Prawa Ohma i Kirchhoffa
Zagadnienia teoretyczne
Do pomiaru pršdu, napięcia, rezystancji i mocy służš odpowiednie mierniki, dzielšce się ze względu na przeznaczenie na: amperomierze, woltomierze, omomierze i watomierze. W większoœci opierajš się one na zjawisku elektromagnetyzmu. Głównš częœć takiego miernika stanowi jego ustrój pomiarowy, skłšdajšcy się z częœci nieruchomej i ruchomego organu miernika. Organ ruchomy, połšczony ze wskazówkš, wykonuje z reguły ruch obrotowy pod wpływem działajšcych na niego sił, np. w wyniku oddziaływania pola magnetycznego na pršd w cewce organu ruchomego. Do organu ruchomego przyczepiona jest sprężyna, która przeciwdziała jego ruchowi. Wskazówka miernika ustawia się w położeniu, w którym moment napędowy miernika równoważy się z momentem zwrotnym sprężyny, a ponieważ jej moment zwrotny jest proporcjonalny do kšta jej skręcenia, kšt odchylenia organu ruchomego jest proporcjonalny do momentu napędowego. Aby wytłumić niepożšdane wielokrotne wahnięcia wskazówki, stosuje się tłumiki, magnetyczne i powietrzne.
Pod względem budowy, mierniki korzystajšce z sił magnetycznych dzielš się na magnetoelektryczne, elektromagnetyczne, elektrodynamiczne, i ferrodynamiczne. Zasada działania miernika magnetoelektrycznego polega na oddziaływaniu pola magnesu trwałego na umieszczonš w tym polu cewkę, przez którš płynie pršd. Miernik elektromagnetyczny składa się z cewki, przez którš płynie pršd, i jednego lub kilku rdzeni ze stali magnetycznie miękkiej. Mierniki elektrodynamiczne działajš dzięki oddziaływaniu elektrodynamicznemu dwóch cewek, przez które płynš pršdy. Ze względu na wysokš cenę, sš używane wyłšcznie jako mierniki laboratoryjne do dokładnych pomiarów. Podobnym miernikiem jest miernik ferrodynamiczny. Istniejš także inne mierniki, np. cieplne i termoelektryczne, jak i elektrostatyczne. Najnowsze mierniki cyfrowe, oparte na tranzystorach, sš jednak dokładniejsze niż wszelkie pozostałe mierniki, ze względu na brak częœci ruchomych i precyzyjnoœć układów scalonych.
Wartoœć wskazana przez dowolny miernik może się różnić od wartoœci rzeczywistej mierzonej wartoœci. Różnica ta nazywa się błędem bezwzględnym miernika; zaœ jej stosunek do maksymalnej wartoœci zakresu pomiarowego nazywa się błędem względnym, podawanym zwykle w procentach. Dokładnoœć (błšd względny) wszystkich mierników pozwala na zaliczenie ich do odpowiedniej klasy dokładnoœci. W Polsce stosuje się następujšce klasy dokładnoœci: 0.1, 0.2, 0.5, 1, 1.5, 2.5. Liczba oznaczajšca klasę dokładnoœci miernika okreœla największy dopuszczalny błšd względny miernika. Stšd widać, że im mniejsze odchylenie wskazówki, tym większy może być błšd procentowy pomiaru. Mierniki laboratoryjne zwykle sš klasy 0.1, 0.2 i 0.5 i służš do dokładnych pomiarów w laboratoriach, jak i sprawdzania mierników technicznych, o pozostałych klasach dokładnoœci.
Przy pomiarach obwodów elektrycznych rozgałęzionych poza miernikami przydaje się m.in. znajomoœć prawa Kirchhoffa. Pierwsze prawo Kirchhoffa mówi że suma agebraiczna pršdów schodzšcych się w dowolnym węŸle obwodu elektrycznego (jeżeli pršdom dopływajšcym do węzła przypisze się znak “+”, a pršdom odpływajšcym znak “-“) jest równa zeru. Jest to tzw. bilans pršdów w węŸle obwodu elektrycznego. Wg. drugiego prawa Kirchoffa, w dowolnym oczku obwodu elektrycznego pršdu stałego suma spadków napięć na elementach rezystancyjnych oczka jest równa sumie działajšcych w tym oczku sił elektromotorycznych, gdzie oczkiem nazywamy zbiór gałęzi tworzšcych jednš zamkniętš drogę dla przepływu pršdu:
Przyjšwszy dowolny obieg oczka, np. zgodny z obiegiem wskazówek zegara, to suma napięć Ÿródłowych i odbiorczych w oczku jest równa zeru.
Korzystajšc bezpoœrednio z prawa Kirchhoffa można także udowodnić zasadę, że natężenia pršdu w gałęziach oporowych połšczonych równolegle sš proporcjonalne do ich przewodnoœci albo odwrotnie proporcjonalne do ich oporów.
