7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
7
Rela je
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
7
F
unk
je
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
C
7
Cz± io
w
e
p
orz¡dki
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
F
7
Linio
w
e
p
orz¡dki
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
H
7
Izomorzm
y
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
J
7
wi zenia
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
O
7
Zadania
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
P
Rela je
☛ Zbiór, którego elementy s¡ parami uporz¡dkowanymi, nazywa¢ bdziemy rela j¡. Rela jami s¡ m.in.
u × v
zbiór
pust
y
oraz
k
a»dy
zbiór
p
osta i
.
☛
R S T
W
ystpuj¡ e
dalej
rela je
b
dziem
y
ozna zali
literami
,
i
;
niektóre
sp
e jalne
rela je
b
d¡
ozna zane
< ≤
ina zej,
przy
p
omo
y
sp
e jaln
y
h
sym
b
oli
taki
h
jak
,
itd.
☛
D(R) df
= {x : ∃y(x, y) ∈ R} D∗(R) df
= {y : ∃x(x, y) ∈ R}
Zbiory
i
to
o
dp
o
wiednio
dzie
dzina
i
prze
iwdzie-
R
R ⊆ D(R) × D∗(R)
dzina
rela ji
;
mo»na
wyk
aza¢,
»e
.
☛ To, »e dziedzina i prze iwdziedzina s¡ poprawnie okre±lonymi zbiorami, wynika z aksjomatu wy inania
S S
S S
∃y(x, y) ∈ R ∃x(x, y) ∈ R
x ∈
R y ∈
R
i
z
tego,
»e
je±li
(
),
to
(
).
☛
(x, y) ∈ R
xRy
xRy
x
R
y
Zamiast
pisa¢
,
b
dziem
y
zasami
pisa¢
;
napis
zyta
si:
jest
w
rela ji
z
.
Przyjm
ujem
y
p
onadto,
»e:
∈u
x ∈u y ⇔ x ∈ u ∧ y ∈ u ∧ (x ∈ y ∨ x = y)
jest
rela j¡
dan¡
wzorem
;
⊆u
x ⊆u y ⇔ x ∈ u ∧ y ∈ u ∧ x ⊆ y
jest
rela j¡
dan¡
wzorem
;
=u
x =u y ⇔ x ∈ u ∧ x = y
jest
rela j¡
dan¡
wzorem
.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
A
Rela je
(2)
☛
R
R−1 df
= {(y, x) : (x, y) ∈ R}
Rela j¡
o
dwr
otn¡
do
rela ji
nazyw
a¢
b
dziem
y
rela j
;
zªo»eniem
rela ji
R S
RS
xRSy ⇔ ∃z(xRz ∧ zSy)
,
jest
rela ja
dana
wzorem
.
☛
R
Rela ja
jest:
u
∀x∈u(xRx)
zwr
otna
w
zbiorze
,
o
ile
;
u
∀x∈u¬(xRx)
prze
iwzwr
otna
w
zbiorze
,
o
ile
;
u
∀x∈u∀y∈u(xRy ⇒ yRx)
symetry zna
w
zbiorze
,
o
ile
;
u
∀x∈u∀y∈u((xRy ∧ yRx) ⇒ y = x)
antysymetry zna
w
zbiorze
,
o
ile
;
u
∀x∈u∀y∈u∀z∈u((xRy ∧ yRz) ⇒ xRz)
prze
ho
dnia
w
zbiorze
,
o
ile
;
u
∀x∈u∀y∈u(xRy ∨ yRx)
sp
ójna
w
zbiorze
,
o
ile
.
☛ Rela ja, która jest zwrotna, symetry zna i prze hodnia w sumie swojej dziedziny i prze iwdziedziny,
=u
to
rela ja
r
ównowa»no± i
.
Przykªadem
rela ji
ró
wno
w
a»no± i
jest
.
☛ ⊆u
u ∈u
jest
rela j¡
zwrotn¡,
an
t
ysymetry zn¡
i
prze
ho
dni¡
w
;
jest
zwrotna
i
an
t
ysymetry zna.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
B
F
unk
je
☛
R
x
y
x
Rela ja
jest
funk j¡
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
dla
k
a»dego
istnieje
o
na
jwy»ej
jedno
takie
,
»e
R
y
jest
w
rela ji
z
.
