teoria mnogości, różne, różności


I.Aksjomatyka Zermelo- Fraenkela

A.1. (ekstramalności - istnienia) [kiedy zbiory są takie same] 0x01 graphic
[(x0x01 graphic
X0x01 graphic
x0x01 graphic
Y) 0x01 graphic
X=Y]Zbiory są równe, gdy są takie same.

A.2. (zbioru pustego) Istnieje zbiór, który nie ma żadnych elementów.0x01 graphic
0x01 graphic
(x0x01 graphic
X) Na mocy A.1. istnieje tylko jeden taki zbiór (Ø)

A.3. (aksj. pary) Dla dowolnych zbiorów X,Y istnieje zbiór, którego są one elementami.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(x0x01 graphic
Z0x01 graphic
x=X0x01 graphic
x=Y) czyli istnieje zbiór dwuelementowy. Jeśli zbiory takie same to zapisujemy Z={X,X}={X} singlenton.

A.4. (sumy) Dla dowolnego zbioru X istnieje zb.S złozony z tych i tylko tych elementów, które są elementami któregoś ze zbiorów należących do X. 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(y0x01 graphic
S0x01 graphic
0x01 graphic
(z0x01 graphic
X0x01 graphic
y0x01 graphic
Z)), gdzie S-suma zbiorów należących do X co zapisujemy 0x01 graphic
.

Def.1.(doA.5.) A0x01 graphic
B0x01 graphic
0x01 graphic
( x0x01 graphic
A0x01 graphic
x0x01 graphic
B), A jest podzbiorem B.

A.5. (zbioru potęgowego) Dla dowolnego zbioru X istnieje zbiór Y złożony z tych i tylko tych elementów, które są podzbiorami zbioru X. 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(z0x01 graphic
Y0x01 graphic
Z0x01 graphic
X); zb. Y jest zbiorem potęgowym zbioru X i ozn. P(X) lub 0x01 graphic
; 0x01 graphic
(X)=P(X)\ {Ø}.

A.6. (wyróżniania) Dla kazdej formuły teorio-mnogościowej 0x01 graphic
i dla każdego zbioru X istnieje zb.Y złozony z tych i tylko tych elementów zb-u X, które spełniają 0x01 graphic
.

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
( X0x01 graphic
Y0x01 graphic
(x0x01 graphic
X0x01 graphic
0x01 graphic
); {x0x01 graphic
X0x01 graphic
0x01 graphic
}-zb.spełniający A.6.

A.7.(a.nieskończoności)Istnieje zb.A tż.: 1) Ø0x01 graphic
A; 2) 0x01 graphic
(x0x01 graphic
A0x01 graphic
X0x01 graphic
{x}0x01 graphic
A) [zb.własności 1)i2) nazywamy nazywamy zbiorem induktywnym.0x01 graphic
0x01 graphic
A0x01 graphic
0x01 graphic
(x0x01 graphic
A0x01 graphic
X0x01 graphic
{x}0x01 graphic
A); 0x01 graphic
nazywamy następnikiem zb-u X.<Niech F(X)= 0x01 graphic
, x0x01 graphic
A, F: A0x01 graphic
A; F(X)=F(Y); 0x01 graphic
=0x01 graphic
0x01 graphic
X=Y, Ø0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

A.8.(a.zastępowania)Dla każdego zbioru X i dla każdej formuły t-mej jednoznacznej Ø istnieje zbiór będący obrazem zbioru X wyznaczonym przez formułę Ø(x,y); 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
[Ø(x,y)0x01 graphic
Ø(x,z)0x01 graphic
y=z] 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
[y0x01 graphic
Y0x01 graphic
0x01 graphic
Ø(x,y)].

