Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA
WYBRANYCH PARAMETRÓW POPULACJI
Agnieszka Rossa
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Szkic wykładu
1
2
Przedziały ufno ´sci dla ´sredniej
3
Przedział ufno ´sci dla frakcji
4
Przedział ufno ´sci dla wariancji
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przedziałem ufno ´sci nazywamy przedział losowy,
o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-
bie ´
nstwem, ˙ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacj ˛
a b ˛edziemy si ˛e
zajmowa´c s ˛
a:
´srednia, wariancja i frakcja
.
Z przedziałem ufno´sci zwi ˛
azany jest
poziom ufno ´sci
1 − α
, okre´slaj ˛
acy prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze przedział
ufno´sci rzeczywi´scie zawiera interesuj ˛
acy nas parametr.
Kra ´nce przedziału ufno´sci – wyznaczone na podstawie
konkretnej realizacji próby losowej – dostarczaj ˛
a
oceny
przedziałowej nieznanego parametru
.
W przeciwie ´nstwie do oceny przedziałowej, mo˙zliwa jest
te˙z ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przedziałem ufno ´sci nazywamy przedział losowy,
o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-
bie ´
nstwem, ˙ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacj ˛
a b ˛edziemy si ˛e
zajmowa´c s ˛
a:
´srednia, wariancja i frakcja
.
Z przedziałem ufno´sci zwi ˛
azany jest
poziom ufno ´sci
1 − α
, okre´slaj ˛
acy prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze przedział
ufno´sci rzeczywi´scie zawiera interesuj ˛
acy nas parametr.
Kra ´nce przedziału ufno´sci – wyznaczone na podstawie
konkretnej realizacji próby losowej – dostarczaj ˛
a
oceny
przedziałowej nieznanego parametru
.
W przeciwie ´nstwie do oceny przedziałowej, mo˙zliwa jest
te˙z ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przedziałem ufno ´sci nazywamy przedział losowy,
o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-
bie ´
nstwem, ˙ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacj ˛
a b ˛edziemy si ˛e
zajmowa´c s ˛
a:
´srednia, wariancja i frakcja
.
Z przedziałem ufno´sci zwi ˛
azany jest
poziom ufno ´sci
1 − α
, okre´slaj ˛
acy prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze przedział
ufno´sci rzeczywi´scie zawiera interesuj ˛
acy nas parametr.
Kra ´nce przedziału ufno´sci – wyznaczone na podstawie
konkretnej realizacji próby losowej – dostarczaj ˛
a
oceny
przedziałowej nieznanego parametru
.
W przeciwie ´nstwie do oceny przedziałowej, mo˙zliwa jest
te˙z ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przedziałem ufno ´sci nazywamy przedział losowy,
o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-
bie ´
nstwem, ˙ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacj ˛
a b ˛edziemy si ˛e
zajmowa´c s ˛
a:
´srednia, wariancja i frakcja
.
Z przedziałem ufno´sci zwi ˛
azany jest
poziom ufno ´sci
1 − α
, okre´slaj ˛
acy prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze przedział
ufno´sci rzeczywi´scie zawiera interesuj ˛
acy nas parametr.
Kra ´nce przedziału ufno´sci – wyznaczone na podstawie
konkretnej realizacji próby losowej – dostarczaj ˛
a
oceny
przedziałowej nieznanego parametru
.
W przeciwie ´nstwie do oceny przedziałowej, mo˙zliwa jest
te˙z ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przedziałem ufno ´sci nazywamy przedział losowy,
o którym przypuszczamy z zadanym prawdopodo-
bie ´
nstwem, ˙ze zawiera nieznany parametr populacji.
Parametrami populacji, których estymacj ˛
a b ˛edziemy si ˛e
zajmowa´c s ˛
a:
´srednia, wariancja i frakcja
.
Z przedziałem ufno´sci zwi ˛
azany jest
poziom ufno ´sci
1 − α
, okre´slaj ˛
acy prawdopodobie ´nstwo tego, ˙ze przedział
ufno´sci rzeczywi´scie zawiera interesuj ˛
acy nas parametr.
Kra ´nce przedziału ufno´sci – wyznaczone na podstawie
konkretnej realizacji próby losowej – dostarczaj ˛
a
oceny
przedziałowej nieznanego parametru
.
W przeciwie ´nstwie do oceny przedziałowej, mo˙zliwa jest
te˙z ocena punktowa szukanego parametru.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przykładowo, mówi ˛
ac, ˙ze ´srednia w populacji – oszaco-
wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocen ˛e
punktow ˛
a tego parametru.
Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-
to´s´c odbiega od rzeczywistej ´sredniej populacji. Z tego po-
wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.
Przypu´s´cmy, ˙ze do estymacji wykorzystali´smy przedział
ufno´sci skonstruowany dla zadanego 1 − α. Np. 95-pro-
centowy przedział [9, 11] informuje, ˙ze mo˙zemy mie´c 95%
ufno´sci, i˙z w tym przedziale znajduje si ˛e ´srednia populacji.
Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wi ˛ecej informacji
o mo˙zliwej warto´sci parametru populacji, ni˙z estymacja
punktowa. Uwzgl ˛ednia bowiem wielko´s´c bł ˛edu estymacji
dla zadanego poziomu ufno´sci.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przykładowo, mówi ˛
ac, ˙ze ´srednia w populacji – oszaco-
wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocen ˛e
punktow ˛
a tego parametru.
Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-
to´s´c odbiega od rzeczywistej ´sredniej populacji. Z tego po-
wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.
Przypu´s´cmy, ˙ze do estymacji wykorzystali´smy przedział
ufno´sci skonstruowany dla zadanego 1 − α. Np. 95-pro-
centowy przedział [9, 11] informuje, ˙ze mo˙zemy mie´c 95%
ufno´sci, i˙z w tym przedziale znajduje si ˛e ´srednia populacji.
Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wi ˛ecej informacji
o mo˙zliwej warto´sci parametru populacji, ni˙z estymacja
punktowa. Uwzgl ˛ednia bowiem wielko´s´c bł ˛edu estymacji
dla zadanego poziomu ufno´sci.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przykładowo, mówi ˛
ac, ˙ze ´srednia w populacji – oszaco-
wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocen ˛e
punktow ˛
a tego parametru.
Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-
to´s´c odbiega od rzeczywistej ´sredniej populacji. Z tego po-
wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.
Przypu´s´cmy, ˙ze do estymacji wykorzystali´smy przedział
ufno´sci skonstruowany dla zadanego 1 − α. Np. 95-pro-
centowy przedział [9, 11] informuje, ˙ze mo˙zemy mie´c 95%
ufno´sci, i˙z w tym przedziale znajduje si ˛e ´srednia populacji.
Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wi ˛ecej informacji
o mo˙zliwej warto´sci parametru populacji, ni˙z estymacja
punktowa. Uwzgl ˛ednia bowiem wielko´s´c bł ˛edu estymacji
dla zadanego poziomu ufno´sci.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przypomnienie dotychczasowych rozwa˙za ´
n
Przykładowo, mówi ˛
ac, ˙ze ´srednia w populacji – oszaco-
wana na podstawie próby – wynosi 10, podajemy ocen ˛e
punktow ˛
a tego parametru.
Ocena punktowa nie mówi jednak, jak dalece podana war-
to´s´c odbiega od rzeczywistej ´sredniej populacji. Z tego po-
wodu, bardziej wskazana jest ocena przedziałowa.
Przypu´s´cmy, ˙ze do estymacji wykorzystali´smy przedział
ufno´sci skonstruowany dla zadanego 1 − α. Np. 95-pro-
centowy przedział [9, 11] informuje, ˙ze mo˙zemy mie´c 95%
ufno´sci, i˙z w tym przedziale znajduje si ˛e ´srednia populacji.
Estymacja przedziałowa dostarcza zatem wi ˛ecej informacji
o mo˙zliwej warto´sci parametru populacji, ni˙z estymacja
punktowa. Uwzgl ˛ednia bowiem wielko´s´c bł ˛edu estymacji
dla zadanego poziomu ufno´sci.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla ´sredniej, gdy dysponujemy du˙z ˛
a prób ˛
a
W wykładzie ”
Podstawy wnioskowania – cz ˛e´s´c I
” wyzna-
czony był przedział ufno´sci dla ´sredniej µ cechy X w po-
pulacji w przypadku,
gdy dysponujemy du˙z ˛
a prób ˛
a
.
Teoretycznie zakłada si ˛e tu, ˙ze liczebno´s´c próby d ˛
a˙zy do
niesko ´nczono´sci. W praktyce przyjmuje si ˛e, ˙ze próba po-
winna liczy´c co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.
Przy tym zało˙zeniu przedział ufno´sci dla parametru µ, dla
zadanego poziomu ufno´sci 1 − α, ma posta´c:
¯
X − u
α
σ
√
n
;
¯
X + u
α
σ
√
n
,
gdzie u
α
jest kwantylem rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu N(0, 1),
σ
jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.
Je´sli nie znamy parametru
σ
, zast ˛epujemy go odchyleniem
standardowym
S
z próby.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla ´sredniej, gdy dysponujemy du˙z ˛
a prób ˛
a
W wykładzie ”
Podstawy wnioskowania – cz ˛e´s´c I
” wyzna-
czony był przedział ufno´sci dla ´sredniej µ cechy X w po-
pulacji w przypadku,
gdy dysponujemy du˙z ˛
a prób ˛
a
.
Teoretycznie zakłada si ˛e tu, ˙ze liczebno´s´c próby d ˛
a˙zy do
niesko ´nczono´sci. W praktyce przyjmuje si ˛e, ˙ze próba po-
winna liczy´c co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.
Przy tym zało˙zeniu przedział ufno´sci dla parametru µ, dla
zadanego poziomu ufno´sci 1 − α, ma posta´c:
¯
X − u
α
σ
√
n
;
¯
X + u
α
σ
√
n
,
gdzie u
α
jest kwantylem rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu N(0, 1),
σ
jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.
Je´sli nie znamy parametru
σ
, zast ˛epujemy go odchyleniem
standardowym
S
z próby.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla ´sredniej, gdy dysponujemy du˙z ˛
a prób ˛
a
W wykładzie ”
Podstawy wnioskowania – cz ˛e´s´c I
” wyzna-
czony był przedział ufno´sci dla ´sredniej µ cechy X w po-
pulacji w przypadku,
gdy dysponujemy du˙z ˛
a prób ˛
a
.
Teoretycznie zakłada si ˛e tu, ˙ze liczebno´s´c próby d ˛
a˙zy do
niesko ´nczono´sci. W praktyce przyjmuje si ˛e, ˙ze próba po-
winna liczy´c co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.
