Przebieg zmienności funkcji.
y = 2x2e1/x
D = R\ {0}
lim x∞2x2e1/x=∞ lim x-∞2x2e1/x=∞
lim x0+2x2e1/x=2lim x0+e1/x/1/x2=2lim x0+e1/x(-1/x2)/-1/x4*2x=2lim x0+e1/x*1/x2*x3/2=lim x0+e1/x/1/x=∞
lim x0-2x2e1/x=0
asymptota pionowa f(x) = 2x2e1/x
odp. Prosta x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną
asymptota ukośna
y = a x + b
a = lim x∞f(x)/x b = lim x∞[f(x)-ax]
a = lim x∞2x2e1/x/x = lim x∞2xe1/x = ∞
brak asymptoty ukośnej prawostronnej
a = lim x-∞ f(x)/x = lim x-∞ 2x2*e1/x/x = lim x-∞2xe1/x = -∞
brak asymptoty ukośnej lewostronnej
odp. Nie ma asymptoty ukośnej.
y = 0
2x2e1/x = 0 x2 = 0 v e1/x = 0
x = 0 x należy do zbioru pustego
x € D
Funkcja nie ma miejsc zerowych.
d)Analiza pierwszej pochodnej.
F(x)= 2x2e1/x
F'(x) =4xe1/x + 2x2e1/x(-1/x2) = 4xe1/x - 2e1/x
F'(x) = 0
4xe1/x - 2e1/x = 0
2x-1 = 0
x = 1/2 => y = 4*1/4*e2 = 1/2 e2
y' =2e1/x(2x-1)
x e (-∞,0)v(0,1/2) =>f'(x) < 0 x e (1/2, ∞)=> f'(x) > 0
przy x = 1/2 funkcja osiąga minimum = 1/2e2
Analiza drugiej pochodnej
F'(x) = 4xe1/x -2e1/x =>D' = R\{0}
F''(x) = 4e1/x + 4xe1/x(-1/x2) - 2e1/x(-1/x2)
F''(x) = 4e1/x - 4e1/x/x +2e1/x/x2
F''(x) = 4x2e1/x -4xe1/x + 2e 1/x/x2 D'' = R\{0}
F''(x) = 0 => 4x2e1/x - 4xe1/x +2e1/x = 0
4x2 - 4x + 2 = 0
2x2 - 2x + 1 = 0
Nie ma punktu przegięcia .
F''(x) > 0 2e1/x(2x2 - 2x +1)/x2 > 0
Druga pochodna w całej swej dziedzinie jest > 0 stąd wykres funkcji jest wypukły.
Tabela zmienności funkcji.
x |
-∞ |
↑ |
0 |
↑ |
1/2 |
↑ |
∞ |
Y' |
|
- |
|
- |
0 |
+ |
|
Y'' |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
y |
∞ |
↓ |
0 |
↓ |
1/2e2 |
↑ |
∞ |
Zad . 2
y = 2 +ln2x/x
a)D = x>0 i x≠0
b)lim x∞2 +ln2x/x = lim x∞ 1/2x*2 = lim x∞ 1/x = 0
lim x0+2 + ln2x/x = -∞
c) prosta x = 0 jest asymptotą pionową prawostronną
d) asymptota ukośna
a = lim x∞ 2 + ln2x/x2 = lim x∞ 1/2x*2/2x = lim x∞ 1/2x2 = 0
b = lim x∞ (2 + ln2x/x - 0) = lim x∞ 2 + ln2x/x = 0
y = 0
Prosta y = 0 jest asymptotą poziomą prawostronną.
y = 0
2 + ln2x/x = 0
ln2x = -2
ln2x = lne-2
2x = e -2
x = 1/2e-2 = 1/2e2 e D
g) Analiza pierwszej pochodnej.
Y' = 1/2x*2x-2-ln2x/x2 = 1-2-ln2x/x2 = -1-ln2x/x2 D' = D
Y' = 0 -1-ln2x/x2 = 0
-1-ln2x = 0
ln2x = -1
ln2x = lne-1
x = 1/2e
y = 2 +ln1/e/1/2e = 2e (1/2e,2e)
y' >0 y' < 0
-1-ln2x/x2 >0 -1-ln2x/x2 < 0
-1-ln2x >0 -1-ln2x < 0
ln2x< -1 ln2x > -1
ln2x <lne-1 x > 1/2e
x < 1/2e x e (1/2e, ∞) funkcja jest rosnąca
x e (0,1/2e) funkcja jest rosnąca
Analiza drugiej pochodnej.
Y'' = -1/2x*2x2-2x(-1-ln2x)/x4 =-x+2x+2xln2x/x4 = x+2xln2x/x4
Y'' = 0 x+2xln2x/x4 = 0
x(1+2ln2x) = 0 D'' = D
x = 0 € D'' v 1+2ln2x = 0 D' : x e R+
ln2x = -1/2
ln2x = lne-1/2
2x = e-1/2
x = 1/2e-1/2 e D
y = 2+lne-1/2/1/2e-1/2 = 3/2/1/2e-1/2 = 3e1/2
(e -1/2,3e1/2) współrzędne punktu
przegięcia
y'' > 0 y'' < 0
x+2xln2x/x4 x < 1/2e -1/2 i x > 0 z założenia
x+2xln2x > 0 x e (0, 1/2e -1/2) funkcja jest wklęsła
1+2ln2x > 0
ln2x > -1/2
ln2x > lne-1/2
2x > e -1/2
x > 1/2e -1/2 funkcja jest wypukła
Tabela przebiegu funkcji.
x |
0 |
↑ |
1/2e2 |
↑ |
1/2e |
↑ |
E1/2/2e |
↑ |
∞ |
Y' |
|
+ |
|
+ |
0 |
- |
|
- |
|
Y'' |
|
- |
|
- |
|
- |
0 |
+ |
|
y |
-∞ |
↑ |
0 |
↑ |
2e |
↓ |
3e1/2 |
↓ |
0 |