A.9.(a.regularności) 0x01 graphic
X0x01 graphic
Ø 0x01 graphic
X0x01 graphic
Y= Ø w każdym zbiorze niepustym istnieje element c-minimalny 0x01 graphic
z0x01 graphic
Y; wniosek: 1) nie istnieje x:x0x01 graphic
X, 2) dla każdego n0x01 graphic
N nie istnieje ciąg 0x01 graphic
0x01 graphic
, 3) nie istnieje nieskończony ciąg 0x01 graphic
: 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

A.10.(a.wyboru)Dla każdej rodziny zbioru A niepustej i rozłącznej parami ze sobą istnieje zbiór B który ma dokładnie po jednym elemencie z każdego z tych zbiorów; 0x01 graphic
{x0x01 graphic
Ø0x01 graphic
(X0x01 graphic
Y=>X0x01 graphic
Y= Ø)=>0x01 graphic
y 0x01 graphic
B0x01 graphic
X=>y=x}. Aksjomat ten jest równoważny z tw.Curatowskiego-Zorna i ze stwierdzeniem Zermelo (każdy zb.da się uporządkować). Równoważny jest również nastepującemu tw., które również podawane jest zamiast niego: dla każdej rodziny zbiorów niepustych istnieje fcja wyboru, która każdemu zbiorowi przyporządkowuje jego element. (X,0x01 graphic
)uporządkowany=>0x01 graphic
x,y0x01 graphic
X (x0x01 graphic
y0x01 graphic
y0x01 graphic
x=>x=y), 0x01 graphic
x0x01 graphic
X(x0x01 graphic
x),0x01 graphic
x,y,z0x01 graphic
X(x0x01 graphic
y0x01 graphic
y0x01 graphic
z=>x0x01 graphic
z); 0x01 graphic
x,y0x01 graphic
X (x0x01 graphic
y0x01 graphic
y0x01 graphic
x-liniowy porządek; (X,0x01 graphic
) 0x01 graphic
(X,0x01 graphic
) są izomorficznie podobne0x01 graphic
f:X0x01 graphic
Y ; x0x01 graphic
y=>f(x) 0x01 graphic
f(y).

Def.2. (para uporządkowana) (x,y)={{x},{x,y}}; x-poprzednik, y-nastepnik. Pary są równe, gdy następnik i poprzednik są takie same. (x,y)=(z,w)x=z0x01 graphic
y=w

Def.3. (n-tki uporządkowane) Dla dowolnych elem-ów 0x01 graphic
{n0x01 graphic
2}; (0x01 graphic
)=((0x01 graphic
),0x01 graphic
) gdzie 0x01 graphic
-ita współrzędna.

Def.4. (iloczyn kartezj.) Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B jest zbiór wszystkich par (x,y) uporządkowanych dla których x0x01 graphic
A i y 0x01 graphic
B. (x,y)={{x},{x,y}}; A0x01 graphic
B={(x,y):x0x01 graphic
A0x01 graphic
y0x01 graphic
B}.

Def.5. Iloczynem kartezjańskim n-zbiorów 0x01 graphic
nazywamy zbiór złożony z tych i tylko tych n-tek uporządkowanych (0x01 graphic
), że 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. 0x01 graphic
={(0x01 graphic
):0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
dla i=1,…,n}.

Podzbiory il.kartezjańskich nazywamy relacjami. Relację nazywamy n-elementową jeżeli jest podzbiorem iloczynu kartezjańskiego n-zbiorów.

n=1 to unarna czyli jednoargum., n=2 to binarna czyli dwuargum., ozn. (x,y) 0x01 graphic
R, xRy.

Def.6. (dziedzina i przeciwdziedzina rel.2argum.) Jeżeli R jest relacją 2argum.,wtedy dziedziną R jest zb.: Dom(R)={x: 0x01 graphic
(x,y) 0x01 graphic
R}; Przeciwdziedziną nazywamy zb.:Ran(R)=0x01 graphic
={y: 0x01 graphic
(x,y) 0x01 graphic
R}. Ran i Dom są zbiorami bo zawarte są w 0x01 graphic
.

Def.7.(funkcja) 2argum.relację nazywamy funkcją jeżeli 0x01 graphic
{xRz0x01 graphic
xRy0x01 graphic
z=y}-jednoznaczność. Funkcje ozn.f,g,h… dziedzina to zb. argumentów, przeciwdziedzina to zb. wartości.

Def.8.(odwzorowanie”w”)Niech f-funkcja. Jeżeli Dom(f)=X a Ran(f) 0x01 graphic
Y to f nazywamy przekształceniem zbioru X w Y. Zb.wszystkich takich odwzorowań oznaczamy przez: 0x01 graphic
, jest on zbiorem potęgowym 0x01 graphic
więc tez jest zbiorem.

