Mandat Marek

Zagadnienia teoretyczne

Odkształcenie ciała jest spowodowane działaniem zrównoważonych sił lub zrównoważonych momentów sił. Gdy odkształcenie znika z chwilą usunięcia sił odkształcających, jest to odkształcenie sprężyste, a zjawisko to nazywamy sprężystością. Takie odkształcenie, które nie znika po usunięciu siły nazywamy odkształceniem plastycznym, a zjawisko to nazywamy analogicznie plastycznością. Siły zniekształcające mogą działać prostopadle lub stycznie do powierzchni.

Siły działające prostopadle do powierzchni nazywamy siłami normalnymi, zaś stosunek siły F_n do powierzchni S, na którą działają, nazywamy naprężeniem normalnym:

Miarą wielkości odkształcenia jest odkształcenie względne e, które jest stosunkiem zmiany długości Dz do długości początkowej z:

Siły deformujące mogą działać także stycznie do powierzchni. Stosunek siły stycznej F_s do powierzchni S, na którą działa, nazywamy naprężeniem stycznym:

W tym przypadku rolę względnego odkształcenia spełnia kąt ścinania g.

Odkształceniami sprężystymi ciał stałych rządzi prawo Hooke'a, które mówi, że naprężenie jest proporcjonalne do odkształcenia. W przypadku naprężenia normalnego prawo to wyraża się wzorem s=Ee , gdzie współczynnik proporcjonalności E nazywa się modułem Younga. Natomiast w przypadku naprężenia stycznego prawo Hooke'a można wyrazić wzorem t=Gg. Tutaj współczynnik G nazywa się modułem sztywności. Prawo Hooke'a nie jest spełnione dla dowolnych naprężeń. Po przekroczeniu naprężenia zwanego granicą proporcjonalności odkształcenie nie jest już zgodne z prawem Hooke'a. „Granicą sprężystości nazywamy takie naprężenie, po przekroczeniu którego ciało nie powraca już do poprzednich wymiarów z dokładnością do 0.003%” (Szydłowski H., Pracownia Fizyczna). Granicą wytrzymałości natomiast nazywamy takie naprężenie, przy którym ciało ulega zniszczeniu (zerwanie, rozkruszenie, itp.).

Przy skręcaniu drutu, każdy jego element ulega deformacji prostego ścinania. Weźmy na przykład cylindryczny wycinek drutu (pierścień) o promieniu wewnętrznym r', grubości dr' i długości l, która jest równa długości całego drutu. Wtedy kąt ścinania g wynosi (r'a )/ l, gdzie a jest względnym kątem obrotu

Mandat Marek

jednego końca cylindra względem drugiego. Podstawiając powyższe do prawa Hooke'a dla naprężeń stycznych, otrzymujemy

Naprężenie styczne t jest stosunkiem działającej siły stycznej dF_s do powierzchni przekroju pierścienia: S=2pr'dr'. Wówczas powyższe równanie zmienia się na

Mnożąc obustronnie przez r' otrzymujemy moment siły dM, działający na pierścień:

Sumując wszystkie pierścienie, tzn. całkując powyższe wyrażenie po r' w granicach od r'= 0 do r, otrzymujemy następujące wyrażenie na moment siły:

W przypadku gdy chcemy wyznaczyć moduł sztywności metodą statyczną, za pośrednictwem przerzuconych przez bloczki dwóch równoległych nici skierowanych w przeciwnych kierunkach, wytwarzamy moment skręcający na na tarczy o promieniu R, która przekazuje tenże moment drutowi. Wówczas tworzy się moment skręcający M=2RF. Pamiętając o zależności F=mg, podstawiamy to do powyższego wzoru i otrzymujemy wzór na moduł sztywności skręcanego drutu:

Opis doświadczenia

W celu wyznaczenia modułu sztywności drutu, po ustawieniu i wypoziomowaniu urządzenia dokonałem dziesięciu pomiarów średnicy drutu śrubą mikrometryczną. Średnia wartość średnicy drutu wyniosła w tym przypadku 2,5 mm a zatem jego promień ma wartość 1,25 mm . Następnie zmierzono długość drutu oraz średnicę tarczy. Położenie początkowe tarczy (bez dodatkowego obciążenia) wynosiło 250°. Następnie obciążano szalki odważnikami, przy obciążeniach od 0 do 120 g co 10 g, za każdym razem notując kąt skręcenia tarczy względem wskaźnika. W celu zmniejszenia możliwego błędu, pomiary powtórzono także dla obciążeń malejących.

