R10, Statystyka, Kasperowicz-Ruka

Rozdział 10

10. ANALIZA TRENDU WYKŁADNICZEGO: INTERPRETACJA OCEN PARAMETRÓW STRUKTURALNYCHWYKŁADNICZEJ FUNKCJI TRENDU A ŚREDNIE TEMPOZMIAN W CZASIE BADANEGO ZJAWISKA

Wykładniczy model trendu w wersji stosowanej najczęściej (także w programach komputerowych) jest zapisywany następująco:

Y_t = e^α^t^+β+ε, dla t = 1,..., n.

Po transformacji logarytmicznej obu stron otrzymujemy:

ln Y_t = ln {e^α^t^+β+ε},

ln Y_t = β + α t + ε_t,

ln Y_t = α t + β + ε_t.

Przy oznaczeniu Y_t^* = ln Y_t transformowany logarytmicznie, z użyciem logarytmów naturalnych, potęgowy model trendu zapisujemy jako liniowy model trendu postaci:

Y_t^* = α t + β + ε_t, t = 1,..., n.

Założenia właściwe dla klasycznego modelu trendu dotyczą jego logarytmicznej transformacji:

E(ε_t) = 0, , E(ε_s ε_t) = 0, dla s … t, t, s = 1,..., n.

Model wykładniczy transformowany logarytmicznie do postaci modelu liniowego względem zmiennych i parametrów szacujemy, przy klasycznych założeniach, metodą najmniejszych kwadratów. Własności metody, słuszne dla modeli liniowych, nie zachowują mocy dla pierwotnej, wyjściowej postaci modelu, a zachowują moc dla transformowanej logarytmicznie postaci modelu.

Wykładnicza funkcja trendu, oszacowana metodą najmniejszych kwadratów, jest następująca: , t = 2,..., n.

Dla okresu poprzedzającego, czyli dla t - 1, wykładniczą funkcję trendu zapisujemy: , t = 1,..., n.

Indeks łańcuchowy jest tu ilorazem teoretycznego poziomu zjawiska w okresie badanym (t), czyli , do teoretycznego poziomu zjawiska w okresie poprzedzającym okres badany (t - 1), czyli :

Średnia geometryczna, pierwiastek stopnia n - 1 z iloczynu n - 1 indeksów łańcuchowych (t = 2, 3,..., n) będzie w tym wypadku, bez względu na liczbę okresów obserwacji n, stała, równa :

Najwygodniejszą formą zapisu wyników oszacowań wykładniczego modelu z punktu widzenia interpretacji parametrów jest:

, t = 1,..., n,

czyli

, t = 1,..., n.

Teoretyczny poziom zjawiska w pierwszym badanym okresie (t = 1) wynosi:

W każdym następnym okresie teoretyczny poziom zjawiska wynosi razy poziom zjawiska z okresu poprzedniego, czyli

W całym badanym okresie poziom teoretyczny zjawiska (opisany wykładniczą funkcją trendu) zmienia się z okresu na okres o (.100% - 100%), czyli o ( - 1) x 100%.

Zadanie 10.1

Spółka założona w 1991 roku rozwijała się dobrze w następnych latach, czego dowodem jest, między innymi, suma zysku netto, która w kolejnych latach okresu lat 1991-1997 wynosiła odpowiednio 1, 1, 2, 3, 5, 5 i 8 mln PLN.

1) Metodą najmniejszych kwadratów proszę oszacować parametry strukturalne nieliniowej, wykładniczej funkcji trendu, sprowadzając ją przedtem za pomocą odpowiedniej transformacji logarytmicznej do liniowej funkcji trendu.

2) Proszę wyznaczyć średnią geometryczną z indeksów łańcuchowych obliczonych dla wartości teoretycznych badanej zmiennej.

3) Proszę wyznaczyć średnią geometryczną z indeksów łańcuchowych obliczonych dla wartości empirycznych badanej zmiennej.

4) Proszę porównać wyniki obliczeń obu średnich geometrycznych.

Do obliczeń można wykorzystać informacje liczbowe podane w tablicy 10.1.

Tablica 10.1. Wykładnicza funkcja trendu

1	2	3	4	5	6
Lata	t	y_t	lny_t	tlny_t	t²
Lata	t	y_t				t²
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997	1 2 3 4 5 6 7	1 1 2 3 5 5 8	0 0 0,6931 1,0986 1,6094 1,6094 2,0795	0 0 2,0793 4,3944 8,0470 9,6564 14,5565	1 4 9 16 25 36 49
Suma	28	25	7,0900	38,7336	140

Źródło: obliczenia własne.

