‚

wi zenia

5.014

u ∈ v v ∈ u

(b) u = {∅, {∅}} v = {{{∅, {∅}}}}

W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

przypadk

ó

w

ustal,

zy

,

,

i

;

u ⊆ v v ⊆ u

(c) u = {∅, {{∅}}} v = {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}

i

.

i

;

(a) u = {∅} v = {∅, {∅, {∅}}}

(d) u = {{∅}, {{∅}}} v = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

i

;

i

;

(b) u = {∅, {∅}} v = {{{∅, {∅}}}}

(e) u = (∅, ∅, {∅}) v = ({∅, ∅}, ∅) i

.

i

;

(c) u = {∅, {{∅}}} v = {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}

T

S

T S

i

;

5.052

x

y

(x,y)

(x,y)

(x,y)

Nie

h

i

b

d¡

zbiorami.

Obli z

,

,

,

(d) u = {{∅}, {{∅}}} v = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

S T

T T

S S

i

;

(x,y)

(x,y)

(x,y)

,

i

.

(e) u = {∅, (∅, ∅)} v = {∅, {∅}}

i

.

5.064

5.024

u ∈ v v ∈ u

Ile

zmienn

y

h

w

oln

y

h

za

wiera

j¡

p

oni»sze

form

uªy

teoriomno-

W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

przypadk

ó

w

ustal,

zy

,

,

u ⊆ v v ⊆ u

go± io

w

e?

A

ile

zwi¡zan

y

h?

i

.

(a) ∀

(a) u = P(∅) v = S(∅)

x ((∃x (x ∈ v)) ⇒ (∃y (y ∈ w))); i

;

(b) (∀

(b) u = P(S((∅, ∅))) v = P(P({∅})) x (x ∈ u ⇔ x ∈ v)) ⇔ u = v; i

;

(c) (∃

(c) u = S(P({∅})) v = S(S(∅)) x x ∈ u) ⇒ ∃v (v ∈ u ∧ ∀x (x ∈ v ⇒ ¬(x ∈ u))); i

;

(d) ∀

(d) u = S(S((∅,∅, ∅))) v = P(P(S(∅))) x (x ∈ u ⇒ ∃v (v ∈ u ∧ ∀z (z ∈ v ⇔ z ∈ x ∨ z = x))); i

;

(e) (∀

(e) u = (S(S(∅)),∅) v = (S(S(∅)),P(∅)) x∈u x 6= ∅) ∧ (∀x∈u ∀z∈u (x 6= z ⇒ ∀y∈x y /

∈ z)).

i

.

5.074

5.034

Dla

k

a»dego

z

p

oni»szy

h

st

wierdze«

zna

jd¹

ró

wno

w

a»n¡

m

u

W

yzna z

sum,

przekró

j,

sum

przekro

ju

i

przekró

j

sum

y

dla

form

uª

teoriomnogo± io

w

¡.

nastpuj¡ y

h

zbioró

w:

(a) {{∅}, {{∅}}}

(a)

u

k

a»dy

elemen

t

zbioru

jest

zbiorem

pust

ym

lub

jedno

elemen

to-

;

(b) {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

wym;

;

(c) {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}

(b)

u

v

suma

zbioru

jest

zbiorem,

którego

jedyn

ymi

elemen

tami

s¡

i

;

(d) {{∅}, (∅, ∅)}

{v};

;

(e) {{(∅, ∅)}, (∅, ∅)}

(c)

u

je»eli

zbiór

nie

jest

pust

y

,

to

jego

suma

jest

ró

wna

jego

przekro-

.

jo

wi;

5.044

u ∩ v u ∪ v u \ v

W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

przypadk

ó

w

obli z

,

,

,

(d)

u

do

zbioru

nie

nale»y

zbiór

pust

y

ani

»aden

zbiór

jedno

elemen-

u ÷ v P(u) P(v)

,

i

.

to

wy;

(a) u = {∅} v = {∅, {∅, {∅}}}

(e)

u

i

;

elemen

t

y

ro

dzin

y

s¡

niepuste

i

parami

rozª¡ zne.