=u
jest
funk
j¡
jest
to
tzw.
funk
ja
identy zno± iowa
;
u × {v}
jest
funk
j¡
jest
to
tzw.
funk
ja
staªa
.
☛
e f g
h
f
y
W
ystpuj¡ e
dalej
funk
je
b
dziem
y
ozna zali
literami
,
,
i
;
je»eli
jest
funk
j¡,
to
jedyne
xfy
f(x)
fx
takie,
»e
b
dziem
y
ozna zali
sym
b
olem
lub
.
☛
f : u → v
u ∋ x 7→ f(x) ∈ v
f
Bdziem
y
pisa¢
lub
,
ab
y
zazna zy¢,
»e
jest
funk
j¡,
której
dziedzin¡
jest
u
v
i
której
prze iwdziedzina
za
wiera
si
w
.
☛
f : u → v
f
u
v
f
u
v
Napis
zytam
y:
dziaªa
z
do
lub
przeksztaª
a
w
.
Zbiór
wszystki
h
funk
ji
dziaªa-
u
v
vu vu
vu = {f ∈ P(u × v) : f : u → v}
j¡ y
h
z
do
b
dziem
y
ozna za¢
sym
b
olem
;
jest
zbiorem,
gdy»
.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
C
F
unk
je
(2)
☛
f
u ⊆ D(f)
f|
df
u = {(x, y) ∈ f :
x ∈ u}
Ob
i
iem
funk
ji
do
zbioru
nazyw
a¢
b
dziem
y
funk
j
;
zbiór
f[u] df
= D∗(f|u)
u
f
to
obr
az
zbioru
wzgldem
funk
ji
.
Obraz
zbioru
ozna za
si
niekiedy
ina zej
zamiast
f[u]
{fx}x
{f(x) : x ∈ u}
∈u
pisa¢
pisze
si
lub
.
☛ Obraz zbioru wzgldem funk ji ma wiele wa»ny h wªasno± i; w sz zególno± i, prawdziwe s¡ nastpuj¡ e
implik
a je:
S
S
x ⊆ D(f)
x ∈ u
f[
u] =
{f[x] : x ∈ u}
je»eli
dla
k
a»dego
,
to
;
T
T
x ⊆ D(f)
x ∈ u u 6= ∅
f[
u] ⊆
{f[x] : x ∈ u}
je»eli
dla
k
a»dego
i
,
to
;
u ⊆ D(f) v ⊆ D(f)
f[u] \ f[v] ⊆ f[u \ v]
je»eli
i
,
to
;
u ⊆ v ⊆ D(f)
f[u] ⊆ f[v]
je»eli
,
to
.
S
S
T
T
☛
f
u ⊆ D(f)
f df
df
x =
f[u]
fx =
f[u]
Przyjm
ujem
y
,
»e
je±li
jest
funk
j¡,
a
zbiorem,
to
x∈u
i
x∈u
.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
D
F
unk
je
(3)
☛
f
f−1
F
unk
ja
jest
r
ó»nowarto± iowa
(jest
injek j¡
)
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
jest
funk
j¡;
funk
ja
f : u → v
D∗(f) = v
jest
na
(jest
suriek j¡
)
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
.
☛
f : u → v
x 6= y ⇒
Nietrudno
jest
wyk
aza¢,
»e
funk
ja
jest
injek
j¡
(suriek
j¡)
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
f(x) 6= f(y)
x, y ∈ u f[u] = v
dla
k
a»dy
h
(
).
☛
f
F
unk
ja,
która
jest
suriek
j¡
i
injek
j¡,
to
bijek ja
(funk
ja
wzajemnie
je
dnozna zna
).
Je»eli
jest
bijek
j¡,
to:
T
T
x ⊆ D(f)
x ∈ u u 6= ∅
f[
u] =
{f[x] : x ∈ u}
je»eli
dla
k
a»dego
i
,
to
;
u ⊆ D(f) v ⊆ D(f)
f[u] \ f[v] = f[u \ v]
je»eli
i
,
to
.
