![]() | Pobierz cały dokument z1.13.sprawozdania.czyjes.doc Rozmiar 99 KB |
WPROWADZENIE DO SYSTEMÓW TELEKOMUNIKACYJNYCH
Seminarium semestr zimowy 2000/2001
Prowadzący: dr inż. Wojciech Krzysztofik
Michał Zubrzycki (95466)
Zadanie Z1/13
Treść zadania
Korzystając z twierdzenia Parsevala i własności symetrii transformaty Fouriera sprawdzić ortogonalność dwóch funkcji próbkujących f1(t) i f2(t) w przedziale nieskończonym -∞<t<∞.
, tw. Parsevala:
.
,
,
Wprowadzenie teoretyczne
Dwie funkcje są ortogonalne, jeśli jeden sygnał f1(t) nie zawiera żadnej składowej drugiego sygnału f2(t). Czyli dwie funkcje f1(t) i f2(t) są ortogonalne w przedziale (t1, t2), jeżeli:
.
Dla układu funkcji f1(t), f2(t), ...,fn(t) wzajemnie ortogonalnych mamy:
Rozwiązanie
Aby sprawdzić, czy funkcje są ortogonalne, należy policzyć całkę:
i sprawdzić, czy dla k≠m wynosi 0, a dla k=m wynosi
(zgodnie z treścią zadania).
Zamiast liczyć tę całkę, można skorzystać z twierdzenia Parsevala. Do tego potrzebne mi są transformaty fouriera funkcji f1(t) i f2(t).
Aby policzyć te transformaty korzystam z twierdzenia o symetrii tranformaty fouriera:
Wiedząc, że transformatą impulsu prostokątnego jest funkcja samplująca:
(łatwo to wyprowadzić metodą pochodnych), można znaleźć transformatę funkcji samplującej korzystając z twierdzenia o symetrii:
korzystając z twierdzenia o przesunięciu w dziedzinie czasu:
i wiedząc, że
znajduję transformaty zadanych funkcji:
teraz korzystając z twierdzenia Parsevala można obliczyć całkę iloczynu f1 i f2 dla k=m:
czyli dla k=m otrzymuję:
Jest to wynik odpowiadający funkcjom ortogonalnym.
Teraz korzystając z twierdzenia Parsevala obliczam całkę iloczynu f1 i f2 dla k≠m:
czyli dla k≠m otrzymuję:
Czyli funkcje f1(t) i f2(t) są ortogonalne.
3
2π/ω0
ω
TSa
ωT
2
T
4π/T
0
4π/T
![]() | Pobierz cały dokument z1.13.sprawozdania.czyjes.doc rozmiar 99 KB |