Ruch drgający

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus.

Siła harmoniczna

Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem F= - kx gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. Nazywamy to prawem Hooke'a.

Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem x = Acosωt . Z II zasady dynamiki Newtona wynika, że - kx/m = a czyli - kx/m = dv/dt wreszcie -kx/m=d2x/dt2 ; 0=d2x/dt2+ kx/m ; ω2=k/m ; d2x/dt2+ω2x=0 ; dx/dt=Aωcos(ωt+ϕ) ; d2x/dt2=-Aω2cos(ωt+ϕ).

Najogólniejszym rozwiązaniem jest x=Asin(ωt+ϕ) , gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe. V=dx/dt= ωAcos(ωt+ϕ) ; a=dV/dt=d2x/dt2=-ω2Acos(ωt+ϕ) = a=-ω2x. Wartości Maksymalne to: wychylenie x=A ; prędkość Vmax=ωA ; przyśpieszenie amax=-ω2A.

Niech T oznacza okres drgań - jest to najkrótszy czas po którym wszystkie wielkości opisujące ruch powtarzają swoje wartości.

Funkcja cosωt lub sinωt powtarza się po czasie T dla którego ωT = 2π. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T=2π /ω

Liczba drgań w czasie t jest n = t/T .Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu n/t=1/T .Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f=1/T .Dla ruchu harmonicznego ω=pierw(k/m) więc otrzymujemy T=2Π*pierw(m/k) Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.

Należy zwrócić uwagę że okres drgań nie zależy od amplitudy drgań A.

Energia ruchu harmonicznego prostego Ep=kx²/2

Jeżeli masę przymocowaną do sprężyny pociągniemy na odległość x = A to energia układu (nagromadzona w układzie) jest równa (1/2)kA2 (Ek = 0). Jeżeli teraz zwolnimy sprężynę, to przy założeniu, że nie ma tarcia ani sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się (1/2)kA². mV²/kx²/2=kA²/2 ; V²=k/m*(A²-x²) ; k/m = ω² więc V=ω*pierw(A²-x²). Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości średnie oznaczamy kreską umieszczoną ponad symbolem.) E_p=kx²/2 czyli E_p=kA²cos²ωt ; E_k=mV²/2 ; E_k=k/2ω²*(-ωAsinwt)²=kA²sin²ωt. Wartość średnia sin²ωt jest taka sama jak cos²ωt i wynosi ½. Oba wykresy są takie same (tylko przesunięte). Poza tym sin²ωt + cos²ωt = 1 i średnia każdego składnika jest taka sama. Widać, że E_p=E_k.

Procesy falowe w ośrodkach sprężystych

W fizyce falami nazywa się w przestrzeni zaburzenie strumienia materii jak również pola.

Mechaniczne zaburzenia rozchodzące się w ośrodku sprężystym nazywa się polami sprężystymi. Fale dzielimy na sprężyste i prostopadłe.

Falę sprężystą nazywa się podłużną jeżeli drgania cząsteczek są równoległe do kierunku rozchodzenia się fali.

Jeżeli cząstki drgają w płaszczyznach prostopadłych w kierunku fali to taka fala nazywa się poprzeczną. Istotna różnica miedzy falami sprężystymi w ośrodku z innym dowolnym ruchem cząsteczek polega na tym, że rozchodzenie się fal nie jest związane z przenoszeniem masy.

PRĘDKOŚĆ Niech będzie dany cylinder zamknięty z jednej strony nieruchomą ścianką a z drugiej strony ruchomym tłokiem. Niech w tym cylindrze znajduje się płyn.

Prędkość V rozchodzenia się fal sprężystych w jednorodnym płynie można wyznaczyć w następujący sposób: Po czasie Δt zaburzenie przeniesie się na Δl=V*Δt ; Δm=V_objetosc*δ ; V_obj=Δl*s ; Δm=Δlsδ ; Δm=VΔtsδ ; ΔmV₁ - zmiana pędu ; ΔmV₁=FΔt ;; F=ΔmV₁/Δt=V_obj*Δt*sδV₁ ; F=V_objV₁sδ ; δ=Kε ; f/s=-K ΔV/V ; ΔV=V₁Δts ; V=Δls ; V_obj=VΔts ; Δp=-K(-V₁Δts)/VΔts ; Δp=KV₁/V ; Δp=F/s=V₁Vδ ; KV₁/V=V₁Vδ ; K/δ=V² ; V=pierw(K/δ) - prędkość rozchodzenia się zaburzenia, zależy od modułu ściśliwości ośrodka i od gęstości. Dla danego materiału można przyjąć że V=const.