Przy tym zało˙zeniu przedział ufno´sci dla parametru µ, dla
zadanego poziomu ufno´sci 1 − α, ma posta´c:
¯
X − u
α
σ
√
n
;
¯
X + u
α
σ
√
n
,
gdzie u
α
jest kwantylem rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu N(0, 1),
σ
jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.
Je´sli nie znamy parametru
σ
, zast ˛epujemy go odchyleniem
standardowym
S
z próby.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla ´sredniej, gdy dysponujemy du˙z ˛
a prób ˛
a
W wykładzie ”
Podstawy wnioskowania – cz ˛e´s´c I
” wyzna-
czony był przedział ufno´sci dla ´sredniej µ cechy X w po-
pulacji w przypadku,
gdy dysponujemy du˙z ˛
a prób ˛
a
.
Teoretycznie zakłada si ˛e tu, ˙ze liczebno´s´c próby d ˛
a˙zy do
niesko ´nczono´sci. W praktyce przyjmuje si ˛e, ˙ze próba po-
winna liczy´c co najmniej 30 obserwacji, tj. n ≥ 30.
Przy tym zało˙zeniu przedział ufno´sci dla parametru µ, dla
zadanego poziomu ufno´sci 1 − α, ma posta´c:
¯
X − u
α
σ
√
n
;
¯
X + u
α
σ
√
n
,
gdzie u
α
jest kwantylem rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu N(0, 1),
σ
jest odchyleniem standardowym cechy X w populacji.
Je´sli nie znamy parametru
σ
, zast ˛epujemy go odchyleniem
standardowym
S
z próby.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 1
W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maj ˛
a-
ce na celu oszacowanie ´sredniego, dziennego zapotrzebo-
wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielko´s´c
sprzeda˙zy w ci ˛
agu 50 losowo wybranych dni roboczych,
otrzymuj ˛
ac ´sredni ˛
a dzienn ˛
a sprzeda˙z równ ˛
a 100 litrów,
przy odchyleniu standardowym 15 litrów.
Oszacowa´c przedziałowo ´sredni ˛
a, dzienn ˛
a sprzeda˙z mleka
w tym hipermarkecie, przyjmuj ˛
ac poziom ufno´sci 0, 95.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl u
α
rz ˛edu 1 −
α
2
=
0, 975 rozkładu
N(0, 1) wynosi 1, 96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiaj ˛
ac
dane z próby do wzoru na przedział ufno´sci:
100 − 1, 96
15
√
50
;
100 + 1, 96
15
√
50
,
otrzymujemy ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
96 (l); 104 (l)]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 1
W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maj ˛
a-
ce na celu oszacowanie ´sredniego, dziennego zapotrzebo-
wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielko´s´c
sprzeda˙zy w ci ˛
agu 50 losowo wybranych dni roboczych,
otrzymuj ˛
ac ´sredni ˛
a dzienn ˛
a sprzeda˙z równ ˛
a 100 litrów,
przy odchyleniu standardowym 15 litrów.
Oszacowa´c przedziałowo ´sredni ˛
a, dzienn ˛
a sprzeda˙z mleka
w tym hipermarkecie, przyjmuj ˛
ac poziom ufno´sci 0, 95.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl u
α
rz ˛edu 1 −
α
2
=
0, 975 rozkładu
N(0, 1) wynosi 1, 96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiaj ˛
ac
dane z próby do wzoru na przedział ufno´sci:
100 − 1, 96
15
√
50
;
100 + 1, 96
15
√
50
,
otrzymujemy ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
96 (l); 104 (l)]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 1
W pewnym hipermarkecie przeprowadzono badanie maj ˛
a-
ce na celu oszacowanie ´sredniego, dziennego zapotrzebo-
wania na mleko (w dniach roboczych). Zbadano wielko´s´c
sprzeda˙zy w ci ˛
agu 50 losowo wybranych dni roboczych,
otrzymuj ˛
ac ´sredni ˛
a dzienn ˛
a sprzeda˙z równ ˛
a 100 litrów,
przy odchyleniu standardowym 15 litrów.
Oszacowa´c przedziałowo ´sredni ˛
a, dzienn ˛
a sprzeda˙z mleka
w tym hipermarkecie, przyjmuj ˛
ac poziom ufno´sci 0, 95.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl u
α
rz ˛edu 1 −
α
2
=
0, 975 rozkładu
N(0, 1) wynosi 1, 96 - zob. poprzedni slajd. Podstawiaj ˛
ac
dane z próby do wzoru na przedział ufno´sci:
100 − 1, 96
15
√
50
;
100 + 1, 96
15
√
50
,
otrzymujemy ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
96 (l); 104 (l)]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla ´sredniej, gdy cecha ma rozkład normalny
Istnieje jeszcze inna formuła okre´slaj ˛
aca przedział ufno´sci
dla ´sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzona
przy pewnych zało˙zeniach dotycz ˛
acych tej cechy.
Załó˙zmy, ˙ze badana cecha
ma rozkład normalny
(czego
nie wymagali´smy w przypadku poprzedniego modelu) oraz
nie znamy odchylenia standardowego σ
tej cechy.
Przy tych zało˙zeniach – niezale˙znie od liczebno´sci n próby
losowej – przedział ufno´sci dla ´sredniej µ okre´slony dla
zadanego poziomu ufno´sci 1 − α ma posta´c:
¯
X − t
α
S
√
n − 1
;
¯
X + t
α
S
√
n − 1
,
gdzie t
α
oznacza kwantyl rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu Studenta
o k = n − 1 stopniach swobody (wielko´sci t
α
s ˛
a stablico-
wane – zob. nast ˛epny slajd).
