Oszukaj Wojtusia Hybka, WTD, analiza matematyczna


Wyznacz ekstrema funkcji f(x,y)=sinx+siny

1.Obliczamy pochodne. Df/dx=cosx || df/dx=cosy || 2. Wyznaczamy punkty stacjonarne. Układ rownan z pochodnych. cosx=0, cosy=0 i obliczamy. Wychodzi nam punkt(y) stacjonarny. P=(Π/2, Π/2). || 3. Wyznaczamy macierz Hessego funkcji f. Hf(x,y)=[..] || 4.Sprawdzamy określoność macierzy. „Macierz jest … określona” Jeżeli mamy kilka punktów to szukamy minimum i maksimum. || 5.ODP!

Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y)=x2y-2/x+1/y określonej dla x=/0 i y=/0

1. Liczymy pierwsze pochodne cząstkowe: df/dx=2yx-2/x2 , df/Dy=x2-1/y2 || grad f(xy)=(2yx-2/x2; x2-1/y2) || 2.Obliczamy pukty stacjonarne funkcji. || grad f(xy)=02yx-2/x2=0 oraz x2-1/y2=0 || Układ równań 2yx-2/x2=0 i x2-1/y2=0. Obliczamy i jest P1=(-1,1) i P2=(1,-1) || Liczymy drugie pochodne cząstkowe || d2f/dx2=2y-4/x3 , d2f/dy2=2/y3 , d2f/dxdy=2x || Układamy macierz Hessego || Sprawdzamy określoność macierzy Hessego w punktach stacjonarnych || P1=(-1,1), Hf(-1,1)=[..] i wyznaczniki. | Macierz Hessego jest dodatnio określona=> w P1 jest minimum funkcji wynoszące 4 || P2=(1,-1) , Hf(1,-1)=[-6 2|2 -2]. Wyznaczniki | Macierz Hessego jest ujemnie określona więc w punkcie P2 jest maksimum wynoszące -4 || ODP.

Wyznacz największą i najniejszą wartość funkcji f(x,y)=5x2+12y2 na zbiorze x4+y4=169

g(x,y)=x4+y4-169. Nasz zbiór g(x,y)=0 || Sprawdzamy czy jest to zbiór Lagrange'a. W tym celu obliczamy grad g(x,y) || gradg(x,y)=(4x3, 4y3) y=x=0 || Punkt (0,0) nie należy do naszego zbioru. Wynika stąd że nasz zbiór jest zbiorem Lagrange'a. Funkcja f jest ciągła na tym zbiorze zatem istnieją w tym zbiorze takie punkty których wartość funkcji jest największa lub najmniejsza. Punkty są jednocześnie ekstremami warunkowymi funkcji a zatem wystarczy znaleźć punkty w których może być ekstremum na zbiorze Lagrange'a. Ponieważ nasza funkcja jest klasy C1 to możemy stosować mnożniki Lagrange'a. || Piszemy funkcje Lagrange'a || F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y)|| F(x,y)=5x212y2-λ(x4+y4-169) || I pochodne df/dx=10x-4λx3 df/dy=24y-4λy3 || Układ równań Lagrange'a: czyli pochodne plus równanie x4+y4-169=0 i obliczamy || Wychodza 4 punkty. Podstawiamy je pod równanie f(x,y) i szukamy najmniejszej i najwiekszej wartości. || ODP!

Wyznacz najmniejsza i największą wartość funkcji f(x,y)=x2y na zbiorze G={(x,y):x>=0, y>=0, 3x2+2y=<6}

Szukamy punktów stacjonarnych f należących do G || Pochodne df/dx i df/dy i z nich układ równan. Wychodzi nam y=[0,3], xϵ[0,2] || Ponieważ f(xy)>=0 dla (x,y)ϵG to 0=mf(G) || Szukamy wartości największej na odcinku prostej o równaniu 3x+2y=6 || 3x+2y-6=g(x) czyli szukamy punktów w których może być ekstremum warunkowe funkcji na zbiorze Lagrange'a || Funkcja Lagrange'a: F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y) || F(x,y)=x2y-λ(3x+2y-6)=x2y-3λx-2λy+6λ || I pochodne dF/dx, dF/dy || Z pochodnych układ równań plus jedno dodatkowe 3x+2y-6=0 i obliczamy || Wychodzi x=4/3 i y=1 || Mamy więc punkt P1=(4/3, 1) || Mf(G)=f(P1)=(4/3)2*1=16/9. ODP!

Wyznacz że funkcja f(x,y)=x3+3y2+6xy-9x jest wypukła na zbiorze W={(x,y)ϵR2; x>1}. Wyznacz najmniejszą i wartość tej funkcji na zbiorze W.