Ad 1) Wyniki oszacowań a i b parametrów strukturalnych α i β wykładniczego modelu trendu otrzymane z użyciem estymatorów i metody najmniejszych kwadratów są następujące:

lny_t - a t,

b = 7,090 - 0,37048 x 28 = - 0,469056,

czyli

y_t = a t + b, t = 1,..., n.

y_t = 0,370482 t - 0,469056, t = 1,..., n.

a zatem

= e^0,370482^t^{- 0,469056}, t = 1,..., n.

Oszacowaną funkcję trendu wykładniczego można zapisać w postaci:

= e^b[e^a<=>^t, t = 1,..., n.

co liczbowo wyrażamy następująco:

= e^-0,469056 [e^0,370482<=>^t = 0,62559 [e^0,370482<=>^t = 0,62559 [1,4484]^t, t = 1,..., n.

Dla pierwszego badanego okresu, czyli dla t = 1 mamy:

= e^-0,469056 [e^0,370482<=>¹ = 0,62559 x 1,4484 = 0,9061082.

Ogólnie możemy zapisać:

= [e^0,370482] = 1,4484.

W latach 1991-1997 z roku na rok suma zysku netto opisana wykładniczą funkcją trendu rosła o 44,84%.

W pierwszym badanym roku teoretyczny, opisany trendem wykładniczym, poziom zysku netto wynosił 0,62559 x 1,4484 mln PLN, czyli 0,9061082 mln PLN. W każdym następnym roku w porównaniu z rokiem poprzednim teoretyczny zysk wzrastał 1,4484 raza, czyli z roku na rok rósł o 44,84%.

Ad 2)

a po wykonaniu obliczeń mamy

1,4484; 1,4484; 1,4484; 1,4484; 1,4484; 1,4484.

Średnia geometryczna jest pierwiastkiem stopnia szóstego z iloczynu sześciu obliczonych wyżej indeksów łańcuchowych i wynosi 1,4484, co można stwierdzić bez żadnych obliczeń.

Teoretyczna suma zysku netto badanej spółki, opisana wykładniczą funkcją trendu, rosła w latach 1991-1997 z roku na rok dokładnie o 44,84%.

Ad 3) 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 5/5, 8/5, czyli

1; 2; 1,5; 1,67; 1; 1,6;

Średnia geometryczna jest pierwiastkiem stopnia szóstego z iloczynu sześciu wymienionych wyżej indeksów łańcuchowych i wynosi 1,4142, jak obliczono za pomocą odpowiedniego kalkulatora umożliwiającego obliczanie pierwiastków dowolnego stopnia.

Suma zysku netto osiągniętego przez badaną spółkę rosła w latach 1991-1997 z roku na rok średnio o 41,42

Ad 4) Obie średnie geometryczne przyjęły zbliżone wartości.

Wniosek praktyczny wynikający z przeprowadzonych rozważań jest następujący: jeżeli indeksy łańcuchowe obliczone dla kolejnych okresów są stałe lub względnie stałe, to znaczy, że w szeregu czasowym obserwacji dotyczącym badanego zjawiska występuje trend wykładniczy. Możemy się o tym dowiedzieć na podstawie prostych obliczeń, bez przeprowadzania pracochłonnej procedury związanej z estymacją parametrów wykładniczej funkcji trendu.

Z tego wniosku jako naturalne wynika następne pytanie: w jaki prosty sposób możemy się przekonać o występowaniu w zjawisku trendu liniowego? Otóż wystarczy policzyć absolutne przyrosty (z okresu na okres) poziomu wartości badanego zjawiska. Jeżeli przyrosty te są stałe lub względnie stałe, to znaczy, że w badanym zjawisku można zaobserwować trend liniowy. Uzasadnienie takiego poglądu jest następujące:

gdzie:

, t = 1,..., n.

Jak pamiętamy, jest estymatorem metody najmniejszych kwadratów współczynnika trendu liniowego . Realizacja estymatora w n-elementowej próbie na poziomie a jest interpretowana jako stały (absolutny) przyrost poziomu zjawiska w okresie badanym z okresu na okres.

Zadanie 10.2

W "Polityce" nr 2/1999 z 9 stycznia 1999 roku (s. 4 n XVI Koszyk Polityki) mamy następujące informacje o średnim miesięcznym wynagrodzeniu netto w sektorze przedsiębiorstw (w PLN) oraz o cenie (w PLN) fiata 126p w latach 1989-1998:

Tablica 10.2 (w PLN)

Wyszczególnienie	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998
Średnie miesięczne wynagrodzenie	62,2	145	210	310	410	610	450	919	1166	1287
Cena fiata 126p	1200	2600	3290	4510	6170	8000	9750	11410	12900	10800

Źródło: zestawienie własne na podstawie tygodnika "Polityka" 1999 nr 2 z 9 stycznia 1999 roku, s. 4.