Prędkość ta jest wyprowadzona dla ośrodka nieograniczonego (niema odbić). Dla ośrodka ciała stałego fala podłużna V_podl=pierw[(K+4/3G)/δ] δ-moduł sprężystości poprzecznej ośrodka. V=pierw(E/δ) E-moduł Jounga. Fala poprzeczna w ośrodku nieograniczonym V_pop=pierw(G/δ). Własności sprężyste i gęstość δ ciał stałych i cieczy zależą od składu chemicznego i ulegają niewielkim zmianom w zależności od ciśnienia i temperatury. Dla danego materiału: Dla dużej częstotliwości (proces adiabatyczny) V_a=pierw(ΗRT/μ). Dla małych częstotliwości (proces izotermiczny) V_T=pierw(RT/μ)

Równanie fali

Zależność przesunięcia s małych co do objętości części ośrodka (cząsteczek) względem ich położeń równowagi od współrzędnych przestrzennych i czasu nazywa się równaniem fali sprężystej s=f(x,y,z,t). Dla fal harmonicznych przy rozchodzeniu się których wielkości wszystkich punktów ośrodka objętego ruchem falowym wykonują drgania harmoniczne o jednakowej częstotliwości.

S₀=A₀sin(ωt+α) - drgania źródła ; A₀=A ; S=Asin[ω(t-t₁)+α] ; t₁=x/V ; S=Asin[ω(t-x/V)+α] ; S=Asin[ωt-ωx/V)+α] ; S=Asin[ωt-2Πx/VT)+α] oznaczamy V*T=λ ; S=Asin[ωt-2Πx/λ)+α] ; 2Π/λ=k ; S=Asin[ωt-kx)+α] ; A-amplituda fail , Φ=ωt-kx+α ; ΔΦ=Φ₁-Φ₂ ; ΔΦ=ωt-kx₁+α-ωt+kx₂-α ; ΔΦ=k(x₂-x₁) roznica faz ; k(x₂-x₁)=2nΠ ; x₂-x₁=2nΠ/k ; sin[ωt-kx₁)+α]= sin[ωt-kx₂)+α] ; cos[ωt-kx₁)+α]= cos[ωt-kx₂)+α].

Oznacza to że wielkości s i wszystkich jej pochodnych w punktach p₁ i p₂ będą zachodziły w czasie tak jak gdyby fazę drgań w tych punktach były dokładnie jednakowe. Dlatego o punktach p₁ i p₂ mówi się, że są zgodne w fazach. Długością fali nazywamy odległość między najbliższymi dwoma punktami w których fazy drgań w danej chwili różnią się o 2Π. k(x₂-x₁)=2Π ; długość fali x₂-x₁=2Π/k ; k=2Π/λ ; x₂-x₁=λ. Wobec tego można powiedzieć, że długość fali jest to odległość jaka przebędzie fala w ośrodku w czasie gdy cząstka ośrodka wykona jedno pełne drganie.k=2Π/λ , k- liczba falowa, mówiąca ile długości fal które pokryje odcinek 2Π metrów. k -wektor falowy |k|=k - kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem rozchodzenia się fali. Powierzchnia falowa, czoło fali jest to miejsce geometryczne punktów ośrodka dla których w rozpatrywanej chwili czasu faza fali ma jedną i tę samą wartość Φ=ωt-kx+α ; kx=ωt+α-Φ ; x=(ωt+α-Φ)/k ; x-współrzędna określająca położenie czoła fali. V_f- prędkość czoła fali (prędkość fazowa fali) V=ω/k=2Π/T*λ/2Π=λ/T=V ; λ=VT. V=V_f dla fal harmonicznych, sinusoidalnych prędkość ruchu czoła fali jest zgodna z prędkością V rozchodzenia się fali. Ze względu na kształt czoła fali rozróżniamy: płaskie i koliste.

Fala płaska - jest to fala której czoło jest płaszczyzną, źródłem takiej fali może być drgająca płaszczyzna w sprężystym i nieograniczonym ośrodku jednorodnym. S=Asin(ωt-kx+α). Drganie fali płaskiej ma taką samą postać jak równanie fali jednorodnej. S=Asin(ωt-k(x-x₀)+α) Równanie fali w postaci wykładniczej. ~S=~Ae^i(ωt-kr) , ~S- zespolone przemieszczenie , ~A -amplituda zespolona fali. ~A=Ae^i ; δ=α-Π/2 , k-wektor falowy, r- promień wodzący rozpatrywanego punktu. k*r=kx. W porównaniu postaci zespolonej ma sens jego postać rzeczywista ~S=~A*e^iδ*e^i(ωt-kr)=A e^i(ωt-kr+δ) ; ~S=A[cos(ωt-kr+δ)+isin(ωt-kr+δ)] ; S=Re(~S)=Acos(ωt-kr+δ) ; S=Acos(ωt-kx+α-Π/2) ; S=Acos(Π/2-(ωt-kx+α)) ; S=Asin(ωt-kx+α).

Energia fali.

