Tadeusz Malinowski

Ewa Malinowska

grupa 106

Praca z Matematyki:

Badanie przebiegu funkcji

Teoria

Badanie przebiegu funkcji składa się z kliku elementów:

1. Określenie dziedziny funkcji badanej;

2. Znalezienie granic funkcji w nieskończoności oraz asymptot ukośnej, pionowych i poziomych;

3. Znalezienie miejsc zerowych (pierwiastków);

4. Policzenie pierwszej pochodnej - znalezienie maksimów i minimów funkcji

5. Sprawdzenie dziedziny dla pochodnej

6. Policzenie drugiej pochodnej - znalezienie punktów przegięcia, czyli miejsc gdzie funkcja zmienia monotoniczność;

7. Sporządzenie tabeli

8. Sporządzenie wykresu

Do określenia dziedziny funkcji potrzebujemy podstawowych wiadomości o funkcjach elementarnych. Są to takie informacje jak:

• Mianownik nie może być równy 0

• Liczba pierwiastkowana musi być większa od 0

• Liczba logarytmowana musi być większa od zera, a dla jedności logarytm jest równy zero i nie może być w mianowniku

Dziedzina określa nam argumenty funkcji dla których funkcja nie istnieje czyli punkty które nie znajdą się na wykresie

np.

Później badamy granice funkcji. Podstawą jest badanie zachowania funkcji w +/- nieskończoności, a później w punktach nieznanych. Jeśli wiemy że funkcja nie istnieje w jakimś punkcie to powinniśmy sprawdzić jak zachowuje się otoczenie tego punktu, sprawdzamy to od strony liczb ujemnych i dodatnich. Często takie punkty okazują się asymptotami funkcji.

Następnie musimy sprawdzić czy funkcja nie ma asymptot, które bardzo potrafią ułatwić narysowanie funkcji.

Asymptota pionowa może być tylko w punktach, które określiliśmy w dziedzinie jako te, dla których funkcja nie istnieje. I jeśli dla takiego punktu przy badaniu granicy otrzymujemy, że wraz z x dążącym do tego punktu y dąży do +/- nieskończoności, to jest to asymptota pionowa.

Np.:

Podejrzewamy punkt a, wtedy

Mamy asymptotę x=a lewostronna.

Mamy asymptotę x=a prawostronna.

Jeśli spełnione są oba te warunki mamy asymptotę obustronną.

Asymptota pozioma występuje, jeśli przy sprawdzaniu granicy w nieskończoności otrzymujemy stałą.

Mówimy o asymptocie prawostronnej poziomej y=c.

Mówimy o asymptocie lewostronnej poziomej y=c

Podobnie jak wcześniej, występowanie obydwu warunków wskazuje na asymptotę obustronną w tym punkcie.

Asymptota ukośna wyrażona wzorem y=ax+b istnieje, jeśli spełnione jest równanie:

Warunkiem takiej sytuacji jest dziedzina funkcji zawierająca się w przedziale:

- asymptota prawostronna

- asymptota lewostronna

Jeżeli spełnione są obydwa warunki mamy asymptotę skośną obustronną

Pochodną funkcji w punkcie x nazywamy granicę ilorazu różnicowego tej funkcji, gdy przyrost argumentu h dąży do zera.

Licząc pochodną nie stosujemy samej definicji, tylko uproszczenia w postaci gotowych definicji na pewne funkcje elementarne i zbieżnych do nich twierdzeń. O ile nie będziemy przytaczali konkretnych funkcji elementarnych już z obliczoną pochodną, o tyle warto przytoczyć konkretne twierdzenia pozwalające z tych uproszczeń korzystać:

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

• 
  

Obliczenie pierwszej pochodnej funkcji badanej pozwala na następujące stwierdzenia:

• Jeśli w pewnym otwartym przedziale pochodna funkcji jest dodatnia, to w tym punkcie funkcja jest rosnąca

• Jeśli jest ujemna, to badana funkcja jest malejąca

• Jeśli jest równa zero, to w tym punkcie jest stała, i może to być minimum lub maksimum funkcji;

Czyli ekstremum funkcji to argument, dla którego pochodna przyjmuje wartość zero, a otoczenie lewostronne ma pochodną większą od 0, a prawostronne - mniejszą. W tym przypadku mówimy o maksimum funkcji.

Jeśli mamy sytuację odwrotną czyli, mamy argument, którego pochodna jest 0, a jego lewostronne otoczenie ma pochodną ujemną, a prawostronne dodatnią mówimy o minimum.

Jeśli policzymy drugą pochodną, czyli daną funkcję po zróżniczkowaniu ponownie zróżniczkujemy, to otrzymamy funkcję :

która określa nam następujące zależności:

• jeśli f jest funkcją klasy C² (czyli jest funkcją która w ogóle może być dwukrotnie różniczkowana) w przedziale (a; b) i jeżeli f''(x)>0 dla
  , to funkcja f jest wklęsła w tym przedziale;

• jeśli f jest funkcją klasy C² (czyli jest funkcją która w ogóle może być dwukrotnie różniczkowana) w przedziale (a; b) i jeżeli f''(x)<0 dla
  , to funkcja f jest wypukła w tym przedziale;

• punkt przegięcia jest jeśli f''(x)=0, i w prawostronnym sąsiedztwie f'' jest dodatnia, a w lewostronnym ujemna, lub odwrotnie;

Przykład

Dziedzina:

Granica:

Miejsca Zerowe

Asymptoty Asymptoty ukośnej i pionowej brak

Mamy asymptotę obustronną poziomą, ale poza punktem (0,0)

1-sza pochodna

Szukamy ekstremów poprzez znalezienie miejsc zerowych,

Czyli:

2-ga pochodna

Porównujemy y'' do 0

Ostatecznie otrzymujemy:

Tabelka

Wykres funkcji

---