilarną wód gruntowych przyjmujemy, że na powierzchni swobodnej ciśnienie posiada wartość stałą, mniejszą od atmosferycznego o wielkość odpowiadającą wysokości wzniesienia kapilarnego wody w gruncie:

gdzie:

_- wysokość wzniosu kapilarnego.

Obserwacje wykazują, że przy ruchu wód gruntowych należy przyjmować h_k mniejsze od uzyskanego podczas badania wzniosu kapilarnego w rurce z gruntem (praca [..........]). Podstawiając wartość p do wzoru (4.208) otrzymamy znów warunek (4.220) lub (4.221) lecz z inną wartością stałej. Krzywa depresji jest jednocześnie skrajną linią prądu dla danego obszaru filtracji. Musi więc być spełniony warunek:

Warunek (4.220; 4.223) lub (4.221; 4.223) są warunkami brzegowymi na linii powierzchni swobodnej wód gruntowych. Występowanie na jednym brzegu jednocześnie dwóch warunków brzegowych wskazywałoby na naddeterminację warunków brzegowych na tym brzegu. Musimy sobie jednak zdawać sprawę z faktu, że linia reprezentująca powierzchnię swobodną jest a priori nie znana. Mamy więc w tym przypadku do rozwiązania zagadnienie z nieznanym brzegiem. Istnieje więc konieczność występowania dwóch warunków brzegowych, a zagadnienie nie posiada nieuzasadnionej nadwyżki jednego warunku brzegowego.

Swobodna powierzchnia wód gruntowych może być zasilana przez opady, tajanie śniegu itp. W tym wypadku mówi się, że istnieje infiltracja z powierzchni terenu do swobodnej powierzchni wód gruntowych.

Zgodnie z pracą [..........] przyjmuje się w takim przypadku następującą zasadę określania dopływu do swobodnej powierzchni:

”Wydatek wody przez dowolną część swobodnej powierzchni jest proporcjonalny do rzutu poziomego łuku tej powierzchni, lub inaczej jest proporcjonalny do różnicy odciętych końców tego łuku”.

Zgodnie z cytowaną wyżej zasadą, uzyskujemy warunek na powierzchni swobodnej w postaci:

i
- są to wartości funkcji prądu w punktach powierzchni swobodnej o odciętych

x i x_0.

- ilość wody dopływającej podczas jednostki czasu na jednostkę długości

poziomego rzutu łuku krzywej depresji (intensywność filtracji).

Dla rozpatrzonego przypadku intensywność infiltracji wynosi
>0. Uwzględniając parowanie ze swobodnej powierzchni wody, mamy do czynienia z tzw. Infiltracją ujemną. Warunek brzegowy będzie miał postać (4.121) z tą różnicą, że będzie posiadał wartość ujemną.

Ogólnie można powiedzieć, że warunki (4.220) lub (4.221) i (4.224) są najbardziej ogólnymi warunkami dla krzywej depresji przy czym
może być dodatnie (infiltracja), ujemne (parowanie) lub równe zero.

Ad. d) Linię wypływu wody ponad zwierciadłem wody swobodnej, będziemy nazywali linią wysięgu.

Obszary wysięgu mogą istnieć po stronie odpowietrznej grodzy ziemnej na ściankach studni, rowów drenażowych itp.

Wzdłuż linii wysięgu ciśnienie winno być równe ciśnieniu atmosferycznemu, powinien więc być spełniony warunek (4.220) lub (4.221).

Wzdłuż linii wysięgu warunek brzegowy wyrażony poprzez funkcję prądu ma postać:

Ad. e) Warunki na granicy występowania dwóch gruntów o różnych współczynnikach filtracji musimy określić gdy mamy do czynienia z ośrodkiem uwarstwowionym.

Rys. 4.17 Granica dwóch ośrodków o różnych współczynnikach filtracji

Załóżmy, że woda gruntowa przepływa przez dwa grunty z różnymi współczynnikami filtracji k₁ i k₂ , graniczącymi z sobą wzdłuż linii L M (rys 4.17)

Dla każdej z warstw wzdłuż linii kontaktu LM warstw , funkcja potencjału prędkości ma postać:

przy czym:

p₁ i p₂ - odpowiednie ciśnienie na linii kontaktu w pierwszej i drugiej warstwie.

Ponieważ przy przejściu wody przez granicę dwóch ośrodków, ciśnienia winno się zmieniać w sposób ciągły, mamy:

Korzystając z warunku (4.228) i wyrażeń (4.227) i (4.226) otrzymujemy warunek brzegowy na funkcję potencjału prędkości w postaci:

lub gdy dowolną stałą przyjąć równą zero:

Drugi warunek otrzymamy wiedząc, że składowa normalna wektora prędkości jest identyczna w jednym i drugim ośrodku (z prawa ciągłości przepływu).

Oznaczając przez v_1n i v_2n normalne składowe wektora prędkości wzdłuż linii kontaktu ośrodków L M mamy:

Oznaczając dla każdego z ośrodków funkcje prądu Ψ₁ i Ψ₂ i korzystając ze wzoru (4.195) warunek (4.231) można zapisać w postaci:

gdzie: s - styczna wzdłuż linii kontaktu.

Obierając stałą całkowania równą zero otrzymamy na linii granicznej warunek (4.232) w postaci:

Równania (4.230) lub (4.231) stanowią warunki brzegowe jakie winny być spełnione wzdłuż linii kontaktu dwóch ośrodków o różnych współczynnikach filtracji.

Zróżniczkujemy teraz (4.230) po zmiennej stycznej do łuku linii kontaktu warstw o różnych współczynnikach:

Wprowadzając składowe styczne wektora prędkości v_1s i v_2s otrzymamy:

Na podstawie rys. 4.17 można zapisać:

i

gdzie
i
- kąty między normalną do linii granicznej i wektorami prędkości.

Uwzględniając zależności między składowymi stycznymi i normalnymi wektorów prędkości w obydwu ośrodkach (4.230; 4.235 i 4.236) dostajemy:

Równanie (4.132) określa prawo załamania strumienia filtracji na kontakcie dwóch warstw o różnych współczynnikach filtracji

---