Wyznaczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowegooraz metodą Bessela

Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone dwoma powierzchniami sferycznymi. Oś łączącą środki krzywizny obu powierzchni nazywamy osią optyczną soczewki. Światło przechodzące przez soczewkę ulega kolejno załamaniu na obu jej powierzchniach. Promień przechodzący przez środek optyczny soczewki nie ulega załamaniu niezależnie od kąta padania na soczewkę. Wiązka promieni biegnąca równolegle do osi optycznej skupia się w jednym punkcie, zwanym ogniskiem. Odległość ogniska od środka soczewki nazywamy ogniskową.

Dobierając odpowiednio promienie krzywizn buduje się soczewki skupiające i rozpraszające. Wiązka równoległa, padająca na soczewkę rozpraszającą staje się po przejściu przez nią wiązką rozbieżną. W tym przypadku ogniskiem jest punkt przecięcia się przedłużeń promieni załamanych.

Położenie ogniska zależne jest od współczynnika załamania n materiału soczewki względem ośrodka, w którym się znajduje, oraz od promieni krzywizn obu powierzchni ograniczających R1 i R2. Zależność ogniskowej f od powyższych parametrów określona jest równaniem:

Soczewki mają zdolność odwzorowywania punktów polegającą na tym, że promienie wybiegające z punktu P, zwanego przedmiotem, zostają skupione po przejściu przez soczewkę w punkcie O tworząc obraz przedmiotu. Położenie obrazu zależy od położenia przedmiotu oraz od ogniskowej soczewki - określone jest tzw. równaniem soczewkowym:

więc

gdzie: p - odległość przedmiotu od soczewki, o - odległość obrazu od soczewki.

Równanie to może być stosowane w przypadkach, gdy promienie wybiegające z P tworzą niewielki kąt z osią optyczną lub grubość soczewki jest mała w porównaniu z promieniami krzywizny. W stosunku do odległości p, o, R₁, R₂ i f istnieje umowa określająca ich znaki:

p jest zawsze dodatnie; o, R, f są dodatnie, gdy leżą po przeciwnej stronie soczewki niż przedmiot a ujemne, gdy leżą po tej samej stronie co przedmiot.

Metoda znajdowania ogniskowych za pomocą wzoru soczewkowego

Odległości p i o występujące w powyższym wzorze są łatwo mierzalne, dzięki czemu wzór ten możemy wykorzystać do wyznaczenia ogniskowej f. Na ławie optycznej umieszczamy świecący przedmiot, soczewkę oraz ekran w ten sposób, aby na ekranie otrzymać wyraźny obraz przedmiotu. Ekran i soczewka umieszczone są na wózkach, co umożliwia ich przesuwanie wzdłuż ławy. Wskaźnik wózka przesuwający się względem podziałki naniesionej na ławie wyznacz dokładnie położenie wózka lub soczewki.

Ponieważ oszacowanie ostrości obrazu jest połączone z dużą niepewnością, ustawienie wózka powtarzamy kilkakrotnie, po czym obliczamy wartość średnią. Znając odpowiednie położenia obliczamy odległości przedmiotu i obrazu, a następnie znajdujemy ogniskową.

Opisana metoda nie może być stosowana bezpośrednio do soczewek rozpraszających, gdyż nie dają one obrazu rzeczywistego. Możemy jednak obliczyć ogniskową układu złożonego z badanej soczewki rozpraszającej i soczewki skupiającej. Mając ogniskową układu f oraz ogniskową fs soczewki skupiającej, znajdujemy ogniskową fr soczewki rozpraszającej z równania:
Przy stosowaniu tej metody należy pamiętać, że obraz rzeczywisty uzyskamy wtedy, gdy spełniony będzie warunek
i że ogniskowa soczewki rozpraszającej jest ujemna.

Błąd liczymy ze wzoru:

gdzie Δd = 0,0001 [m] jest błędem pomiaru odległości

Metoda BesselaOdległości obrazu i przedmiotu występują w równaniu powyższym w postaci symetrycznej, tzn. że po zamianie ich wartości równanie pozostaje w dalszym ciągu prawdziwe. Fizyczną konsekwencją symetrii równania soczewkowego jest możliwość uzyskania ostrego obrazu przy dwóch położeniach soczewki względem przedmiotu.

Przy stałej odległości l przedmiotu od ekranu obraz powstaje w odległości o oraz o' = p od soczewki (rysunek). Przy jednym położeniu obraz jest pomniejszony, a przy drugim powiększony w stosunku do przedmiotu.

Na podstawie rysunku możemy napisać układ równań:

o + p = l

o - p = e.

Z powyższych równań wyliczamy p oraz o i następnie wstawiamy do równania soczewkowego, otrzymując po prostych przekształceniach

natomiast błąd obliczamy ze wzoru:

gdzie Δe = 2Δd

Dla soczewki A

p[m]	p[m]	l[m]	e [m]	f tradycyjne	f Bessela
0,915	0,085	1	0,81	0,078	0,086
0,816	0,084	0,9	0,711	0,076	0,085
0,711	0,089	0,8	0,601	0,079	0,087
0,606	0,094	0,7	0,492	0,081	0,089
0,503	0,097	0,6	0,382	0,081	0,089
0,39	0,11	0,5	0,261	0,086	0,091
Średnia wartość				0,0802	0,0878
Wartość odchylenia standardowego przy pomocy błędu przeciętnego średniej arytmetycznej = współczynnik Fischera który wynosi dla 6 pomiarów 1,2				0,00408	0,00264

Dla soczewki C

o[m]	p[m]	l[m]	e[m]	f tradycyjne	f Bessela
0,708	0,292	1	0,394	0,207	0,211
0,565	0,335	0,9	0,219	0,21	0,212
0,438	0,362	0,8		0,198
Średnia wartość				0,205	0,2115
Wartość odchylenia standardowego przy pomocy błędu przeciętnego średniej arytmetycznej = współczynnik Fischera który wynosi dla 6 pomiarów 1,2				0,00744	0,00084

Dla układu soczewek A-4

o	p	l	e	f tradycyjne	f Bessela
0,898	0,0104	1	0,744	0,01	0,112
0,793	0,107	0,9	0,633	0,094	0,114
0,686	0,144	0,8	0,523	0,119	0,115
0,586	0,144	0,7	0,412	0,116	0,114
0,476	0,124	0,6	0,3	0,098	0,113
0,367	0,133	0,5	0,178	0,098	0,109
Średnia wartość				0,0892	0,1128
Wartość odchylenia standardowego przy pomocy błędu przeciętnego średniej arytmetycznej = współczynnik Fischera który wynosi dla 6 pomiarów 1,2				0,04812	0,00252

Wnioski

W przypadku soczewek A i C wyniki są zbliżone,a nawet identyczne jak w przypadku układu soczewek. Świadczy to o poprawnym wykonaniu ćwiczenia dla tych soczewek. Różnice mogą wynikać z subiektywnej oceny ostrości obrazu.

---