7.4. Przedział ufności

Druga z metod wnioskowania statystycznego jest oparta na tzw. przedziałach ufności.

Przedziałem ufności dla parametru n nazywamy przedział liczbowy (a, b), gdzie a i b są

zmiennymi losowymi, który pokrywa prawdziwą średnią

µ

z określonym prawdopodobień-

stwem. Jeżeli to prawdopodobieństwo jest równe 0,95 lub 0,99, to odpowiedni przedział na-

zywamy 95-lub 99-procentowym.

Na ogół każdemu z testów istotności można przyporządkować przedział ufności.

Przedział ufności dla średniej

µµµµ

rozkładu normalnego.

Przedział ufności ma postać następującej podwójnej nierówności:

(1)

y

— L<

µ

<

y

+ L , gdzie (2) L = t

α

)

1

(

2

−

n

n

nS

, przy czym

y

jest średnią zmiennej

Y, a nS

2

— sumą kwadratów odchyleń pojedynczych wyników od średniej.

Symbol t

α

oznacza

α

-procentową wartość t, którą odczytuje się z tablic t Studenta przy

poziomie ufności

α

i

ν

= n – 1 stopniach swobody. Za

α

najczęściej obiera się 0,05 lub 0,01.

Wyrażenie z pierwiastkiem jest błędem standardowym średniej. Poziom istotności przy prze-

działach ufności nazywa się poziomem ufności.

Z przedziału ufności (1) można korzystać, gdy zmienna Y ma rozkład normalny z pew-

ną nieznaną średnią

µ

oraz gdy n wartości próby uzyskano w jednakowych warunkach.

Ze wzoru (2) widać, że przedział ufności określony wzorem (1) jest tym krótszy (dłu-

gość jego jest równa 2L), im większa jest ilość obserwacji n i im mniejsza jest wariancja S

2

,

tj. im wyniki są bardziej skupione wokół średniej.

Przykład 1.

Zawartości witaminy C wyrażone w mg na 100 g w 17 próbkach konserwowanego soku po-

midorowego reprezentują następujące liczby:

16, 22, 21, 20, 23, 21, 19, 15, 13, 23, 17, 20, 29, 18, 22, 16,25.

Określ przedział, w jakim znajduje się prawdziwa zawartość

µ

. witaminy C w soku pomido-

rowym.

To proste zagadnienie rozwiązuje przedział ufności (1). Średnia zawartość witaminy C

w n = l7 próbkach wynosi

y

= 20 mg na 100 g. W celu wyznaczenia L obieramy poziom uf-

ności

α

= 0,05 i odczytujemy z tablic t Studenta t

0,05

= 2,120 przy

ν

= n – 1 = 17 — 1 = 16

stopniach swobody.

Ponieważ, jak łatwo sprawdzić, suma kwadratów odchyleń

nS

2

=

∑

2

y

-

n

y

∑

2

)

(

= 7054 – 6800 = 254,

więc długość L (półprzedziału ufności) z uwagi na wzór (2) jest równa

L = 2,12

16

17

254

⋅

= 2,12

⋅

0,9663 = 2,05

≈

2.

W rezultacie otrzymujemy następujący przedział ufności:

20 - 2 <

µ

< 20 + 2 lub 18

g

mg

100

<

µ

< 22

g

mg

100

.

Oznacza to, że prawdziwa zawartość witaminy C w badanym gatunku soku pomidorowego

przy poziomie ufności 5% znajduje się między 18 i 22 mg/100 g.

Przedział ufności obliczony przy 5-procentowym poziomie ufności nosi nazwę 95-

procentowego przedziału ufności. Ma to następującą interpretację: gdybyśmy przeprowadzili

100 identycznych doświadczeń i w każdym z nich dokonali 17 pomiarów zawartości witami-

ny C, a następnie wyznaczyli przedział ufności dla każdego doświadczenia, to należy oczeki-

wać, że 95 przedziałów spośród 100 otrzymanych pokryje nie znaną prawdziwą wartość

µ

, a

5 przedziałów nie pokryje jej. Zatem w około pięciu przypadkach na sto

µ

znajduje się poza

granicami 18-22. Dzieje się tak dlatego, że krańce przedziału ufności na skutek wahań próby

zmieniają się od próby do próby, tj. od doświadczenia do doświadczenia.