Zmiana energii małej objętości ΔV ośrodka sprężystego związanego z rozchodzeniem się w nim fali płaskiej. Ponieważ dV jest bardzo małe to wszystkie cząstki znajdujące się w dV maja tę samą fazę i prędkość. dE_k=dmV²/2 ; V₁=ds./dt=ωAcos(ωt-kx+α) ; dm=μdV ; dE_k=1/2*δdVω²A²cos²(ωt-kx+α) można wykazać że dE_p=dE_k= ; dE=dE_k+dE_p=2dE_{k ;} dE_k=1/2*δω²A²cos²(ωt-kx+α)dV . Objętościową gęstością „W” energii fali w ośrodku sprężystym nazywamy granicę do której dąży stosunek całkowitej energii mechanicznej ΔE ruch falowego części ośrodka o objętości ΔV, do tej objętości przy ΔV dążącym do 0. W=lim_ΔV->0ΔE/ΔV ; W=dE/dV ; W=δω²A²cos²(ωt-kx+α) ; W_K=1/2*δ(ϑs/ϑt)² ; W_p=1/2*δV²(ϑs/ϑx)² . Rozchodzenie się fali w ośrodku sprężystym jest zwiazane z przekazywaniem energii, dlatego gęstość objętościowa energii zmienia się w czasie przy ruchu falowym w każdym punkcie ośrodka. Prędkość u rozchodzenia się energii fali równa się przemieszczania się w przestrzeni powierzchni odpowiadającej max wartości objętości gęstości objętościowej energii W. W=1/2*δω²A²[1+cos2(ωt-kx+α)] ; W->max cos2(...)=1 ; W=W_max ωt-kx+α=0 , kx=ωt+α , x=(ωt+α)/k , x- określa pkt dla których W=W_max u=dx/dt ; u=ω/k=V . Oznacza to, że dla płaskiej fali sinusoidalnej prędkość rozchodzenia się energii = prędkości fazowej fali. Analiza wykazuje, że warunek ten jest słuszny dla dowolnej fali sinusoidalnej niezależnie od kształtu powierzchni falowej.

Strumień energii fali i jego gęstość.

Strumieniem energii Φ przez powierzchnię S nazywa się wielkość fizyczną, której wartość wyraża się stosunkiem energii dE przekazywanej przez powierzchnię w czasie dt. Φ_v=dE/dt. Strumień energii dΦ płaskiej fali sinusoidalnej można znaleźć przez dzielenie na nieskończenie mało elementów ds. dl=Udt ; dE=W*dV (dV-obj cieczy) l dV=dl*ds_n ; dΦ_w=dE/dt=wUdt*ds_n/dt=wUds_n ; ds._n/ds_n=cosα ; ds._n=dscosα ; dΦ_w=wUcosα*ds ; U*u=Ucosα ; dΦ_w=wUnds ; Φ_w=∫wUnds=∫wUdsn Gęstość strumienia energii fali nazywamy wektor U skierowany w kierunku rozchodzenia się fali i liczbowo równy stosunkowi strumienia dΦ przechodzącego przez powierzchnie elementarną ds. do pola powierzchni ds_n, która jest ruchem tego elementu na płaszczyznę prostopadłą do pow. rozchodzenia się fali. |U|=dΦ_w/ds_n=wUds_n/ds._n=wU ; u||U prędkość przenoszenia energii, jest to wektor Poyntinga, umowa ; Φ_w=∫Unds. Fale kuliste, niech źródłem fal w jednorodnym, izotropowym i nieograniczonym ośrodku będzie kula o promieniu R, której wszystkie punkty wykonują synchroniczne, harmoniczne drgania wzdłuż prostych, łączących te punkty ze środkiem kuli. Przemieszczenia s_o kuli odbywają się zgodnie z zależnością s=Asin(ωt-k(r-R)+α) ; A=A_oR/r ; s=A_oR/r*sin(ωt-k(r-R)+α) ; kR+α=α₁ ; s=A_oR/r*sin(ωt-kr+α₁) ; s=A_o/r*sin(ωt-kr+α) - A_o- amplituda drgań ośrodka w odległości 1m od tego źródła. Równanie różniczkowe ruchu falowego:

s=Asin(ωt-kx+α) ; ϑs/ϑt= Acos(ωt-kx+α)*ω ; ϑ²s/ϑt²= -ω²Asin(ωt-kx+α) ; ϑ²s/ϑt²=-ω²s ϑs/ϑx=-kAcos(ωt-kx+α) ; ϑ²s/ϑx²=-k²Asin(ωt-kx+α) ; ϑ²s/ϑx²==-k²S ; s=-1/ω²*ϑ²s/ϑt² ; s=-1/k²*ϑ²s/ϑx² ; 1/k²*ϑ²s/ϑx²=1/ω²*ϑ²s/ϑt² //*k² ; ϑ²s/ϑx²-(k/ω)²*ϑ²s/ϑt²=0 ; k/ω=(2Π/λ)/(2Π/T)=T/λ ; ϑ²s/ϑx²-1/V²ϑ²s/ϑt²=0. Dla dowolnego kierunku rozchodzenia się fali płaskiej równanie przyjmuje postać: ϑ²s/ϑx²+ϑ²s/ϑy²+ϑ²s/ϑz²-(1/V²)*ϑ²/ϑt²=0 ; ∇-operator Nobla, Δ-Laplace'a ; Δ=∇²=ϑ²/ϑx²+ϑ²/ϑy²+ϑ²/ϑz² ; ∇²s-(1/V²) ϑ²s/ϑt²=0 ; Równanie to jest słuszne dla każdego rodzaju fal, niezależnie od czoła fali. W rzeczywistości wszystkie źródła istniejące nie odpowiadają warunkowi potrzebnemu aby generować fale harmoniczne i dlatego wszystkie fale rzeczywiste odbiegają od fal sinusoidalnych. Okazuje się że dowolna fala (niesinusoidalna, nieharmoniczna) może być zastąpiona układem fal sinusoidalnych, także przedstawienie do analiza spektralna fali niesinusoidalnej. Łączne wartości amplitud początkowych faz i częstotliwości rozważnego układu fal sinusoidalnych nazywa się widmem amplitud faz początkowych i częstotliwości rozpatrywanych fal niesinusoidalnych. Widmo częstotliwości może być dyskretne czyli liniowe, skończone lub nieskończone- składające się z mnóstwa oddzielnych wartości jak i ciągłe. Wszystkie fale sinusoidalne rozchodzą się w ośrodku niezależnie jedna od drugiej. Tak że przemieszczenie dowolnej cząstki ośrodka = sumie wektorowej jej przemieszczeń spowodowanych każda falą oddzielnie, wynik jest słuszny dla każdego rodzaju fal - nazywamy to zasadą superpozycji. Zasada superpozycji spełnia się tylko dla ośrodków liniowych, w których rozchodzenie się fal nie zależy o natężenia dal. Np. dla fal sprężystych ośrodek można traktować jako liniowy jeżeli w procesie ruchu falowego ulega on odkształceniu zgodnie z prawem Houka, Jako przykład można rozpatrzyć najprostsza grupę fal utworzona przez 2 płaskie podłużne fale sinusoidalne rozchodzące się wzdłuż osi OX, amplitudy fal są równe i fazy też, o częstotliwości różnią się nie wiele. α₁=α₂=0 ; A_o1=A_o2=A_o ; ω₁≠ω₂ ; s₁=A_osin(ω₁t-k₁x) ; s₂=A_osin(ω₂t-k₂x) ; s=s₁+s₂ ; s=A_o(sin(ω₁t-k₁x)+ sin(ω₂t-k₂x)) ; sinα+sinβ=2sin(α+β)/2*cos(α-β)/2 ; s=2A_ocos(ω₁t-k₁x-ω₂t+k₂x)/2*sin(ω₁t-k₁x+ω₂t-k₂x)/2 ; s=2A_ocos[(ω₁-ω₂)t/2-(k₁-k₂)x/2]*sin[(ω₁+ω₂)t/2-(k₁+k₂)s/x) ; (ω₁-ω₂)/2=Δω; (ω₁+ω₂)/2=ω; (k₁-k₂)/2=Δk ; (k₁+k₂)/2=k ; s=2A_o(Δwt-Δkx)sin(wt-kx) , 2A_o(Δwt-Δkx) -amplituda fali zmienia się z czasem i z położeniem. Fala wypadkowa jest falą płaską, której częstotliwość kołowa ω i liczba falowa k równe są połowie sumy odpowiednich częstotliwości kołowych i licz falowych fal sinusoidalnych tworzących grupę. |Amplituda A fali nie jest stała - jest funkcją współrzędnej x i czasu , Δwt-Δkx=Φ_A. Gęstość objętościowa energii fali W jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali. Dlatego prędkość u rozchodzenia się energii grupy fal jest = prędkości przemieszczenia powierzchni o tej samej amplitudzie , o tym samym Φ_A. Φ_A=Δwt-Δkx=const. ; Φ_A/dt=Δw-Δkdx/dt ; Φ_A/dt -> 0 ; 0=Δw-Δkdx/dt ; Δw/Δk=dx/dt=u ; k=2Π/λ ; dk/dλ=-2Π/λ² ; dk=2Π/λ²dλ ; U=-λ²/2Π*dω/dλ ; ω=2Π/T ; TV=λ ; T=λ/V ; ω=2Π/λ*V ; U=λ²/2Π*d/dλ(2Π/λ*V) ; U=λ²/2Π*(-2Π/λ²*V+2Π/λ*dV/dλ) ; U=V-λdV/dλ. U-prędkośc energii, V-prędkość fazowa fali. Jeżeli V=f(x)-ośrodek dypresyjny prędkość zależy od długości fali, jeśli nie to ośrodek nie dypresyjny. U≠V => dla ośrodka dypresyjnego, dV/dλ=0 => U=V -ośr. niedypresyjny, U-prędkość grupowa fali.