☛ Ka»da funk ja staªa jest suriek j¡; ka»da funk ja identy zno± iowa jest bijek j¡. Przykªadem injek ji
S
u ∋ x 7→ P(x) ∈ P(P(
u))
mo»e
b
y¢
funk
ja
dana
wzorem
.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
E
Cz± io
w
e
p
orz¡dki
☛
6R
u
Rela ja
jest
rela j¡
z± iowe
go
p
orz¡dku
w
zbiorze
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
jest
zwrotna,
u
an
t
ysymetry zna
i
prze
ho
dnia
w
zbiorze
.
☛
6R
<R
x <R y ⇔
Przyjm
ujem
y
,
»e
je±li
jest
rela j¡
z± io
w
ego
p
orz¡dku,
to
jest
rela j¡
dan¡
wzorem
x 6R y ∧ x 6= y <R
;
jest
rela j¡
prze iwzwrotn¡,
an
t
ysymetry zn¡
i
prze
ho
dni¡.
☛
>R
x >R y ⇔ y 6R x
>R
Przyjm
ujem
y
,
»e
jest
rela j¡
dan¡
wzorem
;
rela ja
jest,
o
ªat
w
o
spra
wdzi¢,
6R
rela j¡
o
dwrotn¡
do
.
☛
v ⊆ u
x 6R y
y 6R x
x, y ∈ v
Zbiór
jest
ªa« u hem
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
lub
dla
k
a»dy
h
;
zbiór
v ⊆ u
6R
v
jest
ªa« u
hem
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
jest
rela j¡
sp
ó
jn¡
w
.
☛ ⊆u =u
u
u
∈u
i
s¡
z± io
wymi
p
orz¡dk
ami
w
;
dla
niektóry
h
zbioró
w
tak»e
jest
z± io
wym
p
orz¡dkiem
u
w
.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
F
Cz± io
w
e
p
orz¡dki
(2)
☛
6R
u v ⊆ u x ∈ u
x
Je»eli
jest
z± io
wym
p
orz¡dkiem
w
,
i
,
to
elemen
t
jest
v
x ∈ v ¬∃y∈v(y <R x)
elemen
tem
minimalnym
w
zbiorze
,
o
ile
i
;
v
x ∈ v ¬∃y∈v(x <R y)
elemen
tem
maksymalnym
w
zbiorze
,
o
ile
i
;
v
x ∈ v ∀y∈v(x 6R y)
elemen
tem
najmniejszym
w
zbiorze
,
o
ile
i
;
v
x ∈ v ∀y∈v(y 6R x)
elemen
tem
najwikszym
w
zbiorze
,
o
ile
i
;
v
∀y∈v(x 6R y)
o
gr
ani zeniem
dolnym
zbioru
,
o
ile
;
v
∀y∈v(y 6R x)
o
gr
ani zeniem
górnym
zbioru
,
o
ile
.
☛
v
6
v
6
v
6R
Na
jmniejszy
(na
jwikszy)
elemen
t
zbioru
ozna zam
y
sym
b
olem
min
R
(max
R
);
sym
b
ol
b
-
dziem
y
opusz za¢,
je»eli
z
k
on
tekstu
b
dzie
jasno
wynik
aªo,
o
jak
¡
rela j
ho
dzi.
☛ Porz¡dki w zbiora h sko« zony h mo»na przedstawia¢ w posta i tzw. diagramów Hassego. Istnieje niesk
omplik
o
w
an
y
algorytm
ryso
w
ania
t
y
h»e
diagramó
w.
☛ Dysponuj¡ diagramem Hassego mo»na bez trudu od zyta¢, które elementy s¡ minimalne, które mak-symalne,
mo»na
wyzna zy¢
ograni zenia
k
a»dego
zbioru
itd.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
G
Linio
w
e
p
orz¡dki
☛
u
u
Rela ja
z± io
w
ego
p
orz¡dku
w
zbiorze
jest
rela j¡
liniowe
go
p
orz¡dku
w
zbiorze
wtedy
i
t
ylk
o
u
wtedy
,
gdy
jest
sp
ó
jna
w
.