Gdybyśmy obrali 1-procentowy poziom ufności, to odpowiedni 100% - 1 % = 99-

procentowy przedział ufności ze względu na t

0,01

=2,921 miałby postać

20 - 2,921 • 0,9663 <

µ

< 20 + 2,921•0,9663, czyli 17

g

mg

100

<

µ

< 23

g

mg

100

.

Przedział ufności 95-procentowy był krótszy: długość jego wynosi 2L= 4. Długość 99-

procentowego przedziału wynosi 2L = 6 = 23 —17. Tak więc ze zmniejszeniem się poziomu

ufności z 5% do 1 % wzrasta długość przedziału ufności. Tłumaczy się to wzrostem pewności

wniosku z 95% do 99%.

Przykład 2.

Badaniu samochodów na giełdzie poddano dwie cechy: wiek samochodu oraz jego cenę.

Obserwacje dotyczą siedmiu wybranych lat samochodu marki Ford Escort.

Wiek X samochodu cena Y samochodu

1

40,9

2

38,5

4

35,3

5

33,5

9

23,7

11

21

12

19,9

Zbuduj model regresji liniowej wyjaśniający zależność ceny samochodu od jego wieku. Po-

daj prognozę ceny samochodu 6 letniego oraz 95% przedział ufności dla tej prognozy.

Rozwiązanie

1. Wyznaczamy średnie arytmetyczne z próby, n = 7:

x

=

7

7

1

∑

=

i

i

x

=

6,285714

;

y

= 30,4

2. Wariancje z próby dla zmiennych x, y wynoszą

S

x

2

= 19,2381 ; S

y

2

= 75,49667

3. Odchylenie standardowe z próby - błąd standardowy z próby

S

x

=

2

x

S

= 4,386125 ; S

y

=

2

y

S

= 8,688882

4. Kowariancja zmiennych x, y: S

xy

= -32,5571.

5. Współczynnik korelacji r

xy

=

y

x

xy

S

S

S

⋅

, r

xy

= -0,99666.

6. Współczynnik regresji (wzór b

yx

=

2

x

xy

S

S

= r

xy

x

y

S

S

), b

yx

= -1,97438.

7. Prosta regresji ma równanie (wzór y =

y

+ b

yx

(x

−−−−

x

):

y = 30,4

−−−−

1,97438(x

−−−−

6,285714),

po przekształceniu y = 42,810388

−−−−

1,97438 x.

y = -1,9744x + 42,81

R

2

= 0,9933

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

8. Prognoza dla x = 6 (podstawiamy x = 6 w równaniu prostej y = 42,810388

−−−−

1,97438 x)

otrzymujemy y = 30,964108.

Wniosek: Wg prognozy cena samochodu sześcioletniego wynosi 30,964108

9. Błąd standardowy prognozy S

y

= 8,688882 (zob. pkt. 3)

Wniosek: Błąd prognozy wynosi 8,688882 .

10. Przedział ufności dla średniej z próby Y (wzór

y

— L<

µ

<

y

+ L ,

gdzie L = t

α

)

1

(

2

−

n

n

nS

)

W naszym przypadku

y

= 30,4 ; suma kwadratów odchyleń zmiennej Y od średniej

y

wynosi 452,98.

Wtedy

42

98

,

452

= 10,7852 ;

42

98

,

452

= 3,284.

Przyjmujemy

α

= 0,05 i

ν

= 7 – 1 = 6 stopni swobody.

Odczytujemy z tablic t Studenta t

0,05

= 2,447.

Wtedy L = 2,447

⋅

3,284 = 8,036

11. Przedział ufności dla prognozy y(6) = 30,964108:

(30,9641 – 8,036 ; 30,9641 + 8,036) = (22,9281 ; 39,0001).

Wniosek: 95% przedział ufności dla prognozy y(6) = 30,964108 jest następujący

(22,9281 ; 39,0001).