Zagadnienia teoretyczne

G�stoœ�  jest stosunkiem masy m cia�a do jego obj�toœci V:

natomiast ci�arem w�aœciwym cia�a nazywamy stosunek jego g�stoœci do g�stoœci wody w temperaturze 4�C, kt�ra wynosi 1.0"10³ kg/m³.

Poniewa� pod wp�ywem temperatury wi�kszoœ� cia� zmienia obj�toœ�, nie zmieniaj�c masy, iloczyn obj�toœci i g�stoœci pozostaje ten sam: V_T+_T=V₀₀. Korzystaj�c ze wzoru V_T=V₀(1+t), gdzie  jest obj�toœciowym wsp�czynnikiem rozszerzalnoœci, otrzymujemy _T=₀/(1+t), czyli w miar� wzrostu temperatury g�stoœ� maleje.

Prawo Archimedesa m�wi, �e na cia�o zanurzone w cieczy dzia�a si�a skierowana ku g�rze, r�wna ci�arowi cieczy wypartej przez to cia�o. Z tego prawa korzysta m.in. waga Mohra, kt�ra s�u�y do wyznaczania g�stoœci cieczy wzgl�dem wody. Na ramieniu wagi zawiesza si� p�ywak, kt�ry umieszcza si� w cieczy. Nast�pnie r�wnowa�y si� wag� wieszaj�c na jej ramieniu koniki. G�stoœ� wzgl�dna badanej cieczy jest r�wna sumie iloczyn�w numeru dzia�ki i wartoœci nominalnej konik�w (co wynika z definicji momentu si�y: "r�F, gdzie r jest d�ugoœci� ramienia. Poniewa� r i F s� do siebie prostopad�e, bezwzgl�dna wartoœ� momentu si�y na rami� wagi powodowana przez dowolnego konika jest r�wna jego masie pomno�onej przez sta�� g i d�ugoœ� ramienia od osi do konika. Analogicznie na rami� wagi dzia�a si�a wyporu cia�a zanurzonego w badanej cieczy. Moment si�y nadawany przez t� si�� ma dok�adnie odwrotny kierunek. Gdy oba momenty si� si� r�wnowa��, waga utrzymuje poziom i na podstawie po�o�enia konik�w mo�na ustali� si�� wyporu badanej cieczy, i konsekwentnie jej g�stoœ�). Por�wnuj�c g�stoœ� wzgl�dn� badanej cieczy do g�stoœci wody badanej t� sam� wag� mo�na dok�adnie okreœli� jej wartoœ�, zgodnie ze wzorem

gdzie F_W i F_C s� odpowiednio si�ami wyporu dzia�aj�cymi na dowolne cia�o w wodzie, i w badanym p�ynie. Si�y wyporu oblicza si� dodaj�c masy kolejnych konik�w pomno�one przez ich po�o�enie na ramieniu wagi.

Do wyznaczania g�stoœci cia� sta�ych mo�na u�ywa� wagi Jolly'ego. Tutaj, opr�cz prawa Archimedesa, wa�n� rol� odgrywa tak�e prawo Hooke'a.

Prawo Hooke'a dotyczy doœ� ma�ych odkszta�ce� spr�ystych. Wg. niego spr�yna odci�gni�ta od po�o�enia r�wnowagi o odleg�oœ� x b�dzie dzia�a� z si�� F_s= -kx, gdzie k jest dodatni� sta��, r�n� dla ka�dej spr�yny. Innymi s�owy, odkszta�cenie cia�a spr�ystego jest wprost proporcjonalne do ciœnie� zewn�trznych.

Waga Jolly'ego sk�ada si� ze spr�yny, na kt�rej wiesza si� badane cia�a i zanurza w cieczach. Za spr�yn� jest podzia�ka, dzi�ki kt�rej mo�na ustali� wzgl�dne rozci�gni�cie spr�yny. Poniewa� rozci�gni�cie spr�yny jest proporcjonalne do si� wyporu dzia�aj�cych na cia�o zawieszone na niej i zanurzane w cieczach,

gdzie a jest wzgl�dnym po�o�eniem nieobci��onej spr�yny, b po�o�eniem spr�yny gdy badane cia�o wisi swobodnie w powietrzu, a c gdy jest zanurzone w cieczy.

