Rozdział 7
7. ANALIZA TRENDU LINIOWEGO PRZY RÓŻNYCH ZAKRESACH ZMIENNOŚCI ZMIENNEJ CZASOWEJ t
[Przy komputerowym wspomaganiu własnych obliczeń można wykorzystać dane liczbowe zgromadzone w zbiorze RRMELATA]
Dane (w mln PLN) od stycznia do grudnia 1996 roku o łącznych średnich wartościach rynkowych spółek rynku równoległego są następujące (por. "Rynek Giełdowy", 1996 nr 1-4, s. 3 lub tablice 2.2 lub 3.2, Problemy i zadania 2 i 3): 415, 524, 630, 751, 754, 684, 645, 681, 792, 885, 885, 941. Kolejnym miesiącom przyporządkowana jest zmienna czasowa t, która przyjmuje wartości:
a) od 1 do 12, czyli t = 1,2,..., n;
b) od 0 do 11, czyli t = 0,1,..., n - 1;
c) od ujemnych wartości do dodatnich i takich, iż sumują się do zera, czyli
t* = -5,5; -4,5; -3,5; -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5, gdzie Σ t* = 0.
Metodą najmniejszych kwadratów oszacowano parametry strukturalne i stochastyczne liniowego modelu trendu łącznej średniej wartości rynkowej spółek rynku równoległego z kolejnych miesięcy 1996 roku. Obliczono współczynniki determinacji.
Wyniki oszacowań podajemy w tradycyjnie przyjętej formie zapisu:
a) yt = 37,6469 t + 470,879 + et, r2= 0,7845;
[6,2394] [45,920] [74,6117]
b) yt = 37,6469 t + 508,526 + et, r2 = 0,7845;
[6,2394] [40,516] [74,6117]
c) yt = 37,6469 t* + 715,583 + et, r2 = 0,7845;
[6,2394] [21,538] [74,6117]
Liniowe funkcje trendu są tu następujące:
a)
= 37,647 t + 470,879, dla t = 1,..., n,
b)
= 37,647 t + 508,526, dla t = 0,1,..., n - 1,
c)
= 37,647 t* + 715,583, dla takiego t, iż Σ t* = 0.
Pytanie 7.1. Czy w podanych wyżej funkcjach trendu współczynnik trendu ma jednakową (i jaką?) interpretację?
Tak, współczynnik trendu ma jednakową interpretację we wszystkich trzech funkcjach trendu. Z jego wartości wynika, że w 1996 roku z miesiąca na miesiąc łączna wartość rynkowa spółek rynku równoległego wzrastała przeciętnie o 37,647 mln PLN.
Pytanie 7.2. Czy w podanych wyżej funkcjach trendu wyrazy wolne mają jednakową (i jaką) interpretację?
Nie, wyrazy wolne nie mogą mieć jednakowej interpretacji, bowiem:
a) dla t = 1,..., n mamy:
= ax0 + b = b,
b) dla t = 0,1,... n - 1 mamy:
= ax0 + b = b,
c) dla takiego t* iż 3 t* = 0 zapis:
= a t* + b jest równoważny zapisowi:
= = a t* +
, czyli: b =
.
Wyjaśnienie warunków, w jakich prawdziwa jest relacja b =
jest następujące:
W n-elementowej próbie realizacja b estymatora
parametru β metody najmniejszych kwadratów jest, jak wiadomo, dana wzorem
b =
- a
dla t = 1,..., n lub też t = 0,1,..., n - 1,
oraz wzorem
b =
- a
dla takiego t*, iż 3 t* = 0.
W wyrażeniu: b =
- a
mamy
= 0, czyli b =
.
Powstaje pytanie, jaki jest związek zmiennej czasowej t* spełniającej warunek 3 t* = 0 ze zmiennymi czasowymi t o zakresach zmienności t = 1,..., n oraz t = 0,1,..., n - 1?
Dążąc do odpowiedzi na to pytanie wstawiamy do równania trendu liniowego w miejsce realizacji b estymatora
wyrażenie
i otrzymujemy:
= = a t +
, (t = 1,..., n lub też t = 0,1,..., n - 1) czyli
= = a (t -
) +
. Wiadomo, że
(dla t = 1,..., n oraz t = 0,1,..., n - 1), co wynika z własności średniej arytmetycznej, bowiem
. Widzimy zatem, że t* =
dla t = 1,..., n i t = 0,1,..., n - 1 oraz
= = a t* +
.