☛
u
u
Rela ja
linio
w
ego
p
orz¡dku
w
zbiorze
jest
rela j¡
dobr
e
go
p
orz¡dku
w
zbiorze
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
u
gdy
k
a»dy
niepust
y
p
o
dzbiór
p
osiada
elemen
t
na
jmniejszy
.
☛
6R
u
Rela ja
jest
rela j¡
gste
go
p
orz¡dku
w
zbiorze
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
jest
rela j¡
linio
w
ego
u
x, y ∈ u
x <R y
z ∈ u
x <R z z <R y
p
orz¡dku
w
i
dla
wszystki
h
je»eli
,
to
istnieje
takie
,
»e
i
.
☛
(v, w)
u
6R
v∪w = u v∩w = ∅
P
ara
jest
przekr
ojem
zbioru
wzgldem
rela ji
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
,
x ∈ v y ∈ w
x <R y
i
dla
wszystki
h
,
mam
y
.
☛
6R
u
Rela ja
jest
rela j¡
i¡gªe
go
p
orz¡dku
w
zbiorze
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
jest
rela j¡
gstego
u
(v, w)
v
w
p
orz¡dku
w
i
dla
k
a»dego
przekro
ju
alb
o
p
osiada
elemen
t
na
jwikszy
,
alb
o
p
osiada
elemen
t
na
jmniejszy
.
☛
(u, 6R)
6R
u
P
ar
,
gdzie
jest
rela j¡
z± io
w
ego
(linio
w
ego,
dobrego
itd.)
p
orz¡dku
w
,
nazyw
a¢
b
-
dziem
y
zbiorem
z± iowo
(liniowo
,
dobrze
itd.)
up
orz¡dkowanym
.
☛
6
Rela ja
jest
rela j¡
linio
w
ego
(dobrego,
gstego,
i¡
gªego)
p
orz¡dku
w
zbiorze
li zb
aªk
o
wit
y
h
(naturaln
y
h,
wymiern
y
h,
rze zywist
y
h).
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
H
Linio
w
e
p
orz¡dki
(2)
☛
(u, 6R) (v, 6S)
Je»eli
i
s¡
zbiorami
z± io
w
o
(linio
w
o,
dobrze)
up
orz¡dk
o
w
an
ymi,
to
para:
(u × v, 6RS)
6RS
,
gdzie
jest
rela j¡
dan¡
wzorem
(x, y) 6RS (z, t) ⇔ (x <R z) ∨ (x = z ∧ y 6S t), 6RS
jest
zbiorem
z± io
w
o
(linio
w
o,
dobrze)
up
orz¡dk
o
w
an
ym.
Rela ja
nazyw
ana
jest
p
orz¡dkiem
leksyko
gr
a znym
;
(u × v, 6∗ )
6∗
SR , gdzie
SR jest rela j¡ dan¡ wzorem
(x, y) 6∗ (z, t) ⇔ (y <
SR
S t) ∨ (y = t ∧ x 6R z),
6∗
jest
zbiorem
z± io
w
o
(linio
w
o,
dobrze)
up
orz¡dk
o
w
an
ym.
Rela ja
SR nazywana jest porz¡dkiem antyleksyko
gr
a znym
.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
I
Izomorzm
y
☛
(u, 6R) (v, 6S)
Izomorzmem
zbioró
w
z± io
w
o
up
orz¡dk
o
w
an
y
h
,
nazyw
a¢
b
dziem
y
k
a»d¡
tak
¡
bi-
f : u → v
x 6R y ⇔ f(x) 6S f(y)
x, y ∈ u
jek
j
,
»e
dla
wszystki
h
.
☛
(u, 6R) (v, 6S)
Zbiory
z± io
w
o
up
orz¡dk
o
w
ane
,
s¡
izomor zne
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
istnieje
f : u → v
(u, 6R)
(v, 6S)
(u, 6R
izomorzm
;
to,
»e
jest
izomor zne
z
b
dziem
y
sym
b
oli znie
zapisyw
a¢
) ≃ (v, 6S).
☛ Funk ja odwrotna do izomorzmu jest izomorzmem; zªo»enie izomorzmów jest izomorzmem, wi
(u, 6R) ≃ (v, 6S) (v, 6S) ≃ (w, 6T) (u, 6R) ≃ (w, 6T)
z
,
wynik
a
.