Def.9.(odwz.”na”)Jeżeli Ran(f)=Y to mówimy, że f jest odwz. XnaY. f(x)=f(y)0x01 graphic
x=y, x,y0x01 graphic
X, f(x)-jedyny element taki, że xff(x), f:X0x01 graphic
Y.

Def.10.(ocięcie)Obcieciem fcji f do zbioru Z0x01 graphic
X jest fcja g tż: 0x01 graphic
f(x)=g(x) i Dom(g)=Z, g=f 0x01 graphic
z=(x,y) 0x01 graphic
f : x0x01 graphic
Z}, zapisujemy g0x01 graphic
f.

Def.11.(złożenie fcji) Jeżeli f i g są fcjami tż Ran(g) 0x01 graphic
Dom(f) wtedy złożeniem fcji f i g jest fcja z dziedziną Dom(f0x01 graphic
g) tż (f0x01 graphic
g)(x)=f(g(x)), x0x01 graphic
Dom(g); f0x01 graphic
g={(x,y) : 0x01 graphic
y=f(z)}

Def.12.(obraz zb.A dla f)Niech f:X0x01 graphic
Y, A0x01 graphic
X, obrazem zbioru A względem fcji f (dla f) nazywamy zb. wartości f dla argumentów 0x01 graphic
A, ozn. f(A), 0x01 graphic
={f(x) : x0x01 graphic
A}={y : 0x01 graphic
y=f(x)}.

Def.13.(przeciwobraz zb.B dla f) B0x01 graphic
Y to przeciwobr.zbioru B wzgl. f nazywamy zb.argumentów dla których wartości 0x01 graphic
do B. 0x01 graphic
={x0x01 graphic
X: f(x) 0x01 graphic
B}.

Def.14.Jeżeli f jest wzajemnie jednoznaczna wtedy 0x01 graphic
0x01 graphic
f(y)=x; f0x01 graphic
0x01 graphic
={(x,y) 0x01 graphic
Y0x01 graphic
X(y,x) 0x01 graphic
f}.

Def.15. X0x01 graphic
0x01 graphic
Y={x0x01 graphic
X: x0x01 graphic
Y}; X\Y={x0x01 graphic
X: x 0x01 graphic
Y}; 0x01 graphic
={t0x01 graphic
0x01 graphic
: 0x01 graphic
(t0x01 graphic
Y)}

Def.16.Zbiorem skończonym nazywamy taki zb.ktory ma n elementów, gdzie n jest pewną liczbą N i zb.A jest skopńczony jeżeli dla pewnej liczby naturalnej n element zbioru A można ponumerować liczbami od 0 do n. A={0x01 graphic
}, 0x01 graphic
.

Def.17.Zbior nazywamy nieskończonym jeżeli nie jest skończony w sposób równoważny. Można zdefiniować jako zbiór równoliczny ze pewnym swoim podzbiorem.

Def.18.Zbiory X,Y nazywamy rownolicznymi (X~Y)jeśli istnieje fcja f wzajemnie jednoznaczna odwzorowująca XnaY. O takich zbiorach mówimy, że mają równe moce 0x01 graphic
lub |X|=|Y|. Uwaga1. |X|0x01 graphic
|Y| wtedy X~Z, Z0x01 graphic
Y dla pewnego z; X|<|Y| wtedy X|0x01 graphic
|Y| dla X0x01 graphic
Y.

Def.19.Niech Ø(x,y) będzie funkcją t-m. Niech X będzie zbiorem Y={y: 0x01 graphic
(x0x01 graphic
A0x01 graphic
Ø(x,y))}nazywamy obrazem zbioru X wyznaczonym przez fcję Ø(x,y). Zb,X formuła Ø gwarantują istnienie zb. Ø(x,y).

Formułę t-mę nazywamy jednoznaczną wtw: 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
[Ø(x,y)0x01 graphic
Ø(x,z)0x01 graphic
y=z].