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla ´sredniej, gdy cecha ma rozkład normalny
Istnieje jeszcze inna formuła okre´slaj ˛
aca przedział ufno´sci
dla ´sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzona
przy pewnych zało˙zeniach dotycz ˛
acych tej cechy.
Załó˙zmy, ˙ze badana cecha
ma rozkład normalny
(czego
nie wymagali´smy w przypadku poprzedniego modelu) oraz
nie znamy odchylenia standardowego σ
tej cechy.
Przy tych zało˙zeniach – niezale˙znie od liczebno´sci n próby
losowej – przedział ufno´sci dla ´sredniej µ okre´slony dla
zadanego poziomu ufno´sci 1 − α ma posta´c:
¯
X − t
α
S
√
n − 1
;
¯
X + t
α
S
√
n − 1
,
gdzie t
α
oznacza kwantyl rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu Studenta
o k = n − 1 stopniach swobody (wielko´sci t
α
s ˛
a stablico-
wane – zob. nast ˛epny slajd).
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla ´sredniej, gdy cecha ma rozkład normalny
Istnieje jeszcze inna formuła okre´slaj ˛
aca przedział ufno´sci
dla ´sredniej µ badanej cechy w populacji, wyprowadzona
przy pewnych zało˙zeniach dotycz ˛
acych tej cechy.
Załó˙zmy, ˙ze badana cecha
ma rozkład normalny
(czego
nie wymagali´smy w przypadku poprzedniego modelu) oraz
nie znamy odchylenia standardowego σ
tej cechy.
Przy tych zało˙zeniach – niezale˙znie od liczebno´sci n próby
losowej – przedział ufno´sci dla ´sredniej µ okre´slony dla
zadanego poziomu ufno´sci 1 − α ma posta´c:
¯
X − t
α
S
√
n − 1
;
¯
X + t
α
S
√
n − 1
,
gdzie t
α
oznacza kwantyl rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu Studenta
o k = n − 1 stopniach swobody (wielko´sci t
α
s ˛
a stablico-
wane – zob. nast ˛epny slajd).
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Fragment tablicy kwantyli rozkładu Studenta
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 2
Kierownictwo banku chce oszacowa´c ´sredni czas obsługi
klienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-
su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,
˙ze ´sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,
przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-
wo, ˙ze czas obsługi jest zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie nor-
malnym.
Oszacowa´c przedziałowo ´sredni czas obsługi klientów,
przyjmuj ˛
ac poziom ufno´sci 0, 98.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl t
α
z rozkładu Studenta o 19 stop-
niach swobody wynosi 2, 539 - zob.poprzedni slajd. St ˛
ad:
15 − 2, 539
5
√
19
;
15 + 2, 539
5
√
19
.
Otrzymali´smy ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
12, 1(min); 17, 9(min)]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 2
Kierownictwo banku chce oszacowa´c ´sredni czas obsługi
klienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-
su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,
˙ze ´sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,
przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-
wo, ˙ze czas obsługi jest zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie nor-
malnym.
Oszacowa´c przedziałowo ´sredni czas obsługi klientów,
przyjmuj ˛
ac poziom ufno´sci 0, 98.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl t
α
z rozkładu Studenta o 19 stop-
niach swobody wynosi 2, 539 - zob.poprzedni slajd. St ˛
ad:
15 − 2, 539
5
√
19
;
15 + 2, 539
5
√
19
.
Otrzymali´smy ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
12, 1(min); 17, 9(min)]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 2
Kierownictwo banku chce oszacowa´c ´sredni czas obsługi
klienta przy pewnym okienku kasowym. Na podstawie cza-
su obsługi dla 20 losowo wybranych klientów, stwierdzono,
˙ze ´sredni czas obsługi przy tym okienku wynosi 15 min,
przy odchyleniu standardowym 5 min. Wiadomo dodatko-
wo, ˙ze czas obsługi jest zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie nor-
malnym.
Oszacowa´c przedziałowo ´sredni czas obsługi klientów,
przyjmuj ˛
ac poziom ufno´sci 0, 98.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl t
α
z rozkładu Studenta o 19 stop-
niach swobody wynosi 2, 539 - zob.poprzedni slajd. St ˛
ad:
15 − 2, 539
5
√
19
;
15 + 2, 539
5
√
19
.
Otrzymali´smy ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
12, 1(min); 17, 9(min)]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Załó˙zmy, ˙ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie warto´s-
ci (warianty). Tak ˛
a cech ˛e okre´sla si ˛e cz ˛esto mianem
cechy dychotomicznej
. Typowym przykładem jest płe´c.
Przypu´s´cmy, ˙ze interesuje nas jeden z dwóch wariantów
cechy X . Niech
p
oznacza udział elementów populacji
posiadaj ˛
acych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet
w pewnej zbiorowo´sci osób.
Parametr
p
okre´sla si ˛e mianem
frakcji elementów wyró˙z-
nionych
(w skrócie –
frakcji
lub
wska´znika struktury
).
Przyporz ˛
adkujmy elementom populacji posiadaj ˛
acym wy-
brany wariant cechy X warto´s´c 1, natomiast pozostałym
elementom – warto´s´c 0.