☛
(u, x, 6R) df
= {y ∈ u : y <R x}
x ∈ u
Zbiór
pred
to
o
d inek
p
o
z¡tkowy
wyzna zon
y
przez
elemen
t
;
zbiór
v ⊆ u
u = v
x ∈ u
v =
(u, x, 6R)
jest
o
d inkiem
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
lub
istnieje
takie
,
»e
pred
.
☛
x, y ∈ u x <R y
(u, x, 6R) =
(
(u, y, 6R), x, 6R)
x 6R y
(u, x, 6R
Je»eli
i
,
to
pred
pred
pred
;
je»eli
,
to
pred
) ⊆
(u, y, 6R)
pred
.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
J
Izomorzm
y
(2)
(u, 6R)
Nie
h
b
dzie
zbior
em
dobrze
up
orz¡dkowanym.
Wów zas:
(1)
x ∈ u
(u, 6R) ≃ (
(u, x, 6R), 6R)
nie
istnieje
taki
element
,
»e
pred
;
(2)
x, y ∈ u
(
(u, x, 6R), 6R) ≃ (
(u, y, 6R), 6R) ⇔ x = y
je»eli
,
to
pred
pred
.
(1)
x ∈ u
(u, 6R) ≃ (
(u, x, 6R), 6R)
f : u →
Do
w
ó
d.
Przypu±¢m
y
,
»e
istnieje
takie
,
»e
pred
.
Nie
h
(u, x, 6R)
v = {f(y) : f(y) 6= y ∧ y ∈ u}
pred
b
dzie
izomorzmem.
Zbiór
jest
niepust
y
,
b
o
nale»y
do
niego
f(x) x /
∈
(u, x, 6R)
f(x) 6= x
f(z)
np.
(
pred
implikuje
),
wi
p
osiada
elemen
t
na
jmniejszy
.
Mo»liw
e
s¡
t
ylk
o
dwie
sytua je:
z <R f(z)
f(z) 6= z
z 6= f−1(z)
z ∈ v
f(z) =
v
f(z) 6R z
.
P
oniew
a»
,
wi
.
St¡d
,
a
p
oniew
a»
min
,
wi
sprze zno±¢.
f(z) <R z
f(f(z)) <R f(z)
f(f(z)) 6= f(z)
f(f(z)) ∈ v
f(z) =
v
.
Wtedy
,
sk
¡d
.
St¡d
,
a
p
oniew
a»
min
,
wi
f(z) 6R f(f(z)) sprze zno±¢.
(2)
(
(u, x, 6R), 6R) ≃ (
(u, y, 6R), 6R)
x 6= y
x <R y
(u, x, 6R) =
Gdyb
y
pred
pred
i
,
to
b
yªob
y
i
pred
(
(u, y, 6R), x, 6R)
y <R x
(u, y, 6R) =
(
(u, x, 6R), y, 6R)
pred
pred
lub
i
pred
pred
pred
sprze zno±¢,
b
o
(1)
2
obie
te
sytua je
s¡
na
mo
y
niemo»liw
e.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
K
Izomorzm
y
(3)
(u, 6R)
(v, 6S)
(u, 6R) ≃ (v, 6S)
Nie
h
or
az
b
d¡
zbior
ami
dobrze
up
orz¡dkowanymi.
Je±li
,
to
istnieje
f : u → v
dokªadnie
je
den
izomorzm
.
f, g : u → v
f 6= g
x ∈ u
Do
w
ó
d.
Nie
h
b
d¡
izomorzmami.
Gdyb
y
,
to
zbiór
t
y
h
,
dla
który
h
f(x) 6= g(x)
z
f(x) = g(x)
x <R z
b
yªb
y
niepust
y
i
p
osiadaªb
y
elemen
t
na
jmniejszy
.
Wó
w
zas
dla
k
a»dego
,
f(z) =
{y ∈ v : ∀x<
{y ∈ v : ∀x<
2
sk
¡d
min
R zf(x) <S y} = min
R zg(x) <S y} = g(z) sprze zno±¢.
☛
(u, 6u)
f : u → u
Je»eli
jest
dobrym
p
orz¡dkiem,
to
jedyn
ym
izomorzmem
jest
funk
ja
iden
t
y zno±-
io
w
a.
