Lista 4. Badanie odchyleń losowych (badanie reszt modelu ekonometrycznego)

Aby upewnić się czy otrzymane, na podstawie przyjętych danych empirycznych, równanie ekonometryczne dobrze opisuje badany problem (proces) rzeczywisty, należy zbadać pewne własności reszt modelu.

Są nimi:

- badanie losowości reszt

- badanie normalności rozkładu reszt

- badanie symetrii reszt

- badanie autokorelacji reszt oraz

- badanie stałości (stacjonarności) wariancji reszt (homoskedastyczność reszt).

Zad 1. Weryfikacja hipotezy o losowości rozkładu reszt ma na celu ocenę trafności doboru postaci analitycznej modelu .Do zbadania tej własności można posłużyć się testem liczby serii.

Dane: Dla pewnego modelu ekonometrycznego otrzymano następujące reszty:

-5,-7,5,1,1,7,5,4,5,8,11,6,4,5,5,3,-1,-3,-4,-2,-6,-5,-7.

Dla α = 0,1 testem liczby serii zweryfikować ich losowość.

Zad 2. Badanie normalności rozkładu odchyleń losowych sprowadza się do weryfikacji hipotezy, że dystrybuanta odchyleń F(ε ) jest równa dystrybuancie rozkładu normalnego. Do weryfikacji hipotezy o normalności rozkładu reszt służy wiele testów, w zależności od wielkości próby statystycznej. Dla małych prób stosuje się najczęściej test Shapiro - Wilka oraz test zgodności Hellwiga.

Dane są reszty pewnego modelu ekonometrycznego:

1, 3, -4, 0, -3, -2, -1, 2, 4, 5.

Za pomoca testu Hellwiga zweryfikować hipotezę o normalności rozkładu odchyleń

losowych dla α = 0,1.

W innym modelu ekonometrycznym reszty przedstawiają się następująco:

-3, 2, -8, -9, 5, -7, 6, -1, -2, -5, 9, 8, 7, 3.

Przy poziomie istotności α = 0,02 zweryfikować za pomocą testu Shapiro - Wilka hipotezę o normalności rozkładu reszt w otrzymanym modelu.

Zad 3. Dla danych Zad 2. zbadać symetrię rozkładu reszt. Własność tę bada się testem t Studenta o n - 1 stopniach swobody (przyjąć α=0.1).

Zad 4. Autokorelacja odchyleń losowych oznacza liniową zależność między resztami z różnych jednostek czasu. Miarą siły i kierunku tej zalezności reszt z okresu t i reszt z okresu t - τ jest współczynnik korelacji . Nazywa się go współczynnikiem autokorelacji rzędu τ. Do weryfikowania hipotezy H_o o braku autokorelacji reszt służy test

Durbina - Watsona (D -W ). Należy przypomnieć, że w teście D-W może zaistnieć sytuacja braku możliwości podjęcia jakiejkolwiek, odnośnie testowanej hipotezy, decyzji.

Wówczas należy zastosować inny test, np. test von Neumanna, który jest funkcja liniową testu D-W o postaci

Q =
d,

gdzie d jest wartością statystyki D-W. Dla n > 60 Q ma asymptotyczny rozkład normalny

N(
,
).

Przykład. W pewnym zakładzie przemysłowym dokonano n=11 pomiarów zuzycia energii elektrycznej przy różnej wielkości produkcji pewnego wyrobu. Otrzymana następujące wyniki (X -produkcja w tys.sztuk, Y- zużycie energii elektrycznej w tys. kWh):

X: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Y 10 12 15 18 21 25 30 36 42 50 60

W oparciu o te wyniki należy zbadać występowanie autokorelacji reszt pierwszego rzędu na poziomie istotności α=0.1 dla k=2.

Zastosowana do tych danych KMNK daje równanie:

y = 4,8 x + 0,2

a reszty wynaszą: 5,0 2,2 0,4 -1,4 -3,2 -4,0 -3,8 -2,6 -1,4 1,8 7,0 oraz

∑( e_t - e_t-1 )² = 67,40, ∑ e_t² =133,60.

Testem D-W oraz von Neumanna zweryfikować hipotezę o braku autokorelacji dla składników losowych przy α=0.05.Ponadto oszacować współczynnik autokorelacji r₁ i testem t Studenta przetestować jego statystyczną istotność. Wartość r₁ obliczyc można ze wzoru r_{1 = 1} - ½ d, gdzie d - wartość statystyki D-W.

Zad 5. Przetestować homoskedastyczność wariancji reszt testem Goldfielda i Quanta dla poniższych danych:

X: 1 1 2 4 5 8 8 10

Y: 9,5 10,5 12 16 17,5 28,8 22,4 25.

Dane te podzielono na dwie równe liczebności i dla każdej z nich wyznaczono osobne równania (opierając się o KMNK). Dla X₁ ; 1 1 2 4 oraz Y₁: 9,5 10,5 12 16 równanie ma postać: y₁^* = 2 x ₁ + 8, a dla drugiej grupy zmiennych ich wartości, postać równania jest nastepująca: y₂^* = 1,64 x₂ + 10,71.

Przyjąć poziom istotności α=0.05.

---