W ten sposób zdefiniowali´smy zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkła-
dzie
zero-jedynkowym z parametrem p
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Załó˙zmy, ˙ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie warto´s-
ci (warianty). Tak ˛
a cech ˛e okre´sla si ˛e cz ˛esto mianem
cechy dychotomicznej
. Typowym przykładem jest płe´c.
Przypu´s´cmy, ˙ze interesuje nas jeden z dwóch wariantów
cechy X . Niech
p
oznacza udział elementów populacji
posiadaj ˛
acych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet
w pewnej zbiorowo´sci osób.
Parametr
p
okre´sla si ˛e mianem
frakcji elementów wyró˙z-
nionych
(w skrócie –
frakcji
lub
wska´znika struktury
).
Przyporz ˛
adkujmy elementom populacji posiadaj ˛
acym wy-
brany wariant cechy X warto´s´c 1, natomiast pozostałym
elementom – warto´s´c 0.
W ten sposób zdefiniowali´smy zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkła-
dzie
zero-jedynkowym z parametrem p
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Załó˙zmy, ˙ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie warto´s-
ci (warianty). Tak ˛
a cech ˛e okre´sla si ˛e cz ˛esto mianem
cechy dychotomicznej
. Typowym przykładem jest płe´c.
Przypu´s´cmy, ˙ze interesuje nas jeden z dwóch wariantów
cechy X . Niech
p
oznacza udział elementów populacji
posiadaj ˛
acych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet
w pewnej zbiorowo´sci osób.
Parametr
p
okre´sla si ˛e mianem
frakcji elementów wyró˙z-
nionych
(w skrócie –
frakcji
lub
wska´znika struktury
).
Przyporz ˛
adkujmy elementom populacji posiadaj ˛
acym wy-
brany wariant cechy X warto´s´c 1, natomiast pozostałym
elementom – warto´s´c 0.
W ten sposób zdefiniowali´smy zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkła-
dzie
zero-jedynkowym z parametrem p
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Załó˙zmy, ˙ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie warto´s-
ci (warianty). Tak ˛
a cech ˛e okre´sla si ˛e cz ˛esto mianem
cechy dychotomicznej
. Typowym przykładem jest płe´c.
Przypu´s´cmy, ˙ze interesuje nas jeden z dwóch wariantów
cechy X . Niech
p
oznacza udział elementów populacji
posiadaj ˛
acych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet
w pewnej zbiorowo´sci osób.
Parametr
p
okre´sla si ˛e mianem
frakcji elementów wyró˙z-
nionych
(w skrócie –
frakcji
lub
wska´znika struktury
).
Przyporz ˛
adkujmy elementom populacji posiadaj ˛
acym wy-
brany wariant cechy X warto´s´c 1, natomiast pozostałym
elementom – warto´s´c 0.
W ten sposób zdefiniowali´smy zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkła-
dzie
zero-jedynkowym z parametrem p
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Załó˙zmy, ˙ze badana cecha X przyjmuje tylko dwie warto´s-
ci (warianty). Tak ˛
a cech ˛e okre´sla si ˛e cz ˛esto mianem
cechy dychotomicznej
. Typowym przykładem jest płe´c.
Przypu´s´cmy, ˙ze interesuje nas jeden z dwóch wariantów
cechy X . Niech
p
oznacza udział elementów populacji
posiadaj ˛
acych wybrany wariant cechy, np. udział kobiet
w pewnej zbiorowo´sci osób.
Parametr
p
okre´sla si ˛e mianem
frakcji elementów wyró˙z-
nionych
(w skrócie –
frakcji
lub
wska´znika struktury
).
Przyporz ˛
adkujmy elementom populacji posiadaj ˛
acym wy-
brany wariant cechy X warto´s´c 1, natomiast pozostałym
elementom – warto´s´c 0.
W ten sposób zdefiniowali´smy zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkła-
dzie
zero-jedynkowym z parametrem p
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Zauwa˙zymy, ˙ze parametr
p
równy jest te˙z ´sredniej
arytmetycznej z zer i jedynek, składaj ˛
acych si ˛e na tak
okre´slon ˛
a zbiorowo´s´c.
Np. w zbiorowo´sci licz ˛
acej 10 elementów mo˙zemy otrzy-
ma´c nast ˛epuj ˛
acy ci ˛
ag zer i jedynek:
1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0
Liczba m jedynek w tym ci ˛
agu wynosi:
m = 6,
co daje udział jedynek równy:
m
n
=
6
10
=
0, 6.
Łatwo sprawdzi´c, ˙ze
m
n
jest ´sredni ˛
a arytmetyczn ˛
a
z podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn
m
n
1 −
m
n
równy jest wariancji w tym zbiorze.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Zauwa˙zymy, ˙ze parametr
p
równy jest te˙z ´sredniej
arytmetycznej z zer i jedynek, składaj ˛
acych si ˛e na tak
okre´slon ˛
a zbiorowo´s´c.
Np. w zbiorowo´sci licz ˛
acej 10 elementów mo˙zemy otrzy-
ma´c nast ˛epuj ˛
acy ci ˛
ag zer i jedynek:
1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0
Liczba m jedynek w tym ci ˛
agu wynosi:
m = 6,
co daje udział jedynek równy:
m
n
=
6
10
=
0, 6.
Łatwo sprawdzi´c, ˙ze
m
n
jest ´sredni ˛
a arytmetyczn ˛
a
z podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn
m
n
1 −
m
n
równy jest wariancji w tym zbiorze.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Zauwa˙zymy, ˙ze parametr
p
równy jest te˙z ´sredniej
arytmetycznej z zer i jedynek, składaj ˛
acych si ˛e na tak
okre´slon ˛
a zbiorowo´s´c.