Linio
w
e
p
orz¡dki
nie
ma
j¡
ju»
tej
wªasno± i.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
L
Izomorzm
y
(4)
(u, 6R)
(v, 6S)
Nie
h
i
b
d¡
zbior
ami
dobrze
up
orz¡dkowanymi.
Wów zas
pr
awdziwy
jest
dokªadnie
je
den
z
p
oni»szy h
warunków:
(1) (u, 6R) ≃ (v, 6S);
(2)
x ∈ u
(
(u, x, 6R), 6R) ≃ (v, 6S)
istnieje
takie
,
»e
pred
;
(3)
y ∈ v
(u, 6R) ≃ (
(v, y, 6S), 6S)
istnieje
takie
,
»e
pred
.
Do
w
ó
d.
W
ystar zy
wyk
aza¢,
»e
w
k
a»dym
przypadku
za
ho
dzi
o
na
jmniej
jedna
z
p
o
wy»szy
h
mo»li-
f
w
o± i,
b
o
to,
»e
nie
mo»e
za
ho
dzi¢
wi ej
ni»
jedna
wynik
a
z
t
wierdzenia
z
p
oprzedniej
stron
y
.
Nie
h
b
dzie
rela j¡
dan¡
wzorem
f = {(x, y) ∈ u × v : (
(u, x, 6R), 6R) ≃ (
(v, y, 6S), 6S)}.
pred
pred
f
(x, y) ∈ f (x, z) ∈ f
y 6= z
f
≃
Zau
w
a»m
y
,
»e
jest
funk
j¡,
b
o
je±li
,
i
,
to
z
deni ji
i
prze
ho
dnio± i
(
(v, y, 6S), 6S) ≃ (
(v, z, 6S), 6S)
f : D(f) → D∗(f)
otrzym
ujem
y
pred
pred
,
o
jest
niemo»liw
e.
Co
wi ej,
jest
izomorzmem,
b
o
jest
bijek
j¡
(to,
»e
jest
suriek
j¡,
jest
o
zywiste,
a
to,
»e
jest
injek
j¡
wynik
a
z
x 6R y ⇔
(u, x, 6R) ⊆
(u, y, 6R) ⇔
(v, f(x), 6S) =
t
wierdzenia
z
p
oprzedniej
stron
y)
oraz
pred
pred
pred
f[
(u, x, 6R)] ⊆ f[
(u, y, 6R)] =
(v, f(y), 6S) ⇔ f(x) 6S f(y) D(f)
pred
pred
pred
.
Zau
w
a»m
y
tak»e,
»e
m
usi
u
x ∈ D(f) y ∈ u y <R x
(
(u, y, 6R), 6R) ≃ (
(v, g(y), 6S), 6S)
b
y¢
o
d inkiem
w
,
b
o
je»eli
,
i
,
to
pred
pred
,
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
M
Izomorzm
y
(5)
g :
(u, x, 6R) →
(v, f(x), 6S)
f
y ∈
gdzie
pred
pred
jest
izomorzmem
istniej¡ ym
na
mo
y
deni ji
,
sk
¡d
D(f)
D∗(f)
v
.
Analogi znie
mo»na
wyk
aza¢,
»e
jest
o
d inkiem
w
,
wi
ab
y
zak
o« zy¢
do
w
ó
d,
wystar zy
D(f) = u
D∗(f) = v
D(f) 6= u D∗(f) 6= v
g : D(f) ∪ {x} → D∗(f) ∪ {y}
wyk
aza¢,
»e
lub
.
Gdyb
y
i
,
to
funk
ja
g = f ∪ {(x, y)}
x =
(u \ D(f)) y =
(v \ D∗(f))
dana
wzorem
,
gdzie
min
i
min
,
b
yªab
y
izomorzmem,
sk
¡d
(u, x, 6R) =
(D(f) ∪ {x}, x, 6R) ≃
(D∗(f) ∪ {y}, y, 6S) =
(v, y, 6S)
2
pred
pred
pred
pred
sprze zno±¢.
7
7
.
F
unk
je,
rela je
i
p
orz¡dki
N