Scenariusz lekcji
klasa II Technikum Informatycznego
Temat lekcji: Ciąg geometryczny -zadania.
Czas trwania 90 min
Cele lekcji
Wiadomości:
Uczeń zna:
pojęcia: ciąg, wyrazy ciągu
pojęcia: ciąg skończony, ciąg nieskończony
pojęcie ciągu liczbowego
pojęcia: wzór ogólny ciągu
pojęcia: ciąg geometryczny, iloraz ciągu geometrycznego
wzór ogólny ciągu geometrycznego
Umiejętności:
Uczeń potrafi::
zapisywać dowolne wyrazy ciągów na podstawie ich wzorów ogólnych
obliczać iloraz i kolejne wyrazy danego ciągu geometrycznego
obliczać dowolne wyrazy ciągu geometrycznego, gdy dane są jeden wyraz i iloraz ciągu lub dwa dowolne wyrazy tego ciągu
podawać przykłady ciągów geometrycznych spełniających określone warunki
sprawdzać, czy dana liczba jest wyrazem danego ciągu geometrycznego
rozwiązywać zadania dotyczące ciągu geometrycznego
obliczać sumę ciągu geometrycznego
zapisuje wzór ogólny i rekurencyjny ciągu
Cele wychowawcze:
pobudzanie aktywności i inicjatywy
wpajanie nawyków argumentowania, posługiwania się językiem matematycznym
budowanie u ucznia postawy zadowolenia z siebie, kształtowanie postawy gotowości niesienia pomocy innym
Metody nauczania
pogadanka
omówienie sposobu rozwiązania
praca uczniów przy tablicy
pokaz
prezentacja rozwiązania zadań
ćwiczeniowe
Środki dydaktyczne
Podręczniki
Tablica
Zestawy z zadaniami
Zasady nauczania
zasada świadomości i aktywności uczniów
stopniowania trudności
zespołowości
Przebieg lekcji
czynności organizacyjne:
realizacja tematu
podanie tematu lekcji
przypomnienie podstawowych informacji dotyczących ciągów
co to jest ciąg
kiedy ciąg jest rosnący, a kiedy malejący
ciągi skończone i nieskończone
podanie kilku przykładów ciągów geometrycznych
wspólne zaobserwowanie pewnych zależności występujących w ciągach geometrycznych
wprowadzenie pojęcia: iloraz ciągu, wyraz ciągu, wzór ogólny i rekurencyjny ciągu
podanie definicji ciągu arytmetycznego
Zad.1
Jaka zależność zachodzi pomiędzy wyrazami ciągów?:
(an)=(1,2,4,8,16,...)
(bn)=(-81, 27, -9, 3,...)
Rozwiązanie:
wyraz pierwszy a1=1, iloraz wyrazu następującego i poprzedzającego jest stały i wynosi 2:
a4 : a3 = a3 : a2 = a2 :a1 = 2,
wyraz pierwszy a1 =-81, iloraz wyrazu następującego i poprzedzającego jest stały i wynosi 1/3:
a4 : a3 = a3 : a2 = a2 :a1 = 1/3.
Def.1.Ciągiem geometrycznym nazywamy ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz oprócz pierwszego jest iloczynem wyrazu poprzedzającego przez stałą liczbę q0 zwaną ilorazem ciągu lub postępem geometrycznym.
b1
b2= b1.q
b3= b2.q = b1.q.q = b1.q2
b4= b3.q = b2.q.q = b1.q3
...
bn= bn-1.q =... = b1.qn-1
Wniosek1:
bn = b1.qn-1
Wniosek2:
Stosunek dowolnego wyrazu ciągu do wyrazu poprzedzającego jest stały i wynosi q.
Zad.2.
W ciągu geometrycznym dane są:
b1=2 q =3. Oblicz: b2, b3, b4, b5, b7, b9, bn,
Zad.3.
Dane: a) b1=1 q =-2
b) b1=-3 q = ½
Oblicz: b2, b3, b7, b9, bk-3, b2k+1,
Zad.4.
Spośród czterech liczb b1, q, bn, n dane są trzy. Oblicz niewiadomą:
b1=1/2, q=2/3, n=7,
b1=-3/2, q=1/3, bn=-1/54
q=5/3, n=5, bn=25/9
q=-1/4, n=5, bn=-1/32
Wniosek:
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:
Wniosek:
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem:
Pokazanie uczniom niebezpieczeństwa różnego rodzaju zakładów i łańcuszków szczęścia opartych na ciągu geometrycznym.
Zad.1
a) b1 = -3, r = 4 Oblicz S10 ,
b) b1 = 0,5 , r = -1/4 Oblicz S20.
Zad.2
Spośród liczb: b1, q, n, bn , Sn, oblicz brakujące:
a) q = 1/2, n= 10, Sn = 4 -1/28 , b1= ?
b) q = 3, n = 5, Sn = 121, n=?
c) b1=20, q = -2, Sn = 860, n=?
d) b1= -5, q = 0.1, n = 20, Sn =?
Zad.3
W ciągu geometrycznym zachodzą równości: b1+ b5 = 17 i b2+ b6 = -34. Ile wyrazów początkowych należy zsumować, aby otrzymać 43?
Zad.4
Pewien ciąg ma parzystą liczbę wyrazów, których suma jest trzy razy większa od sumy wyrazów o numerach nieparzystych. Wyznacz iloraz tego ciągu.
Zad.5
Wykaż, że jeżeli Sn , S2n , S3n oznaczają odpowiednio sumę n, 2n, 3n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (bn), to Sn ( S3n - S2n)= ( S2n - Sn)2.
Zad.6
Suma 3n początkowych wyrazów rosnącego ciągu geometrycznego jest równa 14, a suma 2n początkowych wyrazów ciągu wynosi 6. Oblicz sumę n początkowych wyrazów tego ciągu.
ocena pracy uczniów
zadanie pracy domowej
Zad.1
Cztery liczby rzeczywiste tworzą ciąg geometryczny, w którym suma wyrazów skrajnych wynosi -21, a suma wyrazów pozostałych jest równa 6. Znajdź te liczby.
Zad.2
Trzy liczby, których suma jest równa 7 tworzą ciąg geometryczny malejący. Największa z tych liczb jest o 100/3 % większa od sumy dwóch pozostałych.
Znajdź te liczby.
Zad.3
Podaj przykład ciągu rosnącego,
oraz malejącego. Podaj znak a1 i q.
Zad.4
Czy ciąg (64,16,8,2,1,-3,-7)
Jest ciągiem geometrycznym?
Odpowiedź uzasadnij.
Zad.5
Dane: b1=-3/2, n=4, bn=375/16.
Oblicz q.
podsumowanie pracy
Scenariusz lekcji
Matematyka klasa II Technikum opracował Robert Kłoczko 4