Mandat Marek

Opracowanie wyników pomiarów

Najpierw wyliczono wartości średnie dla jednakowych obciążeń dla obciążeń rosnących i malejących, jak również wartości sił działających na szalki (obciążenie razy przyśpieszenie grawitacyjne - 9.8115 m/s²) :

OBCIĄŻENIE [g]	SIŁĄ [N]	ODKSZTAŁCENIE POMIAR ROSNĄCY[°]	ODKSZTAŁCENIE POMIAR MALEJĄCY[°]	ODKSZTAŁCENIE ŚREDNIE [°]
10	0,0981	0,5	3,5	2
20	0,1962	3	7,5	5,25
30	0,2943	6,5	11,5	9
40	0,3924	10	17,5	13,75
50	0,4905	14	21,5	17,75
60	0,5886	18	24,5	21,25
70	0,6867	21	28	24,5
80	0,7848	25,5	32,5	29
90	0,8829	28	35,5	31,75
100	0,981	32,5	36,5	34,5
110	1,0791	36	40,5	38,25
120	1,1772	39,5	41	40,25

Podstawiając kolejno wartości siły i odkształcenia do wzoru

i jednocześnie przeliczając stopnie na radiany otrzymujemy następującą tabelkę:

SIŁA [N]	WYCH. I [rad]	WYCH.II [rad]	MODUŮ SZTYWNOÚCI I [N/(m˛*rad)]*10ąą	MODUŮ SZTYWNOÚCI II [N/(m˛*rad)]*10ąą
0,0981	0,009	0,061	5,85	0,84
0,1962	0,052	0,131	1,95	0,78
0,2943	0,113	0,201	1,35	0,76
0,3924	0,175	0,305	1,17	0,67
0,4905	0,244	0,375	1,05	0,68
0,5886	0,314	0,428	0,98	0,72
0,6867	0,366	0,489	0,98	0,73
0,7848	0,445	0,567	0,92	0,72
0,8829	0,489	0,620	0,94	0,74
0,981	0,567	0,637	0,90	0,80
1,0791	0,628	0,707	0,89	0,79
1,1772	0,689	0,716	0,89	0,86

Wobec tego średnia wartość modułu sztywności z obu pomiarów badanego pręta wynosi 9,25*10ąş N×m^-2×rad^-1.

Mandat Marek

Następnie sporządzono wykres odkształcenia jako funkcji siły odkształcającej (patrz ostatnia strona). Obliczyłem też zależność między naprężeniem i odkształceniem metodą . Okazało się, że ctg nachylenia linii prostej funkcji a = f(F) wynosi 35,678 . Wobec tego, w tym przypadku siła 1 N (2 N jeśli bierzemy pod uwagę obie szalki) odkształca drut o 35.678___

Podstawiając dwie ostatnie wartości do wzoru

i jednocześnie przeliczając kąt na radiany otrzymujemy:

Jest to wynik różniący się od otrzymanego metodą tradycyjną o 10%.

Ocena błędu i wnioski

Błąd zostanie policzony metodą różniczki zupełnej. Ponieważ korzystaliśmy ze wzoru

,

przykładowy błąd dla ostatniej wartości w tabelce dla pomiaru pierwszego wynosi:

G = 1,28 * 10⁹ N×m^-2×rad^-1

Jest to błąd względny rzędu 1,4%. Należy jednakże wziąć pod uwagę fakt, że licząc błąd nie policzono błędu masy ciężarków zawieszanych na szalkach. Z braku innej możliwości ich wartości nominalne przyjąłem za pewnik, i stąd nie ma możliwości uwzględnienia błędu siły F. Błąd odczytu kąta odkształcenia (0.5°) naniesiono na wykresie. Oceniając błąd pomiaru, dodatkowo należałoby także uwzględnić np. opory tarcia bloczków.

Porównując otrzymaną wartość modułu sztywności badanego drutu (9,25×10¹⁰ N×m^-2×rad^-1) z danymi tablicowymi (Szydłowski H., Pracownia Fizyczna, PWN 1997), zauwaýamy, ýe jedynymi metalami, których moduů sztywnoúci jest podobny do naszego sŕ nikiel (7.8), stal (8.15), i ýelazo kute (8.1 * 10ąşN×m^-2×rad^-

Mandat Marek

¹). Ponieważ drut z całą pewnością nie był kuty, a druty z niklu są drogie i bardziej błyszczące niż ten w pracowni, z dużą dozą pewności możemy stwierdzić, że drut został wykonany z któregoś ze stopów stali.

---