5

5

Ÿ

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

O

Zadania

5.012

5.072

Dla

k

a»dej

z

p

oni»szy

h

form

uª

zna

jd¹

form

uª

ró

wno

w

a»n¡,

nie

W

yk

a»,

»e

nie

istnieje

zbiór

wszystki

h

zbioró

w

jedno

elemen

to-

∅

k

orzysta

j¡ ¡

ze

znaku

ani

»adn

y

h

inn

y

h

staªy

h.

wy

h.

Czy

istnieje

zbiór

wszystki

h

zbioró

w

dwuelemen

to

wy

h?

(a) x = {{∅}}

5

;

.082

x

{x} ∈ x

W

yk

a»,

»e

nie

istnieje

taki

zbiór

,

»e

.

Czy

istnieje

taki

(b) x ∈ {∅, {∅}}.

x

(x,x) ∈ x

zbiór

,

»e

?

5.022

5.092

u

Dla

k

a»dego

z

p

oni»szy

h

napisó

w

zna

jd¹

ró

wno

w

a»n¡

m

u

for-

Nie

h

b

dzie

niepust

ym

zbiorem.

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

m

uª

teoriomnogo± io

w

¡.

implik

a ji

s¡

pra

wdziw

e:

(a) u = S u

(a)

u = S u

∅ ∈ u

;

je»eli

,

to

;

(b) u ⊆ P(u)

(b)

∅ ∈ u

u = S u

;

je»eli

,

to

;

(c) S P(u) = {∅}

(c)

S u = T u

u = {v}

v

.

je»eli

,

to

dla

p

ewnego

.

5.032

u

5.102

x

Nie

h

b

dzie

zbiorem,

który

sp

eªnia

aksjomat

niesk

o« zono± i.

Ustal,

zy

istnieje

taki

niepust

y

zbiór

,

»e

(a) S u = ∅

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

st

wierdze«

s¡

pra

wdziw

e:

;

(b) u ∩ S u 6= ∅

(a) S T x = T S x;

;

(c) u ⊆ S u

(b) S S(x) = S x;

.

(c) P(x) speªnia aksjomat niesko« zono± i.

5.042

u

Ustal,

zy

istnieje

taki

niepust

y

zbiór

,

»e

5.112

u v

(a) u ⊆ P(u)

Nie

h

i

b

d¡

zbiorami.

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

implik

a ji

;

(b) P(u) ⊆ u

s¡

pra

wdziw

e:

;

(c) u ∩ P(u) 6= ∅

(a)

u ⊆ v

S(u) ⊆ S(v)

je»eli

,

to

;

.

(b)

S(u) ⊆ S(v)

u ⊆ v

je»eli

,

to

;

5.052

u

(c)

u 6= v

S(u) 6= S(v)

Ustal,

zy

istnieje

taki

niepust

y

zbiór

,

»e

je»eli

,

to

.

(a) P(u) = S(u);

5.122

u v

Nie

h

i

b

d¡

zbiorami.

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

implik

a ji

(b) S u = S(u);

s¡

pra

wdziw

e:

(c) T u = S(u).

(a)

u ⊆ v

P(u) ⊆ P(v)

je»eli

,

to

;

5.062

x

y

x ∈ y

y ∈ x

(b)

P(u) ⊆ P(v)

u ⊆ v

W

yk

a»,

»e

nie

istniej¡

takie

zbiory

i

,

»e

i

.

Czy

je»eli

,

to

;

x y z

x ∈ y y ∈ z z ∈ x

(c)

u 6= v

P(u) 6= P(v)

istniej¡

takie

zbiory

,

i

,

»e

,

i

?

je»eli

,

to

.

5

5

Ÿ

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

P

Zadania

(2)

5.132

[x, y] df

= {{x},{∅, y}}

[x,y] = [z, t]

5.153

Nie

h

.

W

yk

a»,

»e

wtedy

i

t

ylk

o

W

yk

a»,

»e

aksjomat

y

pary

i

istnienia

wynik

a

j¡

z

p

ozostaªy

h

x = z y = t

wtedy

,

gdy

i

.

aksjomató

w.

5.143

u

u ⊆ u × u

W

yzna z

wszystkie

takie

zbiory

,

»e

.

5

5

Ÿ

.

Aksjomat

y

teorii

mnogo± i

Q