Def.20.Zbiór uporządkowany (X, 0x01 graphic
) nazywamy dobrze uporządkowanym jeśli każdy jego element niepusty ma element najmniejszy. Wnioski: Zbiór dobrze uporządkowany jest uporządkowany liniowo. Uwaga: Podobieństwo zachowuje: 1)dobre uporządkowanie, 2)elementy wyróżnione, 3)odcinek końcowy przechodzi na odcinek początkowy. [Y-nazywamy odcinkiem początkowym zbioru (X, 0x01 graphic
) wtw,gdy Y0x01 graphic
X 0x01 graphic
(y0x01 graphic
x=>y0x01 graphic
Y). Uwaga: Dla dowolnego zbioru liniowo-uporządkowanego zbiór pusty i zb.X są odcinkami początkowymi X. Jeśli X jest dobrze uporz.to każdy odcinek początkowy właściwy(różny od X) jest postaci Y=O(x)={y0x01 graphic
X: y<x}; y<xy0x01 graphic
x0x01 graphic
x0x01 graphic
y [taki odcinek nazywamy odcinkiem początkowym wyznaczonym przez X].

Def.21.Mówimy, że w zbiorze l-u prawdziwa jest zasada indukcji pozaskończonej jeśli istnieje element najmniejszy 0x01 graphic
oraz dowolny podzbiór A0x01 graphic
X spełniający warunki 0x01 graphic
0x01 graphic
A, 0x01 graphic
a0x01 graphic
A z tego,że wszystkie elementy x0x01 graphic
X tż x<a należą do A wynika, że a0x01 graphic
A jest równy całemu zb.X. Twierdzenie mówi, że dla każdego zb.dobrze uporządkowanego X prawdziwa jest zasada indukcji.

Def.22.Jeżeli A-dobrze uporz., B0x01 graphic
A i zb.B spełnia dla każdego x0x01 graphic
A warunek (3) (O(x) 0x01 graphic
B=>x0x01 graphic
B) to B=A. Mówimy, że f:A0x01 graphic
A, gdzie (A, 0x01 graphic
)jest dobrze uporz., jest rosnąca to x0x01 graphic
f(x) [wartość nie jest wcześniejsza niż argument].

Tw.1.Jeżeli zbiory A,B-dobrze uporz.to są albo podobne albo też jeden z nich jest podobny do odcinka początkowego drugiego. Wniosek: Dwa dobre porządki są ze sobą porównywalne.

Żaden zb.dobrze uporz.nie jest izomorficzny ze swoim właściwym odcinkiem początkowym.

Żadne 2 odcinki początkowe nie są ze sobą izomorficzne.

Tw.2.Jeżeli <A,e> i <B,s> są izomorficznymi dobrymi porządkami to izomorfizm między nimi jest jednoznaczny. Jedynym automorfizmem zbiorów dobrze uporz.jest identyczność.

Tw.3.Dla dowolnych pozłącznych dobrych porządków (A, 0x01 graphic
0x01 graphic
), (B, 0x01 graphic
0x01 graphic
) (A0x01 graphic
B= Ø) nastepujące zbiory są dobrymi porządkami: 1) (A, 0x01 graphic
0x01 graphic
)0x01 graphic
(B, 0x01 graphic
0x01 graphic
)=(A0x01 graphic
B0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
) Na zbiorach A i B porządki są takie jak w zbiorach wyjściowych a każdy element zbioru A jest wcześniejszy jak każdy element zbioru B. 2) (A, 0x01 graphic
0x01 graphic
)0x01 graphic
(B, 0x01 graphic
0x01 graphic
)=(A 0x01 graphic
B, 0x01 graphic
0x01 graphic
), 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
) [porządek antyleksykonograficzny).

Liczby porządkowe

Def.23.Zb.X nazywamy tranzytowym lub przechodnim jeśli prawdziwe jest zdanie: 1) 0x01 graphic
[x0x01 graphic
X(0x01 graphic
(y0x01 graphic
x0x01 graphic
X=>y0x01 graphic
X)) ,Każdy element tego zbioru jest jego podzbiorem tran (X)-X jest tranzytywny. UWAGA: 1) Ø jest tranzytywny 0x01 graphic
Ø (x 0x01 graphic
Ø); 2) X jest tranzytywny to s(x)=X0x01 graphic
{x} jest tranzytywny.

