Laplace'a przekształcenie, przekształcenie przeprowadzające pewną funkcję f(t) (tzw. oryginał), taką że f(t)=0 dla t<0, posiadającą skończoną liczbę punktów nieciągłości, oraz ograniczoną w każdym przedziale, w funkcję zmiennej zespolonej f(s) (tzw. obraz), przy czym

przekształcenie odwrotne wyrażane jest wzorem:

gdzie γ - pewna stała.

Przekształcenie Laplace'a stosuje się do rozwiązywania liniowych równań różniczkowych dowolnego rzędu, które sprowadza się do równania algebraicznego.

Funkcja jednostkowa

f(t)=N(t)

Wartość funkcji w punkcie nieciągłości

f(t)=N(t)-N(t-t_o)

Przekształcenie Laplace'a funkcji jednostkowej

Przekształcenie Laplace'a funkcji wykładniczej

Tw. transformaty Lapleace'a

Przekształcenie Laplace'a funkcji trygonometrycznych

• sinus

• cosinus

Przekształcenie Laplace'a funkcji hiperboliczny

• sinus

• cosinus

Tw. o holomorficzności transformaty

Przykłady

Wzór ogólny

Transformata pochodnej funkcji

Przykład zastosowania transformacji Laplace'a do rozwiązywania równań różniczkowych

A + C = 1 ; B + C = 0 ; A + B = 0 ;

A = 1 - C ; B = - C; 1 - C - C = 0 ;

A = 0,5 ; B = -0,5 ; C = 0,5 ;

Tw. Cauchego

Przykład

C1 - obszar wokół punktu x,y=(-1,0) - pierwszy punkt całkowania

C2 - obszar wokół punktu x,y=(0,0) - drugi punkt całkowania

Zadanie

Wyznaczyć orginał funkcji f(s)=1/(s²-1)

Oryginał

sinh(t) dla t>0;

0 dla t<0;