1. Ponieważ funkcja jest klasy C2 to jej wypukłość na danym zbiorze jest równoważna nieujemnej określoności macierzy Hessego na danym zbiorze. || Wyznaczamy macierz Hessego funkcji f(x,y) || df/dx=3x2+6y-9, df/dy=6y+6x, d2f/dx2=6x, d2f/dy2=6, d2f/dxdy=6 ||

Hf(x,y)=[6x 6|6 6] || Hf(x,y) jest nieujemnie określona <=> ślad trHf(x,y)>=0 i det Hf(x,y)>=0 || tfHf(xy)=6x+6=6(x+1)>=0 dla x>1 || detHf(xy)=36(x-1)>=0 dla x>1 || Wiec Hf(xy) jest określona nieujemnie dla x>1, więc dla (x,y)ϵW macierz Hf(xy) jest określona nieujemnie, więc f(xy) jest wypukła na W. || Rysujemy W || Zbiór W jest zbiorem otwartym i funkcja f jest wypukła na W, zatem najmniejszą wartość przyjmuje w punkcie stacjonarnym należącym do W. || Wyznaczamy punkty stacjonarny || Układ równań: (df/dx)3x2+6y-9=0 i (df/dy)6y+6x=0 || Obliczamy i mamy; P1=(-1,1), P2=(1,-3) || Najmniejsza wartość funkcji f na W to liczba f(P2)=f(1,-3)=27+3*9+6*(-9)=-27. || ODP!

Dane przekształcenie f(t,u,v)=(uv+t2,tv+u2,tu-v2) (t,u,v)ϵR3; f:R3R3. Wyznacz macierz Jakobiego i policz Jakobian. Wyznacz zbiór miejsc zerowych Jakobiana.

If(tuv)=[grad f1 | grad f2 | grad f3]=[df/dt | df/du | df/dv]=[2t, v, u | v, 2u, t | u, t, -2v] macierz jakobiego. || Jakobian: det If(tuv)=-2(t3-v3-u3+3tuv) || Zbiór miejsc zerowych Jakobiana: t3-v3+u3+3tuv=0

Wykaż że funkcja f(x,y)=x4+6x2y2+y4 jest funkcją wypukłą na całej płaszczyźnie. Wyznacz najmniejszą wartość f na całej płaszczyźnie.

Funkcja f klasy C2 jest wypukła na zbiorze wypukłym E wtey gdy jej macierz Hessego Hf jest nieujemnie określona na zbiorze E. || Wyznaczamy macierz Hessego. || Pochodne: df/dx, df/dy, d2f/dx2, d2f/dy2, d2f/dxdy i macierz Hf(xy) || Hf(x,y) jest nieujemnie określona <=> ślad trHf(x,y)>=0 i det Hf(x,y)>=0 || trHf=12x2+12y2+12x2+12y2>=0 jest spełniony dla (x,y)ϵR2 || detHf=144(x4-2x2y2+y2)>=0 dla (x,y)ϵR || Macierz Hessego jest nieujemnie określona więć nasza funkcja jest wypukła na całej płaszczyźnie. Ponieważ funkcja f jest wypukła na całej płaszczyźnie to najmniejsza wartość jest w punkcie stacjonarnym o ile istnieje. || szukamy punktów stacjonarnych funkcji f. || układ równań (df/dx)=4x3+12xy2=0 i (df/dy)=12x2y+4y3=0 i obliczamy. Punkt stacjonarny P=(0,0) || f(P)=0 najmniejsza wartość funkcji.

Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x,y)=x3-7x2y+2xy-y3 w punkcie P=(-1,2).

Z=f(x0)+<grad f(x0), x-x0> || x-x0=(x,y)-(-1,2)=(x+1, y-2) || x=(x,y) x0=P0 || f(x0)=f(P0)=f(-1,2)=-1-14-4-8=-27 || pochodne: df/dx=3x2-14xy+2y=3+28+4=35, df/dy=-7x2+2x-3y2=-7-2-12=-21 || grad f(x0)=(35,-21) || <grad f(x0), x-x0>=35(x+1)-21(y-2)=35x-21y+77 || z=77-27+35x-21y.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
a2k, WTD, analiza matematyczna
sciaga kolo1 analiza fin, WTD, analiza matematyczna
analizazad1, WTD, analiza matematyczna
sciaga analiza fin, WTD, analiza matematyczna
analiza sc, WTD, analiza matematyczna
anal2k, WTD, analiza matematyczna
egzamin ustny analiza, WTD, analiza matematyczna
ana2k, WTD, analiza matematyczna
a2k (2), WTD, analiza matematyczna
analiza egz, WTD, analiza matematyczna
ZALICZENIE Analiza, WTD, analiza matematyczna
Egzami analiza 2009, WTD, analiza matematyczna
analiza 2kolo sciaga juz zmniejszona, WTD, analiza matematyczna
Tejlor sc, WTD, analiza matematyczna
pytania na egzamin ustny, WTD, analiza matematyczna
Indukcja, WTD, analiza matematyczna
jck, WTD, analiza matematyczna
01.06.2009, WTD, analiza matematyczna

więcej podobnych podstron