Wykład II Ekonometria

Model regresji wielorakiej:

• 
  Model zależności stochastycznej:

• Model oszacowany:

Regresja wieloraka

Dane do analizy regresji:

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK)

• 
  Suma kwadratów różnic (błędów):

• MNK:

Min (SSE)

^b0,b1,bk

Błędy dopasowania:

• Średni blad kwadratowy:

• Standardowy błąd szacunku

• Dla liniowego modelu ekonometrycznego:

Σⁿ_i=1 (y_i- y)² = Σⁿ_i=1(y_i-ŷ_i)² + Σⁿ_i=1 (ŷ_i-y)²

• Współczynnik determinacji wielorakiej:

• Skorygowany współczynnik determinacji wielorakiej:

Weryfikacja statystyczna istnienia liniowej zależności

Tabela analizy wariancji:

Hipoteza o istnieniu liniowej zależności miedzy zmienna y i kombinacja liniowa zmiennych x:

Przykład:

df SS MS F istotność F

Regresja 2 349,931646 174,9658 64,0411 3,168E-05

Resztkowy 7 19,1246044 2,732086

Razem 9 369,05625

Rozklad.f.odw(0,05;2;7)= 4,74

Rozklad.f(64;2;7)=3,15E-05

Badanie istotności parametrów strukturalnych:

Gdzie:

Badanie istotności parametrów strukturalnych:

Hipoteza o istotności parametrów strukturalnych:

Przykład:

Współczynniki błąd standardowy t stat wartość -p

Przeciecie 35,09382492 2,23759562 15,68372 1,04E-06

Zmienna x1 0,578496678 0,12164652 4,755555 0,00207

Zmienna x2 1,782380091 0,52973487 3,364664 0,012008

Regresja nie liniowa:

Model regresji nieliniowej:

• Model zależności stochastycznej:

• Model oszacowany:

ŷ_i =f(x_i,b) gdzie b^T=[b₁,b₂,…,b_N]

przykłady:

y_i= α+β*x_1i+γ*x²_2i+ε_i

ŷ_i= a+b*x_1i+c*x²_2i

Metoda najmniejszych kwadratów (MNK)

• Suma kwadratów różnic (błędów):

• MNK:

Min(SSE)

_b0,b1,…bk

Klasyfikacja regresywnych modeli nieliniowych.

• Modele linearyzowane- transformacja zmiennych:

ŷ_i= f(x_i,b) >> ŷ_i'=b₀'+b₁'*x_1i'+…+b_k' * x_ki'

• Modele ściśle nieliniowe- metody optymalizacji nieliniowej

y_i= β₀*x_1i+β₁*e^β2*x2i+εi

ŷ_i= b₀*x_1i+b₁*e^b2*x2i

Model wielomianowy:

y_i= b₀+b₁*x_i+b₂*x_i²+b₃*x_i³+…+ b_k* x_i^k

y_i= b₀+b₁*x_1i+b₂*x_2i+b₃*x_1i*x_2i+b₄*x²_1i+b₅*x²_2i+…

• Linearyzacja:

x'_ji = x^j_i

x'_ji= x^k1_1i*x^k2_2i

Model odwrotny do liniowego:

y_i= 1/ b₀+b₁*x_1i+b₂*x_2i+…+b_k*x_ki

• Linearyzacja

y' = ¼

Model potęgowy

• Np. funkcja produkcji Comba- Douglasa:

yi= b₀*x^b1_1i*x^b2_2i*…*x^bk_ki

• Linearyzacja: obustronne logarytmowanie

ln y_i= lnb₀+b₁*lnx_1i+b₂*lnx_2i+…+B_k* lnx_ki +ln ε

y'_i= lny_i; b₀'= lnb₀; x'_ji = ln x_ji

Y=a*x^b₁*x^c₂

Ln y = ln a+ ln x^b₁+ln x^c₂

Ln y = ln a+ b ln x₁+ c ln x₂

Ln y = y'

Ln a = a'

Ln x₁= x₁'

ln x₂ = x₂'

y' = a'+bx₁'+cx₂'

a' = 2 b= 3 c=4

a = e²

a=e^a2 exp(2)

y= e² * x₁³*x₂⁴

Model wykładniczy :

y_i= b₀*e^{b1*x1i+b2*x2i+...+Bk* xki}

• Linearyzacja: obustronnie logarytmowane

Ln y_i= ln b₀+ b₁*x_1i+b₂*x_2i+…+B_k*x_ki

y'_i = lny_i; b'₀= ln b₀

Y= a* e^bx1+cx2

Ln y= lna+ lne^bx1+cx2

Lny= lna + (bx1+cx2) lne

Lne= 1

y'= a'+bx₁+cx₂

a'=3 b=2 c=0,5

a= e^a'= e³

y= e³ * e ^{2x1+ 0,5 x2}

Model logarytmiczny

y_i= b₀+b₁*lnx_1i+b₂*lnx_2i+…+b_k*lnx_ki

Linearyzacja:

X'_ji= ln x_ji

Ściśle nieliniowe modele regresywne- przykład:

• Model:

ŷ_i= b₀*x_1i+b₁*e^b2+x2i

• MNK:

SSE= Σⁿ_i=1 (y_i-ŷ_i)2= Σⁿ_i=1(y_i-b₀*x_1i-b₁*e^b2*x2i)²

Min _b0,b1,b2 SSE

• Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

δSSE/δb₀=0; δSSE/δb₁=0; δSSE_n/δb₂=0

1

Całkowita suma kwadratów

Syy

Suma kwadratów błędów SSE

Suma kwadratów odchyleń regresywnych SSR

y=1,5092x+74,404

y= -0,4936x²+7,9095x+59,317