Opis doœwiadczenia

Doœwiadczenie sk�ada�o si� z dw�ch cz�œci. W pierwszej cz�œci badano g�stoœ� cieczy za pomoc� wagi Mohra. W tym celu zanurzano nurka w wodzie, acetonie i alkoholu, za ka�dym razem doprowadzaj�c wag� do po�o�enia r�wnowagi za pomoc� konik�w wieszanych na jej ramieniu. Zanotowano typ i po�o�enie konik�w potrzebnych do zr�wnowa�enia wagi.

W drugiej cz�œci doœwiadczenia badano g�stoœ� czterech cia� sta�ych, korzystaj�c z wagi Jolly'ego. Notowano po�o�enie spr�yny przy wadze nieobci��onej, i z zawieszonym badanym cia�em, tak wisz�cym w powietrzu, jak i zanurzonym w cieczy.

Dodatkowo wyznaczano czu�oœ� wagi Jolly'ego obci��aj�c wag� odwa�nikami od 1 g do 10 g co 1 g, za ka�dym razem notuj�c po�o�enie wskaz�wki wagi.

Opracowanie wynik�w pomiar�w

Przyjmuj�c masy umowne konik�w jako 1A, 0.1A i 0.01A dla odpowiednio du�ego, œredniego, i ma�ego konika obliczamy przy�o�on� mas� wg. schematu:

m=1A"a+0.1A"b+0.01A"c

gdzie a, b, i c s� po�o�eniami konik�w na ramieniu wagi Mohra. Dla wody masa ta wynosi 1A"3+1A"6+0.01A"7+0.1A"8=9.87A

Dla acetonu m=1A"3+1A"4+0.01A"8+0.1A"9=7.98A,

zaœ dla alkoholu: m=1A"3+1A"6+0.1A"9=9.90A

Korzystaj�c ze wzoru obliczamy wzgl�dn� g�stoœ� acetonu = m_ac/m_w = 7.98/9.87 = 0.809 g�stoœci wody. Sprawdzaj�c w tablicach fizycznych g�stoœ� wody w temperaturze pokojowej (0.99821 g/cm³) wyliczamy g�stoœ� acetonu jako 0.807 g/cm³.

Analogicznie wzgl�dna g�stoœ� alkoholu w naszym przypadku wynosi�a 1.003 g�stoœci wody. St�d g�stoœ� alkoholu w naszym przypadku powinna by�a wynosi� 1.00 g/cm³, czyli praktycznie tyle samo, co g�stoœ� wody.

Dla wagi Jolly'ego badano cztery podobne cia�a o r�nej g�stoœci. Korzystaj�c ze wzoru

gdzie a jest wzgl�dnym po�o�eniem nieobci��onej spr�yny (po�o�eniem zerowym), b po�o�eniem spr�yny gdy badane cia�o wisi swobodnie w powietrzu, a c gdy jest zanurzone w cieczy, obliczamy g�stoœ� wzgl�dn� kolejnych cia� (w tym przypadku korzystaj�c z wody).

Cia�o 1: _wzgl= (30.0-27.9)/(30.0-29.2)=2.63

Cia�o 2: _wzgl= (34.8-27.9)/(34.8-34.0)=8.63

Cia�o 3: _wzgl= (35.3-27.9)/(35.3-34.6)=10.57

Cia�o 4: _wzgl= (36.2-27.9)/(36.2-35.1)=7.55

Wyliczamy g�stoœci wzgl�dne dla kolejnych cieczy:

Aceton:

Cia�o 1: _wzgl= (30.0-28.0)/(30.0-29.3)=2.85

Cia�o 2: _wzgl= (34.9-28.0)/(34.9-34.2)=9.86

Cia�o 3: _wzgl= (35.4-28.0)/(35.4-34.8)=12.33

Cia�o 4: _wzgl= (36.2-28.0)/(36.2-35.4)=10.25

Alkohol:

Cia�o 1: _wzgl= (30.0-27.9)/(30.0-29.2)=2.63

Cia�o 2: _wzgl= (34.8-27.9)/(34.8-34.0)=8.63

Cia�o 3: _wzgl= (35.4-27.9)/(35.4-34.5)=8.33

Cia�o 4: _wzgl= (36.1-27.9)/(36.1-35.1)=8.20

Bierzemy œrednie wartoœci gestoœci wzgl�dnych dla ka�dego z czterech cia� i otrzymujemy:

Cia�o 1: _wzgl = 2.70

Cia�o 2: _wzgl = 9.04

Cia�o 3: _wzgl = 10.41

Cia�o 4: _wzgl = 8.67

W tym momencie, gdybyœmy znali dok�adn� wartoœ� g�stoœci dowolnego z tych cia�, moglibyœmy na podstawie g�stoœci wzgl�dnych obliczy� g�stoœci pozosta�ych cia�.