Interferencja fal, fale stojące

Odnosi się to do zagadnienia nakładania się na siebie sinusoidalnych fal wzbudzonych w jednorodnym i izotropowym ośrodku przez różne źródła, kiedy jednocześnie rozchodzą się 2 fale sinusoidalne odpowiadające jednakowym kierunkom drgań cząsteczek ośrodka. Fale wzbudzają ośrodki z₁ i z₂, których częstotliwości kołowe = ω₁,ω₂ a fazy początkowe α₁,α₂. Fale nakładają się na siebie w pkt P. s₁=A₁/r₁*sin(ω₁t-k₁r₁+α₁) ; s₂=A₂/r₂*sin(ω₂t-k₂r₂+α₂) ; (ωt-kr+α)=Φ ; s=s₁+s₂=AsinΦ. Amplituda drgania nałożonego A=pierw[(A_o1/r₁)²+(A_o2/r₂)²+2 A_o1/r1*A_o2/r₂*cos(Φ₂-Φ₁)] ; Φ₂-Φ₁=(ω₂-ω₁)t-k₂r₂+k₁r₁+α₂-α₁ ; tgΦ=(A₁/r₁sinΦ₁+ A₂/r₂sinΦ₂)/( A₁/r₁cosΦ₁+ A₂/r₂cosΦ₂). Amplituda zależna od czasu zmienia się z częstotliwością ω₂-ω₁. Jeżeli ω₂=ω₁ amplituda nie zależy od czasu, obraz jest stabilny w czasie - stacjonarny obraz - fale spójne. Możliwe są 2 przypadki: 1) Φ₂-Φ₁ zmienia się w czasie - fale takie i wzbudzające je źródła z₁ i z₂ nazywamy niespójnymi ; 2) Φ₂-Φ₁ nie zależy od czasu - fale takie i wzbudzające je źródła z₁,z₂ nazywamy spójnymi. Z wyrażenia na różnicę faz nakładających się fal wynika, że sinusoidalne fale mechaniczne są spójne jeżeli częstotliwości kołowe tych fal są sobie równe ω₂=ω₁=ω, jeżeli są różne to fale są niespójne. Z wyrażenia |A₁/r₁- A₂/r₂|≤A≤ A₁/r₁+ A₂/r₂ wynika przedział w jakim następuje zmiana wartości amplitudy, przy czym częstotliwość kołowa drgań amplitudy jest zgodna z częstotliwością kołową zmiany Φ₂-Φ₁ tzn. ω=|ω₂-ω₁|. Jeżeli częstotliwość ta jest dostatecznie duża, to żaden przyrząd rejestrujący wartość amplitudy nie zdąży zarejestrować tej zmiany, będzie pokazywał wartość średnią amplitudy. A_sr²=1/τ ₀∫^τ A²dt ; A_sr²=1/τ ₀∫^τ [(A_o1/r₁)²+(A_o2/r₂)²+2 A_o1/r1*A_o2/r₂*cos(Φ₂-Φ₁)]dt ; A_sr²=(A_o1/r₁)²+(A_o2/r₂)²+2 A_o1/r1*A_o2/r₂*₀∫^τ cos(Φ₂-Φ₁)dt ; Ponieważ po czasie τ Φ₂-Φ₁ zmienia się o 2Π to ₀∫^τ cos(Φ₂-Φ₁)dt równa się zero. A_sr²=(A_o1/r₁)²+(A_o2/r₂)². Przy nakładaniu się fal niespójnych wielkość średnia kwadratu amplitudy wypadkowej równa się sumie kwadratów amplitud wyjściowych. więc energia drgań wypadkowych każdego punktu ośrodka równa się sumie energii ich drgań wszystkich niespójnych fal z osobna ω₁=ω₂=ω, λ₁=λ₂, k₁=k₂, ΔΦ=Φ₂-Φ₁=k₁r₁-k₂r₂+α₁-α₂ ; A=pierw[(A_o1/r₁)²+(A_o2/r₂)²+2 A_o1/r1*A_o2/r₂*cos(k(r₁-r₂)+α₂-α₁)] A_min=|A₁/r₁- A₂/r₂| ; A_max= A₁/r₁+ A₂/r₂ ; A=A_max gdy k(r₁-r₂)+α₂-α₁=2mΠ ; r₁-r₂=2mΠ/k+(α₁-α₂)/k ; k=2mΠ/λ ; r₁-r₂=mλ+(α₁-α₂)λ/2Π ; α₁=α₂ ; r₁-r₂=mλ ; A=A_min gdy k(r₁-r₂)+α₂-α₁=(2m+1)Π ; r₁-r₂=(2m+1)λ/2+(α₁-α₂)λ/2Π ; α₁=α₂ ; r₁-r₂=(2m+1)λ/2