W tablicy 10.3 podano dla lat 1989-1998 przyrosty absolutne przeciętnych miesięcznych wynagrodzeń oraz ceny fiata 126p w kolejnych latach w porównaniu z latami poprzednimi.

Tablica 10.3 (w PLN)

Wyszczególnienie	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998
Wyszczególnienie		roczne łańcuchowe przyrosty absolutne
Średnie miesięczne wynagrodzenie	.	82,9	65	100	100	200	140	169	247	121
Cena fiata 126p	.	1400	690	1220	1660	1830	1750	1660	1490	-2100

Źródło: obliczenia własne własne na podstawie danych liczbowych tygodnika "Polityka" 1999 nr 2 z 9 stycznia 1999 roku, s. 4.

W tablicy 10.4 podano indeksy łańcuchowe badanych zmiennych w latach 1989-1998, czyli roczne łańcuchowe przyrosty względne:

Tablica 10.4

Wyszczególnienie	1989	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998
Wyszczególnienie		roczne łańcuchowe przyrosty względne
Średnie miesięczne wynagrodzenie	.	2,33	1,45	1,47	1,32	1,49	1,23	1,23	1,27	1,11
Cena fiata 126p	.	2,17	1,26	1,37	1,37	1,29	1,22	1,17	1,13	0,67

Źródło: obliczenia własne na podstawie danych liczbowych tygodnika "Polityka" 1999 nr 2 z 9 stycznia 1999 roku, s. 4.

Pytanie 10.2.1. Które roczne łańcuchowe przyrosty absolutne są relatywnie bardziej stałe: średniego miesięcznego wynagrodzenia netto w sektorze przedsiębiorstw czy też ceny fiata 126p?

Pytanie 10.2.2. Które roczne łańcuchowe przyrosty względne są relatywnie bardziej stałe: średniego miesięcznego wynagrodzenia netto w sektorze przedsiębiorstw czy też ceny fiata 126p?

Odpowiedzi na oba pytania udzielamy na podstawie analizy wyników obliczeń podanych w tablicach 10.3 i 10.4. Odpowiedzi sprawdzamy, obliczając (za pomocą komputera) i porównując współczynniki determinacji liniowych i wykładniczych funkcji trendu. Pozostałych wyników oszacowań nie przytaczamy jako zbędnych z punktu widzenia głównego celu rozważań.

Odpowiedź na pytanie 10.2.1

Przyrosty absolutne ceny fiata 126p są kwotami różniącymi się od siebie niewiele, w granicach kilkunastu procent, można je zatem ocenić jako relatywnie stałe. Zmiany cen fiata 126p miały zatem w latach 1989-1998 charakter zmian liniowych. Potwierdza ten wniosek bardzo wysoka wartość współczynnika determinacji r² = 0,943, obliczonego dla liniowej funkcji trendu.

Przyrosty absolutne przeciętnego wynagrodzenia są kwotami różniącymi się od siebie nawet kilkakrotnie, w żaden sposób nie można ich uznać za stałe lub nawet za względnie stałe. Zmiany przeciętnego wynagrodzenia w latach 1989-1998 nie miały charakteru zmian liniowych. Wniosek ten potwierdza bardzo niska wartość współczynnika determinacji r² = 0,184, obliczonego dla liniowej funkcji trendu.

Odpowiedź na pytanie 10.2.2

Przyrosty względne ceny fiata 126p w kolejnych latach wyraźnie maleją, co jest następnym dowodem na liniowy charakter zmian tego zjawiska w kolejnych latach. Przyrosty względne przeciętnego miesięcznego wynagrodzenia są natomiast relatywnie stałe w całym badanym okresie, szczególnie wyraźnie jest to widoczne w latach 1995-1997. Stałość przyrostów względnych łańcuchowych wskazuje na wykładniczy charakter zmian tego zjawiska w latach 1989-1998. Wniosek ten potwierdza wysoka wartość współczynnika determinacji r² obliczonego dla wykładniczej funkcji trendu przeciętnego miesięcznego wynagrodzenia, która wyniosła 0,718.

ZADANIE DOMOWE

Zadanie 10.3

Proszę sprawdzić, czy dla potęgowej funkcji trendu średnia geometryczna z indeksów łańcuchowych wyraża się wzorem:

Proszę ocenić praktyczną użyteczność tego wyniku.