Drugim użytecznym prawem przy badaniu obwodów elektrycznych jest Prawo Ohma. Wg. Ohma, wartoœć pršdu w przewodniku jest wprost proporcjonalna do przyłożonego do jego końców napięcia, a odwrotnie proporcjonalna do rezystancji przewodnika: I=U/R Dalsze badania Ohma wykazały, że opór elektryczny jest proporcjonalny do długoœci l przewodu, odwrotnie proporcjonalny do przekroju S przewodu, a ponadto zależy od rodzaju materiału z jakiego przewód został wykonany:
Jeden om jest rezystancjš gdy róznica napięć jednego wolta wywołuje w przewodzie pršd o wartoœci jednego ampera.
Opis doœwiadczenia
Celem doœwiadczenia było zastosowanie praw Ohma i Kirchhoffa, w celu porównania wyników zmierzonych bezpoœrednio wartoœci pršdów z wartoœciami obliczonymi korzystajšc z ww. praw, dla dwóch układów, zbudowanych wg. poniższego schematu (bez i z opornikiem R5):
I5 R5
I1 I3
R1 I2 R3 I4
+
- R2 R4
Po złożeniu układów wg. odpowiednich schematów, zmierzono opór każdego opornika. Następnie starano się utrzymać stałe napięcie zasilajšce wynoszšce 10 V, podczas gdy mierzono różnice napięć na opornikach, jak i natężenie pršdu w gałęziach I1 do I5.
Opracowanie wyników pomiarów:
Opierajšc się na zmierzonych wartoœciach oporu oporników i wartoœci napięcia wejœciowego, można łatwo obliczyć także wartoœci napięć i natężeń pršdów przepływajšcych przez poszczególne oporniki. Schemat pierwszy można rozbić na dwie częœci, tš z opornikiem R1, i tš z pozostałymi trzema, z których dwa sš połšczone szeregowo, a równolegle z trzecim. Wiemy, że opór gałęzi przez którš płynie pršd I3 wynosi R3 + R4, czyli w naszym przypadku 2.94 k. Ponieważ opór opornika R2 wynosi 0.192 k, ze wzoru 1/R=1/R1+1/R2 otrzymujemy opór całego oczka jako 0.180 k. Stšd opór całego obwodu wynosi 0.180+0.868=1.048 k. Korzystajšc z prawa Ohma, I=U/R, możemy łatwo znaleŸć natężenie przepływu pršdu przez cały układ: I=10V/1.048k = 9.54 mA. Jest to natężenie pršdu w punkcie I1. Z tego samego wzoru możemy wyliczyć napięcie na oporniku R1: U = RI = 0.868 k * 9.54 mA = 8.28 V. Stšd też wiemy, jakie napięcie powstaje na dużym oczku: 10V-8.28V=1.72V. Obliczamy wartoœć pršdu płynšcego przez opornik R2: I2=1.72/0.192=8.96mA, jak i przez oporniki R3 i R4: I3=I4=1.72/(0.550+2.390)=0.585mA. Z tego samego wzoru też już wiemy jakie napięcia na nich występujš: U3=RI=0.550*0.585=0.322 V, U4=2.390*0.585=1.40 V
Wstawiamy powyższe wyniki w tabelkę i porównujemy z wynikami otrzymanymi z bezpoœrednich pomiarów:
Pršd |
Natężenie zmierzone [mA] |
Natężenie wyliczone [mA] |
I1 |
9.58 |
9.54 |
I2 |
8.86 |
8.96 |
I3 |
0.564 |
0.585 |
Dla drugiego schematu wyliczymy pršdy podstawiajšc zmierzone opory i napięcia do wzoru I=U/R , gdzie otrzymujemy:
Pršd |
Natężenie zmierzone [mA] |
Natężenie wyliczone [mA] |
I1 |
16.57 |
8.41 |
I2 |
13.88 |
14.06 |
I3 |
5.63 |
5.69 |
I4 |
2.42 |
2.44 |
Ocena błędu
Dla ostatniego przykładu (gdzie korzystaliœmy ze wzoru I=U/R), policzymy błšd metodš różniczki zupełnej:
co dajšc błšd względny rzędu 0.2% jest bardzo niskš wartoœciš.
Wnioski
Porównujšc wartoœci pršdu zmierzone bezpoœrednio z wyliczonymi, okazuje się, że wyniki sš zbieżne, pomijajšc drobne różnice rzędu 1-2%, które prawdopodobnie wynikały z nieprecyzyjnoœci elementów obwodu i ich połšczeń. Poza tym trzeba wzišć pod uwagę możliwoœć nagrzewania się oporników i co za tym idzie zmiany w ich przewodnoœci. Dodatkowo błędnie zmierzono jednš z wartoœci natężenia pršdu (dla I1, schemat 2); być może z powodu obluzowania się jednego z połšczeń w obwodzie lub Ÿle ustawionego trybu pracy miernika. Niemniej, widać, że prawa Ohma i Kirchhoffa sprawdzajš się także w przypadku bardziej skomplikowanych obwodów, a dodanie dodatkowego opornika jedynie zwiększa liczbę wymaganych pomiarów.