Fale stojące tworzą się w wyniku interferencji 2 sinusoidalnych fal o jednakowych amplitudach, częstotliwościach, kierunkach drgań i rozchodzących się w kierunku przeciwnym. Najprościej zanalizować taką sytuację w wyniku nałożenia się fali padającej i odbijającej. (rys. -p--|ściana, długość l) S=Asin(ωt), w pkt P: S₁=Asin(ωt-kx), w pkt P po odbiciu S₂=Asin((ωt-k(2l-x)+ϕ) ; S=A(sin(ωt-kx)+sin(ωt-k(2l-x)+ ϕ)) ; S=2Asin(ωt-kx+ωt-k2l+kx+ϕ)/2*cos(ωt-kx-ωt+k2l-kx-ϕ)/2 ; S=2Asin(2ωt-2kl+ϕ)/2*cos(2kl-2kx-ϕ)/2 ; S=2Acos(kl-kx-ϕ/2)sin(ωt-kl+ϕ/2) ; S=2Acos(k(l-x)-ϕ/2)sin(ωt-kl+ϕ/2) , Amplituda fali stojącej A_st=2Acos|k(l-x)-ϕ/2| , Węzeł A_st=0 2Π/λ*(l-x_w-ϕ/2)=(2m+1)Π/2 i otrzymujemy z tego x_w=(4lΠ-ϕλ-(2m+1)λΠ)/4Π ; Strzałka A_st=2A 2Π/λ*(l-x_w-ϕ/2)=mΠ i otrzymujemy x_s=(4lΠ-ϕλ-2Πmλ)/4Π. Falową opornością ośrodka nazywa się iloczyn gęstości δ i prędkości fazowej V rozchodzenia się w nim fal sprężystych. R_f=Vδ.

W 1690 holenderski fizyk Huygen's zaproponował prosty sposób znajdowania powierzchni falowej s(t+Δt) w chwili t+Δt jeżeli znamy położenie czoła fali s(t) czyli w chwili (t) sposób ten nazywa się zasadą Huygens'a. Zgodnie z ta zasada każdy punkt ośrodka do którego dotrze w danym momencie czoło fali staje się źródłem fal elementarnych. Obwiednia tych fal jest powierzchnią naszej fali. Nie uwzględnia się fal wstecznych. W jednorodnym ośrodku izotropowym powierzchnie falowe fal wtórnych w momencie t+Δt mają postać kół o promieniu VΔt których środki lezą na powierzchni s(t). Zgodnie z zasadą Huggen'sa-Fenela podczas rozchodzenia się fali w przestrzeni można znaleźć amplitudę w danym punkcie. Jeżeli znana jest amplituda i faza fal na pewnej dowolnej powierzchni. Zaburzenie wywołane falą w jakimś punkcie można rozpatrywać jako wynik interferencji fikcyjnych fal elementarnych wpływających z pewnej powierzchni. Amplituda wtórnych fal jest proporcjonalna do powierzchni rozpatrywanego elementu i zależy od kąta α jaki tworzy normalna do tego elementu powierzchni falowej z prostą łączącą go z punktem P.

Prawo odbicia , Zjawisko załamania BC=V₁*Δt ; AD=V₂*Δt ; sinα=BC/AC ; sinβ=AD/AC ; sinα/sinβ=BC/AD ;

Zjawisko dyfrakcji, ugięcia.

Jest to zjawisko polegające na zniekształceniu czoła rozchodzącej się fali gdy ta trafi na przeszkodę. Zjawisko to wyraźnie występuje wtedy gdy rozmiary przeszkody są rzędu długości fali. (rys. rozchodzenie się fali --\|||/-- - przez szczelinę -()—są półkola u góry). Zjawisko polaryzacji fali (dotyczy tylko fal poprzecznych dla fali podłużnej nie używa się pojęcia polaryzacji). Fale spolaryzowana nie ma osiowej symetrii w kierunku rozchodzenia się fali. Dla fali sprężystej (mechanicznej) przesunięcia i prędkości są różne w różnych kierunkach leżących w płaszczyźnie prostopadłej w kierunku rozchodzenia się fali. Powody polaryzacji: -brak symetrii osiowej w źródle wzbudzającej fali; -załamanie lub odbicie fali na granicy dwóch ośrodków; -przechodzenie fali przez ośrodek anizotropowy (ośrodek który ma różne właściwości w różnych kierunkach). Rozróżniamy polaryzacje: -liniową (całkowita i częściowa); -eliptyczna i kołowa (prawo i lewo skrętne)

Zjawisko Doppler'a

W przypadku zmiany odległości między źródłem i odbiornikiem następuje zmiana częstotliwości fal w porównaniu z częstotliwością źródła fali. Jeżeli odległość między źródłem a odbiornikiem maleje do częstotliwości drgań jest większa natomiast przy oddaleniu mniejsza. Ilościowa zmiana zależy od prędkości rozchodzenia się źródła fali, odbiornika oraz od tego który z elementów jest ruchomy, a który nieruchomy. f'=f(V±V_ob)/(V±V_z) , f'- częst. odbierana, f- częst. źródła, V- pręd. rozchodzneia się fali, V_ob- pręd obserwowana, V_z- pręd. źródła, +zbliżenie, -oddalenie.

