Metoda zaburzeń
Metodę zaburzeń (rachunek zaburzeń) stosuje się zazwyczaj wtedy, gdy hamiltonian badanego układu daje się przedstawić w postaci:
oraz spełnione są dwa następujące warunki:
Operator
, nazywany hamiltonianem niezaburzonym, musi być taki, aby równanie Schrödingera z tym hamiltonianem można było rozwiązać ściśle
Operator
, nazywany zaburzeniem, musi być mały (parametr zaburzeniowy λ musi być niewielką liczbą).
Rachunek zaburzeń można sformułować na wiele sposobów. Zajmiemy się sformułowaniem Rayleigha-Schrödingera niezależnym od czasu.
Rachunek zaburzeń Rayleigha-Schrödingera
(niezależny od czasu)
Cel: wyznaczenie przybliżonych rozwiązań równania Schrödingera z całkowitym hamiltonianem, czyli
Pełny hamiltonian
zależy od parametru λ, a więc rozwiązania pełnego równania Schrödingera (z tym hamiltonianem) również zależą od λ.
Parametr λ jest z definicji niewielki, co umożliwia rozwinięcie zarówno ψn jak i En w szereg według potęg λ :
W krótszym zapisie mamy (to samo):
Im mniejszy jest parametr λ (czyli im mniejsze jest zaburzenie) tym szybciej zbieżne są oba te szeregi.
Podstawiamy oba powyższe rozwinięcia do równania
(gdzie
) :
, czyli
Oczywiste jest, że powyższe równanie jest spełnione gdy współczynniki przy jednakowych potęgach λ po lewej i po prawej stronie równania są sobie równe.
97