Tw.5.0x01 graphic
(Ord(0x01 graphic
)0x01 graphic
x,y0x01 graphic
(x0x01 graphic
yx0x01 graphic
y0x01 graphic
x=y)). Wniosek:Relacje 0x01 graphic
i 0x01 graphic
pokrywają się na liczbach porządkowych. Tak jak < i 0x01 graphic
.

Tw.6.Jeżeli x będzie odcinkiem początkowym liczby porządkowej 0x01 graphic
wtedy x=0x01 graphic
lub x=0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
jest najmniejszym elementem zbioru 0x01 graphic
-x.

Tw.7.Dowolne 2 liczby porządkowe są porównywalne. Tzn.że dla dowolnego 0x01 graphic
i 0x01 graphic
-porządkowych to 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
=0x01 graphic
): 0x01 graphic
(Ord(0x01 graphic
)0x01 graphic
Ord(0x01 graphic
)=>0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
=0x01 graphic
). Wniosek:1)Jeżeli 0x01 graphic
jest liczba porządkową to 0x01 graphic
={0x01 graphic
:0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
}={0x01 graphic
:0x01 graphic
<0x01 graphic
; 2)Dowolny zbiór przechodni, którego elementami są liczby porządkowe jest liczbą porządkową; 3) 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
dla dowolnych liczb porządkowych 0x01 graphic
,0x01 graphic
; 4) 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
jest odcinkiem początkowym w 0x01 graphic
[0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
to 0x01 graphic
=0x01 graphic
, gdzie O-alfa(0x01 graphic
)={0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
:0x01 graphic
<0x01 graphic
}=0x01 graphic
.

Tw.8.Jeżeli 0x01 graphic
jest liczbą porządkową to S(0x01 graphic
) jest najmniejszą liczbą porządkową większą od niej.

Def.25.Nastepnikiem l.porządkowej 0x01 graphic
nazywamy liczbę S(0x01 graphic
). Oznaczamy ją również przez 0x01 graphic
+1. Liczbę porządkową 0x01 graphic
nazywamy następnikiem porządkowym lub następnikiem jeżeli jest nastepnikiem pewnej liczby 0x01 graphic
. Wniosek:Następnikami są wszystkie liczby N\{0}. Liczba omega 0x01 graphic
nie jest nastepnikiem żadnej liczby bo: n<0x01 graphic
0x01 graphic
n+1<0x01 graphic
[0x01 graphic
składa się z Ø, nastepnik zbioru Ø, następnik nastepnika Ø] n<0x01 graphic
< 0x01 graphic
, 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
. Niech Ø, S(Ø) S(S(Ø)) -ciąg następników zbioru pustego. Jest to przykład liczby granicznej.

Def.26.Liczbę 0x01 graphic
nazywamy l.graniczną jeżeli nie jest liczbą 0 i nie jest następnikiem żadnej liczby porządkowej.

Tw.9.Jeżeli 2 liczby są ze sobą izomorficzne to są równe. 1)Jeżeli x,y są l.porządkowymi i x0x01 graphic
y(izomorf.)to x=y. 2)Jeżeli x,y,z są l.porzadkowymi i x0x01 graphic
y0x01 graphic
y0x01 graphic
z0x01 graphic
x 0x01 graphic
z. 3)Jeżeli C jest niepustym zbiorem liczb porządkowych to: 0x01 graphic
( x0x01 graphic
y0x01 graphic
x=y), a nawias to to samo co x0x01 graphic
y, istnieje elem.najmniejszy. Tw.to sugeruje, że zb.wszystkich liczb porządkowych gdyby istniał to byłby liczbą porządkową.

Tw.10.(Anynomia Burali-Forti) Nie istnieje zbiór wszystkich liczb porządkowych tzn.: 0x01 graphic
(Ord(x)x0x01 graphic
z).

Tw.11.Jesli X jest zbiorem liczb porządkowych to: 1) 0x01 graphic
=sup(X)=0x01 graphic
jest najmniejszą liczbą porządkową, która jest wieksza lub równa od każdego elementu tego zbiory. Ponadto S(0x01 graphic
) jest większa od kazdego elem. z X. 2)Jeżeli X0x01 graphic
Ø, to 0x01 graphic
=min(X)=0x01 graphic
jest najmniejszą l.porządkową z X. wniosek: ad1)jeżeli weźmiemy porządkowy to istnieje liczba początkowa większa od każdego elementu tego zbioru.