Podstawowe własności fali elektromagnetycznej.

Równanie Maxwell

Doświadczenia prowadzone przez Faraday'a dowiodły że pole elektryczne i magnetyczne można traktować jak jeden obiekt fizyczny nazwany polem elektromagnetycznym. J.C.Mmaxwell wykorzystując badania Gaussa, Faradey'a, Ampera i innych fizyków opracował klasyczną teorię elektromagnetyzmy. Teoria ta jest uogólnieniem wielu praw ustalonych wcześniej. Jest ona teorią elektromagnetyzmu. Teoria ta jest uogólnieniem wielu praw ustalonych wcześniej. Jest ona teorią fenomenologiczną tzn. nie uwzględniającą wewnętrznych mechanizmów zjawisk, które są odpowiedzialne za powstanie pola elektromagnetycznego. Pole to określają wektory natężeń E i H, które są jego składowymi, odpowiednio elektryczną i magnetyczną. Równania Maxwell'a wyrażają związek między wektorami E i H oraz ich zależności od współrzędnych przestrzennych i czasu. Równania te mogą być podawane w postaci równań całkowych lub różniczkowych.

Pierwsze równanie Maxwella w postaci całkowej jest uogólnieniem prawa indukcji elektromagnetycznej podanego przez Faraday'a: ΦE*dt=ϑΦ_m/ϑt i co oznacza że całka okrężna wektora natężenia pola elektrycznego wzdłuż dowolnego obwodu zamkniętego i równa się szybkości zmiany strumienia magnetycznego przez powierzchnię ograniczoną przez ten obwód, wziętej ze znakiem przeciwnym.

Zmienne pole magnetyczne w dowolnym punkcie przestrzeni, wytwarza wirowe pole elektryczne niezależnie od tego, czy znajduje się tam przewodnik czy dielektryk. rotw=∇*w=ϑW_x/ϑx+ϑW_y/ϑy+ϑW_z/ϑz ; rotE=-μ_oμ_rϑH/ϑt ; rotH=ε_oε_r*ϑE/ϑt ; rotrotH=μ_oμ_r*rotϑH/ϑt ; rotϑH/ϑt=ε_oε_r*ϑ²E/ϑt² ; rotrotE=-μ_oμ_rε_oε_rϑ²E/ϑt² ;rotrotw=grad div w-∇²w. -∇²E=-μ_oμ_rε_oε_rϑ²E/ϑt² ; ∇²E+μ_oμ_rε_oε_rϑ²E/ϑt²=0 i jest to równanie różniczkowe fali ; ∇²s+1/V²*ϑ²s/ϑt²=0 ; 1/V²=μ_oμ_rε_oε_r ; V=1/pierw(μ_oμ_rε_oε_r) ; V=1/pierw(μ_oε_o)=c ; V=c/pierw(μ_oε_o) ; ∇²E+μ_oμ_rε_oε_rϑ²E/ϑt²=0 ; ∇²H+μ_oμ_rε_oε_rϑ²H/ϑt²=0 ; ∇²E_x+μ_oμ_rε_oε_rϑ²E_x/ϑt²=0 ; ∇²E_y+μ_oμ_rε_oε_rϑ²E_y/ϑt²=0 ; ∇²E_z+μ_oμ_rε_oε_rϑ²E_z/ϑt²=0 ; ∇²H_x+μ_oμ_rε_oε_rϑ²H_x/ϑt²=0 ; ∇²H_y+μ_oμ_rε_oε_rϑ²H_y/ϑt²=0 ; ∇²H_z+μ_oμ_rε_oε_rϑ²H_z/ϑt²=0 ; H_y=-pierw(ε_oε_r/μ_oμ_r)*E_z ; H_z=-pierw(ε_oε_r/μ_oμ_r)*E_y ; pierw(ε_oε_r)E=pierw(μ_oμ_r)H. Z tej ostatniej zależności wynika, że wektory Hi E są zgodne w fazie. E_y=Asin(ωt-kx+α) ; E_z=Bsin(ωt-kx+β) ; H_y=-pierw(ε_oε_r/μ_oμ_r)* Bsin(ωt-kx+β) ; H_z=-pierw(ε_oε_r/μ_oμ_r)* Asin(ωt-kx+α) .