Odpowiadając na zakończenie dokładnie na pytanie 7.2 interpretujemy wyraz wolny pierwszego równania trendu wynoszący 470,879 mln PLN jako teoretyczny, wynikający z czystego trendu, poziom łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w miesiącu poprzedzającym pierwszy badany miesiąc, czyli w grudniu 1995 roku.
Wyraz wolny drugiego równania trendu wynoszący 508,526 mln PLN interpretujemy jako teoretyczny, wynikający z czystego trendu, poziom łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w pierwszym badanym miesiącu, czyli w styczniu 1996 roku.
Wyraz wolny trzeciego równania trendu wynoszący 715,583 mln PLN jest średnim miesięcznym poziomem łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w 1996 roku.
ZADANIE DOMOWE
Zadanie 7.1
Podana niżej tablica 7.1 pozwala oszacować parametry modelu trendu dla t = 1,..., n "ręcznie", bez wspomagania komputerowego:
Tablica robocza 7.1
Miesiące |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Styczeń |
415 |
1 |
1 |
-5,5 |
30,25 |
415 |
508,526 |
-93,526 |
8747,11 |
-300,58 |
90350,3 |
Luty |
524 |
2 |
4 |
-4,5 |
20,25 |
1048 |
546,173 |
-22,173 |
491,642 |
-191,58 |
36704,2 |
Marzec |
630 |
3 |
9 |
-3,5 |
12,25 |
1890 |
583,82 |
46,18 |
2132,59 |
-85,583 |
7324,5 |
Kwiecień |
751 |
4 |
16 |
-2,5 |
6,25 |
3004 |
621,467 |
129,533 |
16778,8 |
35,4167 |
1254,34 |
Maj |
754 |
5 |
25 |
-1,5 |
2,25 |
3770 |
659,114 |
94,886 |
9003,35 |
38,4167 |
1475,84 |
Czerwiec |
684 |
6 |
36 |
-0,5 |
0,25 |
4104 |
696,761 |
-12,761 |
162,843 |
-31,583 |
997,505 |
Lipiec |
645 |
7 |
49 |
0,5 |
0,25 |
4515 |
734,408 |
-89,408 |
7993,79 |
-70,583 |
4982 |
Sierpień |
681 |
8 |
64 |
1,5 |
2,25 |
5448 |
772,055 |
-91,055 |
8291,01 |
-34,583 |
1196 |
Wrzesień |
792 |
9 |
81 |
2,5 |
6,25 |
7128 |
809,702 |
-17,702 |
313,361 |
764167 |
5839,51 |
Październik |
885 |
10 |
100 |
3,5 |
12,25 |
8850 |
847,349 |
37,651 |
1417,6 |
169,417 |
28702 |
Listopad |
885 |
11 |
121 |
4,5 |
20,25 |
9735 |
884,996 |
0,004 |
1,6E-05 |
169,417 |
28702 |
Grudzień |
941 |
12 |
144 |
5,5 |
30,25 |
11292 |
922,643 |
18,357 |
336,979 |
225,417 |
50812,7 |
Razem |
8587 |
78 |
650 |
0 |
143 |
61199 |
8587,01 |
-1,40E02 |
55669,1 |
0,0004 |
2,58E+05 |
Źródło: obliczenia własne.
1) Zaprojektować tablice robocze wspomagające ewentualne własne "ręczne" oszacowania parametrów modeli trendu dla t = 0,1,..., n - 1 oraz dla takiego t*, iż Σ t* = 0. Wskazać wspólne oraz różne elementy tablic roboczych.
2) Wskazać wspólne oraz różne wzory niezbędne do obliczeń.
Do odpowiedzi wykorzystać podane niżej wzory:
= a t + b, dla t = 1,..., n.
a = ,
b =
yt -
a
t,
=
yt,
et = yt -
, dla t = 1,..., n.
,
sa = se
,
sb = se
,
.