R7, Statystyka, Kasperowicz-Ruka


Rozdział 7

7. ANALIZA TRENDU LINIOWEGO PRZY RÓŻNYCH ZAKRESACH ZMIENNOŚCI ZMIENNEJ CZASOWEJ t

[Przy komputerowym wspomaganiu własnych obliczeń można wykorzystać dane liczbowe zgromadzone w zbiorze RRMELATA]

Dane (w mln PLN) od stycznia do grudnia 1996 roku o łącznych średnich wartościach rynkowych spółek rynku równoległego są następujące (por. "Rynek Giełdowy", 1996 nr 1-4, s. 3 lub tablice 2.2 lub 3.2, Problemy i zadania 2 i 3): 415, 524, 630, 751, 754, 684, 645, 681, 792, 885, 885, 941. Kolejnym miesiącom przyporządkowana jest zmienna czasowa t, która przyjmuje wartości:

a) od 1 do 12, czyli t = 1,2,..., n;

b) od 0 do 11, czyli t = 0,1,..., n - 1;

c) od ujemnych wartości do dodatnich i takich, iż sumują się do zera, czyli

t* = -5,5; -4,5; -3,5; -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5, gdzie Σ t* = 0.

Metodą najmniejszych kwadratów oszacowano parametry strukturalne i stochastyczne liniowego modelu trendu łącznej średniej wartości rynkowej spółek rynku równoległego z kolejnych miesięcy 1996 roku. Obliczono współczynniki determinacji.

Wyniki oszacowań podajemy w tradycyjnie przyjętej formie zapisu:

a) yt = 37,6469 t + 470,879 + et, r2= 0,7845;

[6,2394] [45,920] [74,6117]

b) yt = 37,6469 t + 508,526 + et, r2 = 0,7845;

[6,2394] [40,516] [74,6117]

c) yt = 37,6469 t* + 715,583 + et, r2 = 0,7845;

[6,2394] [21,538] [74,6117]

Liniowe funkcje trendu są tu następujące:

a) 0x01 graphic
= 37,647 t + 470,879, dla t = 1,..., n,

b) 0x01 graphic
= 37,647 t + 508,526, dla t = 0,1,..., n - 1,

c) 0x01 graphic
= 37,647 t* + 715,583, dla takiego t, iż Σ t* = 0.

Pytanie 7.1. Czy w podanych wyżej funkcjach trendu współczynnik trendu ma jednakową (i jaką?) interpretację?

Tak, współczynnik trendu ma jednakową interpretację we wszystkich trzech funkcjach trendu. Z jego wartości wynika, że w 1996 roku z miesiąca na miesiąc łączna wartość rynkowa spółek rynku równoległego wzrastała przeciętnie o 37,647 mln PLN.

Pytanie 7.2. Czy w podanych wyżej funkcjach trendu wyrazy wolne mają jednakową (i jaką) interpretację?

Nie, wyrazy wolne nie mogą mieć jednakowej interpretacji, bowiem:

a) dla t = 1,..., n mamy: 0x01 graphic
= ax0 + b = b,

b) dla t = 0,1,... n - 1 mamy: 0x01 graphic
= ax0 + b = b,

c) dla takiego t* iż 3 t* = 0 zapis: 0x01 graphic
= a t* + b jest równoważny zapisowi: 0x01 graphic
= = a t* + 0x01 graphic
, czyli: b = 0x01 graphic
.

Wyjaśnienie warunków, w jakich prawdziwa jest relacja b = 0x01 graphic
jest następujące:

W n-elementowej próbie realizacja b estymatora 0x01 graphic
parametru β metody najmniejszych kwadratów jest, jak wiadomo, dana wzorem

b = 0x01 graphic
- a 0x01 graphic
dla t = 1,..., n lub też t = 0,1,..., n - 1,

oraz wzorem

b = 0x01 graphic
- a 0x01 graphic
dla takiego t*, iż 3 t* = 0.

W wyrażeniu: b = 0x01 graphic
- a 0x01 graphic
mamy 0x01 graphic
= 0, czyli b = 0x01 graphic
.

Powstaje pytanie, jaki jest związek zmiennej czasowej t* spełniającej warunek 3 t* = 0 ze zmiennymi czasowymi t o zakresach zmienności t = 1,..., n oraz t = 0,1,..., n - 1?