Koniec wektora E w każdym punkcie pola opisuje elipsę leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do osi OX Ey²/A²+Ez²/B²-2EyEz/AB*cos(β-α)=sin²(β-α). Koniec wektora H opisuje również elipsę w tej płaszczyźnie, ale obracaną wokół osi OX o ∠Π/2 , a taka płaska fala elektromagnetyczna jest eliptycznie spolaryzowana, a jeżeli A=B a β-α=(2m+1)Π/2 to elipsy opisane przez wektory E i H są okręgami, to fala spolaryzowana kołowo. β-α=mΠ - linia proste, polaryzacja liniowa elipsy degenonuje się w odcinki linii prostych prostopadłych. W takiej fali wektory E we wszystkich punktach pola drgają w płaszczyznach ||. Jeżeli E drga w kierunku osdi OY układu to Ey=E, Ez=0, Hy=0, Hz=H, E=Ey=E_osin(ωt-kx+α) , E_o - amplituda natężenia pola elektrycznego fali H=Hz=H_o­sin(ωt-kx+α).

Energia Fali Elektromagnetycznej

Rozchodzenie się fal elektromagnetycznych jest związane z przenoszeniem energii i jest charakteryzowane przez wektor P określający gęstość strumienia energii P=WU , W-wektor gęstości pola elektromagnetycznego, U-prędkość grupowa. Kondensator W_e=1/2*ε_rε_oE² ; W_m=1/2*μμ_rH² ; W=W_e+W_m ; W=1/2*ε_rε_oE²+1/2*μμ_rH² ; ε_rε_oE²=μμ_rH² ; ω=ε_rε_oE² ; obliczamy energię związaną z falą monochromatyczną U=V ; E=pierw[(μμ_r)/(ε_rε_o)]*H ; W=ε_rε_opierw((μμ_r)/(ε_rε_o))*EH ; W=pierw((μμ_r)/(ε_rε_o))*EH ; W=EH/V ; p= EH/V*V ; V=V(ExH)/E/H ; p=ExH Wektor Poctinga wyraża się iloczynem wektorowym i wektora natężenia pole e i m.

Natężenie fali elektromagnetycznej nazywamy wielkość J równą liczbowo modułowi średniej wartości wektora Poctinga, w przedziale czasu równa się okresowi jednego drgnięcia J=<|P|> ; J=<|ExH|> ; J=|₀∫^T(ExH)dt| ; Dal fali linio spolaryzowanej, płaskiej monochromatycznej natężenia J=1/2*E_oH_o E_o=pierw[(μμ_r)/(ε_rε_o)]H_o ; J=1/2*E_o[(μμ_r)/(ε_rε_o)]E_o². Dla fali kulistej natężenie zmniejsza się w miarę oddalania się od źródła J~1/r² ; E_o~1/r ; H_o~1/r , Maxwell wykazał, że fala elektromagnetyczna może wywierać ciśnienie na przeszkodę na drodze p=W(1+R)cos²α , α-kąt padania na ciało, R- współczynnik odbicia, stosunek natężenia fali odbicia do natężenia fali padającej.

Promieniowanie fal elektromagnetycznych, źródłem fal elektromagnetycznych mogą być zmienne w czasie prądy elektryczne, albo oddzielnie poruszające się ładunki ale wtedy gdy ich przyśpieszenie a≠0. Proces wzbudzania fal elektromagnetycznych przez układ elektryczny nazywa się promieniowaniem fal. A sam układ układem promieniujący (np. dipol) (rys.+q_____-q odl l) pe=ql -moment dipola, Niech dipol wykonuje drgania harmoniczne opisane: pe=posinωt, ω- liczba drgnięć w czasie. l- ramię dipola, q- wartość bezwzględna ładunku, po=(pe)_max Chwilowa moc wypromieniowana przez dipol dana jest następującym wzorem: N=μ₀/6Πc*|d²pe/dt²|² ; N=μ₀/6Πc*ω⁴p_o²sin²ωt ; dpe/dt=ωp_ocosωt ; d²p_e/dt=-ωp_osinωt ; r=μ_oω⁴p_o²*sin²ωt/6Πc, Obliczamy średnią moc wypromieniowaną przez dipol w przedziale czasu równym okresowi T. <N>=1/T*∫Ndt ; <N>=1/t*μ_oω⁴p_o²/(6Πc)∫sin²ωtdt ; <N>=μ_oω⁴p_o²/12Πc ; Promieniowanie energii przez dipol jest anizotropowe. Jeżeli położenie ładunku określane jest promieniem wodzącym r, to moment dipolowy ładunku można zapisać w następującej postaci p_e=∑q_i(dr_i/dt) ; p_e/dt=∑ q_i(dr_i/dt) ; d²p_o/dt²=∑q_id²r_i/dt² ; a_i=d²r_i/d²t ; d²p_o/dt²=∑q_ia_i ; N=μ_o/6Πc*q²|a|² ; dla pojedynczego ładunku N=μ_o/6Πc*q²|a|². Moc wypromieniowanej energii przez poruszającą się nośnik ładunku elektrycznego jest wprost proporcjonalna do kwadratu przyśpieszenia tego nośnika.

---