Np. w zbiorowo´sci licz ˛
acej 10 elementów mo˙zemy otrzy-
ma´c nast ˛epuj ˛
acy ci ˛
ag zer i jedynek:
1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0
Liczba m jedynek w tym ci ˛
agu wynosi:
m = 6,
co daje udział jedynek równy:
m
n
=
6
10
=
0, 6.
Łatwo sprawdzi´c, ˙ze
m
n
jest ´sredni ˛
a arytmetyczn ˛
a
z podanego zbioru liczb, natomiast iloczyn
m
n
1 −
m
n
równy jest wariancji w tym zbiorze.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Zagadnienie estymacji przedziałowej parametru
p
mo˙zna
wi ˛ec sprowadzi´c do zagadnienia estymacji ´sredniej w po-
pulacji. Korzysta si ˛e tu z tw. granicznych. Warunkiem jest
wi ˛ec dysponowanie dostatecznie du˙z ˛
a prób ˛
a (
n ≥ 100
).
Przyjmuj ˛
ac p jako odpowiednik ´sredniej w populacji,
m
n
jako odpowiednik ´sredniej arytmetycznej z próby oraz
m
n
1 −
m
n
jako odpowiednik wariancji S
2
z próby,
otrzymujemy nast ˛epuj ˛
acy przedział ufno´sci dla frakcji p:
m
n
− u
α
s
m
n
1 −
m
n
n
;
m
n
+
u
α
s
m
n
1 −
m
n
n
,
gdzie u
α
jest kwantylem rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu normalnego
standaryzowanego N(0, 1) – zob. nast ˛epny slajd.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla frakcji
Zagadnienie estymacji przedziałowej parametru
p
mo˙zna
wi ˛ec sprowadzi´c do zagadnienia estymacji ´sredniej w po-
pulacji. Korzysta si ˛e tu z tw. granicznych. Warunkiem jest
wi ˛ec dysponowanie dostatecznie du˙z ˛
a prób ˛
a (
n ≥ 100
).
Przyjmuj ˛
ac p jako odpowiednik ´sredniej w populacji,
m
n
jako odpowiednik ´sredniej arytmetycznej z próby oraz
m
n
1 −
m
n
jako odpowiednik wariancji S
2
z próby,
otrzymujemy nast ˛epuj ˛
acy przedział ufno´sci dla frakcji p:
m
n
− u
α
s
m
n
1 −
m
n
n
;
m
n
+
u
α
s
m
n
1 −
m
n
n
,
gdzie u
α
jest kwantylem rz ˛edu 1 −
α
2
rozkładu normalnego
standaryzowanego N(0, 1) – zob. nast ˛epny slajd.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 3
Producent nowego leku interesuje si ˛e, dla jakiej cz ˛e´sci
chorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadano
losow ˛
a prób ˛e 150 pacjentów, którym podano nowy lek,
stwierdzaj ˛
ac, ˙ze w 110 przypadkach wyleczył z choroby.
Oszacowa´c przedziałowo odsetek chorych, którzy zostaliby
skutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmuj ˛
ac 1 − α = 0, 9.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl u
α
rz ˛edu 1 −
α
2
=
0, 95 rozkładu
N(0, 1) wynosi 1, 64 (poprzedni slajd). Mamy wi ˛ec:
110
150
− 1, 64
s
110
150
1 −
110
150
150
;
110
150
+
1, 64
s
110
150
1 −
110
150
150
,
co daje ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
0, 67; 0, 79]
lub
[
67%; 79%]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 3
Producent nowego leku interesuje si ˛e, dla jakiej cz ˛e´sci
chorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadano
losow ˛
a prób ˛e 150 pacjentów, którym podano nowy lek,
stwierdzaj ˛
ac, ˙ze w 110 przypadkach wyleczył z choroby.
Oszacowa´c przedziałowo odsetek chorych, którzy zostaliby
skutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmuj ˛
ac 1 − α = 0, 9.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl u
α
rz ˛edu 1 −
α
2
=
0, 95 rozkładu
N(0, 1) wynosi 1, 64 (poprzedni slajd). Mamy wi ˛ec:
110
150
− 1, 64
s
110
150
1 −
110
150
150
;
110
150
+
1, 64
s
110
150
1 −
110
150
150
,
co daje ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
0, 67; 0, 79]
lub
[
67%; 79%]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 3
Producent nowego leku interesuje si ˛e, dla jakiej cz ˛e´sci
chorych pacjentów jest on skuteczny. W tym celu zbadano
losow ˛
a prób ˛e 150 pacjentów, którym podano nowy lek,
stwierdzaj ˛
ac, ˙ze w 110 przypadkach wyleczył z choroby.
Oszacowa´c przedziałowo odsetek chorych, którzy zostaliby
skutecznie wyleczeni tym lekiem, przyjmuj ˛
ac 1 − α = 0, 9.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyl u
α
rz ˛edu 1 −
α
2
=
0, 95 rozkładu
N(0, 1) wynosi 1, 64 (poprzedni slajd). Mamy wi ˛ec:
110
150
− 1, 64
s
110
150
1 −
110
150
150
;
110
150
+
1, 64
s
110
150
1 −
110
150
150
,
co daje ocen ˛e przedziałow ˛
a:
[
0, 67; 0, 79]
lub
[
67%; 79%]
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla wariancji
W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie
wariancja
zjawiska σ
2
(wzgl ˛ednie odchylenie standardowe σ), np.
w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-
no´s´c procesu.