Dążąc do odpowiedzi na to pytanie wstawiamy do równania trendu liniowego w miejsce realizacji b estymatora 0x01 graphic
wyrażenie 0x01 graphic
i otrzymujemy:

0x01 graphic
= = a t + 0x01 graphic
, (t = 1,..., n lub też t = 0,1,..., n - 1) czyli 0x01 graphic
= = a (t - 0x01 graphic
) + 0x01 graphic
. Wiadomo, że 0x01 graphic
(dla t = 1,..., n oraz t = 0,1,..., n - 1), co wynika z własności średniej arytmetycznej, bowiem 0x01 graphic
. Widzimy zatem, że t* = 0x01 graphic
dla t = 1,..., n i t = 0,1,..., n - 1 oraz 0x01 graphic
= = a t* + 0x01 graphic
.

Odpowiadając na zakończenie dokładnie na pytanie 7.2 interpretujemy wyraz wolny pierwszego równania trendu wynoszący 470,879 mln PLN jako teoretyczny, wynikający z czystego trendu, poziom łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w miesiącu poprzedzającym pierwszy badany miesiąc, czyli w grudniu 1995 roku.

Wyraz wolny drugiego równania trendu wynoszący 508,526 mln PLN interpretujemy jako teoretyczny, wynikający z czystego trendu, poziom łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w pierwszym badanym miesiącu, czyli w styczniu 1996 roku.

Wyraz wolny trzeciego równania trendu wynoszący 715,583 mln PLN jest średnim miesięcznym poziomem łącznej wartości rynkowej spółek rynku równoległego w 1996 roku.

ZADANIE DOMOWE

Zadanie 7.1

Podana niżej tablica 7.1 pozwala oszacować parametry modelu trendu dla t = 1,..., n "ręcznie", bez wspomagania komputerowego:

Tablica robocza 7.1

Miesiące

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Styczeń

415

1

1

-5,5

30,25

415

508,526

-93,526

8747,11

-300,58

90350,3

Luty

524

2

4

-4,5

20,25

1048

546,173

-22,173

491,642

-191,58

36704,2

Marzec

630

3

9

-3,5

12,25

1890

583,82

46,18

2132,59

-85,583

7324,5

Kwiecień

751

4

16

-2,5

6,25

3004

621,467

129,533

16778,8

35,4167

1254,34

Maj

754

5

25

-1,5

2,25

3770

659,114

94,886

9003,35

38,4167

1475,84

Czerwiec

684

6

36

-0,5

0,25

4104

696,761

-12,761

162,843

-31,583

997,505

Lipiec

645

7

49

0,5

0,25

4515

734,408

-89,408

7993,79

-70,583

4982

Sierpień

681

8

64

1,5

2,25

5448

772,055

-91,055

8291,01

-34,583

1196

Wrzesień

792

9

81

2,5

6,25

7128

809,702

-17,702

313,361

764167

5839,51

Październik

885

10

100

3,5

12,25

8850

847,349

37,651

1417,6

169,417

28702

Listopad

885

11

121

4,5

20,25

9735

884,996

0,004

1,6E-05

169,417

28702

Grudzień

941

12

144

5,5

30,25

11292

922,643

18,357

336,979

225,417

50812,7

Razem

8587

78

650

0

143

61199

8587,01

-1,40E02

55669,1

0,0004

2,58E+05

Źródło: obliczenia własne.

1) Zaprojektować tablice robocze wspomagające ewentualne własne "ręczne" oszacowania parametrów modeli trendu dla t = 0,1,..., n - 1 oraz dla takiego t*, iż Σ t* = 0. Wskazać wspólne oraz różne elementy tablic roboczych.

2) Wskazać wspólne oraz różne wzory niezbędne do obliczeń.

Do odpowiedzi wykorzystać podane niżej wzory:

0x01 graphic
= a t + b, dla t = 1,..., n.

a = ,

b = 0x01 graphic
0x01 graphic
yt - 0x01 graphic
a 0x01 graphic
t,

0x01 graphic
= 0x01 graphic
0x01 graphic
yt,

et = yt - 0x01 graphic
, dla t = 1,..., n.

0x01 graphic
,

sa = se 0x01 graphic
,

sb = se 0x01 graphic
,

0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wzory 24, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 21, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
R 2, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
R 11, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 23, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
R8, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
WSTEP, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 15, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 34, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
R4, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 33, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 32, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
R10, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 5, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 11, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 2, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 16, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
R9, Statystyka, Kasperowicz-Ruka
Wzory 9, Statystyka, Kasperowicz-Ruka

więcej podobnych podstron