Podstawy automatyki

Wykład 2 12.03.2005

Elementy automatyki dzielimy na elementy liniowe i nieliniowe.

Elementy liniowe spełniają tzw. zasadę superpozycji.

Zasada superpozycji:

Bierzemy pod uwagę obiekt który na sygnał wejściowy o wartości

Odpowiada sygnałem o wartości

Na sygnał o wartości
odpowiada sygnałem o wartości
itd.

Ogólnie powiemy, że odpowiedź tego obiektu na sygnał wejściowy o wartości
wynosi

Mówimy, że obiekt spełnia zasady superpozycji, jeżeli jego odpowiedź na wymuszenie stanowiące dowolną kombinację liniową wymuszeń
jest taką samą kombinacją liniową w odpowiedzi na poszczególne z tych wymuszeń.

gdzie:
są stałymi współczynnikami liczbowymi.

Przykład:

w odpowiedzi otrzymujemy:

Przykład 1.

Sprawdzamy czy ten obiekt spełnia zasadę superpozycji.

Bierzemy dwa sygnały wejściowe- pierwszy sygnał
i drugi

Sprawdzamy jakie są odpowiedzi obiektu dla każdego z tych sygnałów.

Porównujemy dwa wyniki (układ spełnia zasadę superpozycji) i jest układem liniowym.

Przykład 2.

Sprawdzamy czy dla tego obiektu zasada superpozycji jest spełniona.

Bierzemy te same dwa sygnały co poprzednio:

Obliczamy odpowiedzi obiektu na poszczególne sygnały:

Bierzemy tą samą kombinację liniową sygnałów
i

Obliczamy odpowiedzi obiektu na tą kombinację liniową:

Bierzemy tą samą kombinację liniową odpowiedzi:

Nie spełnia warunku superpozycji i nie jest układem liniowym.

Obiekty, których dynamika jest nieistotna (zaniedbywana), tzn. takie, których sygnał wyjściowy w chwili t zależy tylko od sygnału wejściowego w tej samej chwili a nie zależy od historii układu, mogą być opisywane przy użyciu charakterystyk statycznych.

Charakterystyki statyczne najczęściej podawane są w postaci wykresów, które ilustrują zależność sygnału wyjściowego od sygnału wejściowego.

Charakterystyki statyczne obiektów liniowych są prostymi, które przechodzą przez początek układu współrzędnych.

Tg kąta nachylenia takiej prostej nazywany jest współczynnikiem wzmocnienia.

Współczynnik ten pokazuje ile razy sygnał wyjściowy obiektu jest większy od sygnału wejściowego.

Współczynnik wzmocnienia może być zarówno liczbą większą od jedności, liczbą z przedziału od 0 do 1 jak i liczbą ujemną.

Jeżeli współczynnik wzmocnienia jest większy od jedności, to sygnał na wyjściu ma ten sam znak i wartość większą od sygnału wejściowego.

Jeżeli współczynnik wzmocnienia należy do obustronnie otwartego przedziału (0; 1), to sygnał wyjściowy ma ten sam znak co sygnał wejściowy, ale jego wartość jest mniejsza.

0< K <1

Jeżeli współczynnik wzmocnienia jest liczbą ujemną, to sygnał wyjściowy ma przeciwny znak w stosunku do sygnału wejściowego.

Charakterystyki statyczne obiektów nieliniowych nie są liniami prostymi przechodzącymi przez początek układu współrzędnych.

Najbardziej typowe obiekty nieliniowe, to obiekty z nasyceniem (element 2 położeniowy)

rys. charakterystyka przekaźnikowa

Ta charakterystyka pokazuje, że jeżeli sygnał wejściowy ma wartość mniejszą niż b, to na wyjściu sygnał wynosi -a.

Natomiast z chwilą gdy wartość sygnału wejściowego wzrasta powyżej b, to sygnał na wyjściu przybiera wartość +a.

rys. charakterystyka z histerezą

Jeżeli sygnał wejściowy tego elementu ma wartość ujemną, to sygnał na wyjściu przyjmuje wartość -a.

Przy zwiększaniu sygnału wejściowego powyżej wartości c sygnał wyjściowy zmienia się i przyjmuje wartość +a.

Przy zmianie sygnału wejściowego poniżej wartości c sygnał wyjściowy nie zmienia się a przeskakuje na wartość -a dopiero w punkcie b.

Mówimy wtedy, że jest to charakterystyka ze strefą niejednoznaczną, a widoczną na wykresie pętlę nazywamy pętlą histerezy.

---