W celu wyznaczenia przedziału ufno´sci dla wariancji ko-
rzysta si ˛e z nast ˛epuj ˛
acego twierdzenia.
Je ´sli próba prosta X
1
,. . . ,
X
n
pochodzi z populacji o roz-
kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=
nS
2
σ
2
ma rozkład chi-kwadrat o k = n−1 stopniach swobody.
W zapisie
nS
2
σ
2
symbol S
2
oznacza wariancj ˛e z próby, czyli
zmienn ˛
a losow ˛
a postaci:
S
2
=
1
n
n
X
i=1
X
i
− ¯
X
2
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla wariancji
W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie
wariancja
zjawiska σ
2
(wzgl ˛ednie odchylenie standardowe σ), np.
w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-
no´s´c procesu.
W celu wyznaczenia przedziału ufno´sci dla wariancji ko-
rzysta si ˛e z nast ˛epuj ˛
acego twierdzenia.
Je ´sli próba prosta X
1
,. . . ,
X
n
pochodzi z populacji o roz-
kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=
nS
2
σ
2
ma rozkład chi-kwadrat o k = n−1 stopniach swobody.
W zapisie
nS
2
σ
2
symbol S
2
oznacza wariancj ˛e z próby, czyli
zmienn ˛
a losow ˛
a postaci:
S
2
=
1
n
n
X
i=1
X
i
− ¯
X
2
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla wariancji
W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie
wariancja
zjawiska σ
2
(wzgl ˛ednie odchylenie standardowe σ), np.
w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-
no´s´c procesu.
W celu wyznaczenia przedziału ufno´sci dla wariancji ko-
rzysta si ˛e z nast ˛epuj ˛
acego twierdzenia.
Je ´sli próba prosta X
1
,. . . ,
X
n
pochodzi z populacji o roz-
kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=
nS
2
σ
2
ma rozkład chi-kwadrat o k = n−1 stopniach swobody.
W zapisie
nS
2
σ
2
symbol S
2
oznacza wariancj ˛e z próby, czyli
zmienn ˛
a losow ˛
a postaci:
S
2
=
1
n
n
X
i=1
X
i
− ¯
X
2
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla wariancji
W wielu sytuacjach interesuje nas szczególnie
wariancja
zjawiska σ
2
(wzgl ˛ednie odchylenie standardowe σ), np.
w procesach produkcyjnych, gdy kontroli podlega stabil-
no´s´c procesu.
W celu wyznaczenia przedziału ufno´sci dla wariancji ko-
rzysta si ˛e z nast ˛epuj ˛
acego twierdzenia.
Je ´sli próba prosta X
1
,. . . ,
X
n
pochodzi z populacji o roz-
kładzie normalnym N(µ, σ), to zmienna losowa Z=
nS
2
σ
2
ma rozkład chi-kwadrat o k = n−1 stopniach swobody.
W zapisie
nS
2
σ
2
symbol S
2
oznacza wariancj ˛e z próby, czyli
zmienn ˛
a losow ˛
a postaci:
S
2
=
1
n
n
X
i=1
X
i
− ¯
X
2
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla wariancji
Niech
c
1
oraz
c
2
oznaczaj ˛
a kwantyle rz ˛edu odpowiednio
α
2
i 1 −
α
2
rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-
body (por. nast ˛epne slajdy).
Dla zadanego poziomu ufno´sci 1 − α zachodzi równo´s´c:
P (c
1
≤ Z ≤ c
2
) =
1 − α,
gdzie Z oznacza zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie chi-kwadrat
o k = n − 1 stopniach swobody.
Podstawiamy w miejsce Z wyra˙zenie
nS
2
σ
2
. Po prostych
przekształceniach otrzymujemy:
P
nS
2
c
2
≤ σ
2
≤
nS
2
c
1
=
1 − α.
St ˛
ad przedział ufno´sci dla wariancji σ
2
ma posta´c:
nS
2
c
2
;
nS
2
c
1
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla wariancji
Niech
c
1
oraz
c
2
oznaczaj ˛
a kwantyle rz ˛edu odpowiednio
α
2
i 1 −
α
2
rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-
body (por. nast ˛epne slajdy).
Dla zadanego poziomu ufno´sci 1 − α zachodzi równo´s´c:
P (c
1
≤ Z ≤ c
2
) =
1 − α,
gdzie Z oznacza zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie chi-kwadrat
o k = n − 1 stopniach swobody.
Podstawiamy w miejsce Z wyra˙zenie
nS
2
σ
2
. Po prostych
przekształceniach otrzymujemy:
P
nS
2
c
2
≤ σ
2
≤
nS
2
c
1
=
1 − α.
St ˛
ad przedział ufno´sci dla wariancji σ
2
ma posta´c:
nS
2
c
2
;
nS
2
c
1
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla wariancji
Niech
c
1
oraz
c
2
oznaczaj ˛
a kwantyle rz ˛edu odpowiednio
α
2
i 1 −
α
2
rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-
body (por. nast ˛epne slajdy).
Dla zadanego poziomu ufno´sci 1 − α zachodzi równo´s´c:
P (c
1
≤ Z ≤ c
2
) =
1 − α,
gdzie Z oznacza zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie chi-kwadrat
o k = n − 1 stopniach swobody.
