PRZEDZIAŁY UFNOŚCI

Znacznie częściej niż estymacje punktową stosuje się estymacje przedziałową polegającą na wyznaczeniu dla szacowanych parametrów przedziałów ufności. Załóżmy, że rozkład cechy X w populacji generalnej zależy od parametru T.

Przedziałem ufności nazywamy taki przedział który zawiera z góry danym prawdopodobieństwem 1 - α zwanym poziomem ufności o nieznanej wartości parametru T w populacji generalnej.

Przedziały ufności wyznaczamy na podstawie danych z próby , jako poziom ufności przyjmujemy wartości bliskie 1 np..: 0,9, 0,95, 0,98,.........itd.

Podstawą konstrukcji przedziału ufności dla danego parametru jest właściwie dobrany estymator o znanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Końce przedziału ufności są określone poprzez zmienne losowy. Po podstawieniu wartości tych zmiennych wyznaczonych dla konkretnej próby otrzymujemy liczbowy przedział ufności. Jako błąd oszacowania przyjmuje się połowę długości przedziału ufności.

PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI PRZECIĘTNEJ

Przedział ufności dla wartości przeciętnej wyznaczamy korzystając ze średniej arytmetycznej tzn. ze statystyki.

^k

Σ X_i n_i

_ _i=1 1 ^k

X = ————— = —— ∑ x_i n_i

^k n _i=1

Σ n_i

_i=1

Rozpatrujemy następujące sytuacje:

I. Zakładamy ,że cecha ma w populacji generalnej, rozkład normalny o znanym odchyleniu standardowym

N (m,σ)

σ - znane

Wówczas średnia arytmetyczna ma rozkład normalny o parametrach

σ

N ( m, —— )

√ n

_ 1 ^k

X = —— ∑ x_i n_i

n _i=1

Statystyka

_

X - m

U = ————— √ n

σ

o parametrach N ( 0,1 )

Przy wyznaczeniu przedziału ufności dla zadanego z góry poziomu ufności 1- α w tablicach rozkładu normalnego, odczytujemy wartość

P( - Uα < U < Uα ) = 1- α

tak aby spełniony był warunek tzn. taką wartość Uα aby

α

F ( Uα ) = 1 - —— 1- α

2

Uα

Podstawiając U i przekształcając nierówność podwójną otrzymujemy przedział ufności dla wartości przeciętnej. Dla konkretnych wartości z próby podstawionych do tak przekształconych krańców przedziału otrzymujemy liczbowy przedział ufności

_ σ _ σ

X = Uα ——— < m < X + Uα ———

√ n √ n

który zawiera nieznaną wartość przeciętna z prawdopodobieństwem 1- α

Błąd popełniony przy oszacowaniu jest równy połowie

σ

Dx = Uα ———

√ n

Przekształcając wzór określający błąd szacunku możemy wyznaczyć minimalną liczebność próby dającą w tych warunkach oszacowanie z góry ustalonym błędem szacunku.

U²_α σ

N ≥ ————

d²

d - dopuszczalny błąd

II. Załóżmy, że nie znamy odchylenia standardowego ale dysponujemy dużą próbą

σ - nieznana próba duża n> 30

Wówczas statystyka U określona jak poprzednio

_

x - m

U = ———— √ n

S

Gdzie S jest odchyleniem standardowym z próbą wówczas statystyka u ma rozkład asymptotycznie normalny i analogicznie jak poprzednio możemy wyznaczyć liczbowy przedział ufności.

_ s _ s

X - Uα ——— < m < X + Uα ———

√ n √ n

gdzie S jest odchyleniem standardowym obliczonym dla próby

σ - cała zbiorowość

III. Cecha ma rozkład normalny ale my dysponujemy małą próbą , liczebność nie przekracza 30 elementów n≤30 wówczas bierzemy pod uwagę inną statystykę. Wówczas ta statystyka T ma rozkład studenta o n-1 o stopniach swobody

_

X - m

T _n-1 = ———— √ n -1

s

Po dokonaniu odpowiednich przekształceń otrzymujemy liczbowy przedział ufności

_ s s

X - tα _n-1 ——— < m < X + tα _n-1 ———

√ n -1 √ n -1

w którym wartość tα _n-1 odczytujemy z tabeli rozkładu studenta tak aby prawdopodobieństwo

P ( t _n-1 > tα _n-1 ) = α

Przedział ten zawiera nieznaną wartość przeciętną z prawdopodobieństwa 1- α błędu oszacowania

s

dx = tα _n-1 ———

√ n -1

Jeżeli na podstawie próby wyznaczono wartość estymatora Ŝ to w podanych wzorach przeliczamy te wartości lub podstawiamy Ŝ i otrzymujemy

_ Ŝ _ Ŝ

X - tα _n-1 ——— < m < x + tα _n-1 ———

√ n -1 √ n -1

Ŝ

dx = tα _n-1 ———

√ n -1

Korzystając z wzoru określającego błąd szacunku możemy wyznaczyć taką liczebność próby aby w tych warunkach uzyskać oszacowanie z góry przyjętą dokładnością

tα _n-1 Ŝ²

n ≥ —————

d²

Jeśli przeprowadzamy oszacowanie na podstawie dużej próby I otrzymaliśmy błąd szacunku nas nie satysfakcjonujący to traktujemy to jak próbę wstępną a liczebność próby właściwej ustalamy zgodnie ze wzorem 15. Przyjmując σ ≈ s dla wstępnej próby.

W modelu III minimalna liczebność próby ustalamy też na podstawie próby wstępnej liczonej n₀ elementów z której wyznaczono wartość estymatora Ŝ.

Badano przeciętną wysokość czynszu i na poziomie ufności 1-2 równe 0+0.95 uzyskano dla prób o liczebności 10,25,676 następujące wyniki.

Zakładamy przy tym , że wydatki na czynsz mają rozkład normalny Ŝ

Przedziały ufności dla wydatków na czynsz przy parametrach próby:

_

x = 285 zł i s = 59 zł gdy poziom ufności 1- α = 095

zmienia się liczebność próby

Im większa jest liczebność próby przy tym samym poziomie ufności tym mniejszy błąd szacunku - lepsza precyzja oszacowania. W tym samym badaniu chcemy sprawdzić wpływ poziomu ufności na precyzję oszacowania. Przyjmijmy więc za podstawę obliczeń dane z próby liczącej 676 elementów i jako poziom ufności przyjmujemy kolejno 0,95, -0,98, -0,99.

Przy ustalonej liczebności próby, im wyższy jest poziom ufności tym szerszy przedział ufności czyli większy błąd szacunku.

Podany wpływ liczebności próby i poziomu ufności na precyzję oszacowania ma miejsce również przy szacowaniu innych parametrów.

---