Tw.12.Jeżeli (A,R) będzie dobrym porządkiem wyedy istnieje dokładnie jedna liczba porządkowa 0x01 graphic
tże (A,R) 0x01 graphic
0x01 graphic
,(0x01 graphic
,0x01 graphic
).

Tw.13.Niech X0x01 graphic
0x01 graphic
. Wtedy istnieje dokładnie jedna liczba porządkowa 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
tże (X, 0x01 graphic
)0x01 graphic
(0x01 graphic
,0x01 graphic
). Wniosek:Jeżeli dwa zbiory A,B są dobrze uporządkowane w tym 0x01 graphic
i0x01 graphic
odpowiednio A jest podobny do podzbioru 0x01 graphic
zbioru 0x01 graphic
, to 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Tw.14.(o indukcji pozaskończonej)Niech 0x01 graphic
(x) będzie dowolną f-cją, wtedy: 0x01 graphic
(0x01 graphic
[0x01 graphic
(0x01 graphic
)0x01 graphic
0x01 graphic
(0x01 graphic
)0x01 graphic
0x01 graphic
[0x01 graphic
]]).

Tw.15.(o rekursji pozaskończonej)Załóżmy, że 0x01 graphic
jest formułą taką że 0x01 graphic
0x01 graphic
(x,y). Wtedy:0x01 graphic
(f jest f-cją i Dom(f)= 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
(0x01 graphic
(f0x01 graphic
0x01 graphic
,f(0x01 graphic
)))). Wniosek:Rekursja pozaskończona pozwala na tworzenie fcji dowolnych długości porządkowych jeżeli znamy przepis na f(0x01 graphic
) ma podstawie wartości f(0x01 graphic
)0x01 graphic
<0x01 graphic
.

Def.27.Ciągiem pozaskończonym typu 0x01 graphic
nazywamy funkcję 0x01 graphic
, której zbiorem argumentów jest 0x01 graphic
. Wartości funkcji nazywamy wyrazami ciągu. Jeżeli wyrazy te są wyrazami porządkowymi i 0x01 graphic
.Niech 0x01 graphic
-ciąg pozaskończony typu 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
-liczba porządkowa graniczna, to istnieje taka liczba 0x01 graphic
=sup{0x01 graphic
(0x01 graphic
):0x01 graphic
<0x01 graphic
}=supA.

Tw.16.(I prawo monotoniczności dla dodawania liczb porządkowych)1) 0x01 graphic
<0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, 2)0<0x01 graphic
Suma dwóch licz porządkowych różnych od zera jest zawsze większa od pierwszego składania.

Tw.17.(II prawomonotoniczności dla dodawania liczb porządkowych) 3) 0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, 4)0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
, Suma dwóch liczb porządkowych jest zawsze większa lub równa od drugiego składnika.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Borowiki duszone, różne różnośći, Grzyby na wiele sposobow ═══════════════
Flaczki z boczniaków, różne różnośći, Grzyby na wiele sposobow ═══════════════
Pytania sesja1, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne
Grzyby kiszone, różne różnośći, Grzyby na wiele sposobow ═══════════════
Pytania sesja5, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne
Grzyby duszone, różne różnośći, Grzyby na wiele sposobow ═══════════════
Logika i teoria mnogości litm01
Logika i teoria mnogości litm03
Logika i teoria mnogości litm02e
Logika i teoria mnogości litm06e
Logika i teoria mnogości litm10e
Logika i teoria mnogości litm05e
Grzyby suszone, różne różnośći, Grzyby na wiele sposobow ═══════════════
Grzyby w ciescie piwnym, różne różnośći, Grzyby na wiele sposobow ═══════════════
kolots2002, ZiIP, 2 sem, Teoria sygnalow, Różne
Bezpieczne ferie zimowe, różne różnosci, bezpieczeństwo
Logika i teoria mnogości okładka
PIECZARKI S SOSEM CZOSNKOWYM, różne różnośći, Grzyby na wiele sposobow ═══════════════
Grzyby Mun, różne różnośći, Grzyby na wiele sposobow ═══════════════

więcej podobnych podstron