W celu wyznaczenia czu�oœci wagi Jolly'ego zbadano zale�noœ� wyd�u�enia spr�yny od obci��enia wagi dla obci��e� rosn�cych i malej�cych. Wzi�to œredni� wyd�u�enia spr�yny dla obu typ�w obci��e� i przybli�ono na wykresie jako funkcj� liniow�. Wg. tej funkcji (po�o�enie spr�yny) [cm] = 0.29636"(obci��enie) [g] +28.22. R�nica 0.1 cm na skali wagi r�wna si� 0.3 g, i taka jest czu�oœ� tej wagi (patrz wykres na nast�pnej stronie).

Ocena b��du

B��d pomiaru po�o�enia wagi Jolly'ego wynosi� 0.1 cm, i by�a to jedyna bezpoœrednio mierzona wartoœ�. Jednak�e przy obliczaniu g�stoœci wzgl�dnej korzystaliœmy ze wzoru

gdzie wystepuj� trzy r�ne pomiary po�o�enia. Obliczaj�c b��d metod� r�niczki zupe�nej otrzymujemy:

Licz�c przyk�adowy b��d dla pierwszego pomiaru (cia�o 1, woda) otrzymujemy b��d r�wny 0.13+0.20+0.33=0.66, co daje b��d wzgl�dny rz�du 25%.

W przypadku wagi Mohra tak po�o�enie jak i masa konik�w by�y umowne, i w zwi�zku z brakiem jakichkolwiek bezpoœrednich pomiar�w przy tej metodzie obliczenie b��du pomiarowego mija si� z celem.

Wnioski

Por�wnuj�c g�stoœci acetonu i alkoholu uzyskane za pomoc� wagi Mohra ( 0.807 i 1.00 g/cm³) z wartoœciami z tablic fizycznych (0.786 i 0.787 g/cm³) widzimy, �e pomiar g�stoœci acetonu wypad� bardzo blisko spodziewanego rezultatu. Natomiast wyliczona g�stoœ� alkoholu jest praktycznie r�wna g�stoœci wody. Najprawdopodobniej nie by� to wi�c czysty alkohol, lecz alkohol z du�� zawartoœci� wody. Czynnikami, kt�re w istotny spos�b mog�y wp�yn�� na dok�adnoœ� pomiaru by�a zbyt ma�a iloœ� konik�w do wypoziomywowania wagi i niemo�liwoœ� sprawdzenia rzeczywistych relacji pomi�dzy ich masami. Dodatkowo nale�y tutaj tak�e uwzgl�dni� b��d paralaksy przy ustalaniu r�wnowagi.

B��d wzgl�dny rz�du 25% dla wagi Jolly'ego nie jest b��dem ra��co du�ym dla tak ma�o profesjonalnego przyrz�du. Poza wyliczonym b��dem wynikaj�cym z odczytu podzia�ki, istotne znaczenie mia� tak�e niesta�y wsp�czynnik spr�ystoœci spr�yny - nie wszystkie pomiary pokrywa�y si� idealnie z przybli�on� funkcj� (patrz wykres). Dodatkowo przy cechowaniu wagi niekt�re pomiary przy obci��eniach malej�cych r�ni�y si� od rosn�cych, a wi�c spr�yna nie by�a idealnie spr�ysta, aczkolwiek by�a s�abo t�umiona i odczytanie po�o�enia lekko oscyluj�cej wskaz�wki r�wnie� nastr�cza�o pewne trudnoœci. Spogl�daj�c na dokonane pomiary, nale�y zwr�ci� uwag� na fakt, �e g�stoœci wzgl�dne przy u�yciu wody i alkoholu by�y prawie identyczne, co wspiera wczeœniejsz� tez� o ma�ej zawartoœci alkoholu w alkoholu. Nasuwa si� pytanie, gdzie te� podzia� si� �w alkohol?

Og�lnie jednak, pomimo niedoskona�oœci obu wag, pomiary wykazuj� istotne zale�noœci i w du�ym stopniu mo�na na nich polega� przy por�wnywaniu g�stoœci r�nych cia� sta�ych lub cieczy.

---