Najobszerniejszą podgrupą przekształceń rzutowych są przekształcenia afinicz­ne. Przekształcają one proste i płaszczyzny właściwe na proste i płaszczyzny właściwe, a proste i płaszczyzny niewłaściwe na siebie. Niemniej kąty mogą ulegać zmianom i mogą być wprowadzane zmiany skali. Wzór ogólny na przekształcenie rzutowe będzie można wykorzystać do przekształcenia afinicznego, jeśli zostaną nałożone następujące warunki:

— dla punktów niewłaściwych ρy₄ = a₄₁x₁+ a₄₂x₂+ a₄₃x₃+ a₄₄x₄ (jest speł­niony wtedy gdy a₄₁ = a₄₂ = a₄₃ = a₄₄ = 0),

— dla punktów właściwych ρy₄ = a₄₄x₄

Nakładając ten ostatni warunek na równania i postępując z nimi podobnie jak przy wyprowadzaniu wzorów na przekształcenie przestrzeni punktów właściwych, a ponadto uwzględniając wektor przesunięcia układów Ao, otrzymuje się wzory, które w ogólnym zapisie mają postać

x' = A_ijx + A_o

przy czym det A_ij ≠ O

Transformacja afiniczna w przestrzeni trójwymiarowej zawiera dwanaście stopni swobody : dziesięć elementów macierzy A_ij (nazywane przekształceniem liniowym) i trzy elementy macierzy Ao (tzw. wektor przesunięcia równoległego, czyli inaczej translacji).

Elementy macierzy A_ij zawierają w sobie obrót swobodny dwóch ukośnokątnych układów rozmiary skali w dowolnych kierunkach. Interpretacja elementów macierzy A_ij jest zależna od przyjmowanych założeń wyj­ściowych. Na przykład kiedy współrzędne par punktów homologicznych podane są w układach kartezjańskich prostokątnych (Oxyz i O'x'y'z' — założenie ortogonalności układów) i zmiana skali dopuszczona jest tylko w kierunku osi jednego z tych układów, to przekształcenie afiniczne można zapisać:

x' =_(a₁₁ x+a₁₂ y+a₁₃ z)+a₁₄

y'=_(a₂₁x+a₂₂ y+a₂₃ z) +a₂₄

z'=₃(a₃₁x+a₃₂ y+a₃₃ z)+a₃₄

gdzie _, _, _,- współczynniki zmiany skali pomiędzy układami w kierunku osi układu O' x' y' z'

a_ij — elementy macierzy ortogonalnej A_ij czyli Ia_ijI = 1, nazywanej macierzą obrotu sztywnego.

Geometryczną interpretacją przekształcenia afinicznego jest rzut równoległy, który jest tym przypadkiem rzutu środkowego, w którym środek rzutu jest punktem niewłaściwym.

17. Przekształcenia afiniczne w przestrzeni trójwymiarowej

---