Podstawiamy w miejsce Z wyra˙zenie
nS
2
σ
2
. Po prostych
przekształceniach otrzymujemy:
P
nS
2
c
2
≤ σ
2
≤
nS
2
c
1
=
1 − α.
St ˛
ad przedział ufno´sci dla wariancji σ
2
ma posta´c:
nS
2
c
2
;
nS
2
c
1
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przedział ufno ´sci dla wariancji
Niech
c
1
oraz
c
2
oznaczaj ˛
a kwantyle rz ˛edu odpowiednio
α
2
i 1 −
α
2
rozkładu chi-kwadrat o k = n − 1 stopniach swo-
body (por. nast ˛epne slajdy).
Dla zadanego poziomu ufno´sci 1 − α zachodzi równo´s´c:
P (c
1
≤ Z ≤ c
2
) =
1 − α,
gdzie Z oznacza zmienn ˛
a losow ˛
a o rozkładzie chi-kwadrat
o k = n − 1 stopniach swobody.
Podstawiamy w miejsce Z wyra˙zenie
nS
2
σ
2
. Po prostych
przekształceniach otrzymujemy:
P
nS
2
c
2
≤ σ
2
≤
nS
2
c
1
=
1 − α.
St ˛
ad przedział ufno´sci dla wariancji σ
2
ma posta´c:
nS
2
c
2
;
nS
2
c
1
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Fragment tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Fragment tablicy kwantyli rozkładu chi-kwadrat – c.d.
Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 4
Wró´cmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-
wym nie powinien mie´c du˙zej wariancji. W przeciwnym
przypadku kolejka ma tendencj ˛e do rozrastania si ˛e.
Korzystaj ˛
ac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-
cowa´c przedziałowo wariancj ˛e czasu obsługi klientów przy
okienku kasowym, przyjmuj ˛
ac 1 − α = 0, 9.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyle c
1
i c
2
rozkładu chi-kwadrat o 19
stopniach swobody s ˛
a równe c
1
=
10, 117, c
2
=
30, 144
(por. poprzednie slajdy). Mamy:
20 · 5
2
30, 144
;
20 · 5
2
10, 117
.
co daje ocen ˛e przedziałow ˛
a wariancji:
h
16, 6(min)
2
;
49, 4(min)
2
i
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 4
Wró´cmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-
wym nie powinien mie´c du˙zej wariancji. W przeciwnym
przypadku kolejka ma tendencj ˛e do rozrastania si ˛e.
Korzystaj ˛
ac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-
cowa´c przedziałowo wariancj ˛e czasu obsługi klientów przy
okienku kasowym, przyjmuj ˛
ac 1 − α = 0, 9.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyle c
1
i c
2
rozkładu chi-kwadrat o 19
stopniach swobody s ˛
a równe c
1
=
10, 117, c
2
=
30, 144
(por. poprzednie slajdy). Mamy:
20 · 5
2
30, 144
;
20 · 5
2
10, 117
.
co daje ocen ˛e przedziałow ˛
a wariancji:
h
16, 6(min)
2
;
49, 4(min)
2
i
.
Agnieszka Rossa
Przedziały ufno´sci dla ´sredniej
Przedział ufno´sci dla frakcji
Przedział ufno´sci dla wariancji
Przykład 4
Wró´cmy do przykładu 2. Czas obsługi przy okienku kaso-
wym nie powinien mie´c du˙zej wariancji. W przeciwnym
przypadku kolejka ma tendencj ˛e do rozrastania si ˛e.
Korzystaj ˛
ac z informacji zawartych w przykładzie 2, osza-
cowa´c przedziałowo wariancj ˛e czasu obsługi klientów przy
okienku kasowym, przyjmuj ˛
ac 1 − α = 0, 9.
Rozwi ˛
azanie.
Kwantyle c
1
i c
2
rozkładu chi-kwadrat o 19
stopniach swobody s ˛
a równe c
1
=
10, 117, c
2
=
30, 144
(por. poprzednie slajdy). Mamy:
20 · 5
2
30, 144
;
20 · 5
2
10, 117
.
co daje ocen ˛e przedziałow ˛
a wariancji:
h
16, 6(min)
2
;
49, 4(min)
2
i
.
Agnieszka Rossa
Document Outline
- Wprowadzenie
- Przedzialy ufnosci dla sredniej
- Przedzial ufnosci dla frakcji
- Przedzial ufnosci dla wariancji
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
statystyka, Przedzial ufnosci dla m. Testowanie hipotezy dla m., PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZE
2) Przedział ufności dla wariancji
7 4 Przedział ufności
19 Przedziały ufności dla średniej
Zadanie przedzial ufnosci dla frakcji, TŻ, SEMI, SEM II, statystyka
10 przedzialy ufnosci zadaniaid Nieznany (2)
05 Przedział ufnosci
przedzialy ufnosci
3) Przedział ufności dla procentu (wskaźnika struktury)
Tablica przedzialy Ufnosci 1, Akademia Górniczo - Hutnicza, Technologia Chemiczna, Studia stacjonarn
z przedz ufnosci
Projekt statystyka, Statystyka, Projekt-miary położenia, granica f-cji, przedział ufności
PRZEDZIALY UFNOSCI, Statystyka
m przedzial ufnosci
Losowanie proby, Ćwiczenia ze statystyki: Przedziały ufności
09 PRZEDZIAL UFNOSCI, BLAD STANDARDOWY
1) Przedział ufności dla średniej
Przedział ufności
więcej podobnych podstron