6

Ÿ

.

Algebra

zbioró

w

6

Pra

w

a

algebry

zbioró

w

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A

6

Meto

dy

do

w

o

dzenia

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

B

6

Do

w

o

dy

oparte

o

pra

w

a

logiki

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

C

6

Meto

da

zero

jedynk

o

w

a

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

D

6

Diagram

y

V

enna

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

E

6

‚

wi zenia

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

F

6

Zadania

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

G

Pra

w

a

algebry

zbioró

w

☛

u v w

Suma,

przekró

j

i

ró»ni a

symetry zna

s¡

ª¡ zne,

tzn.

dla

do

w

oln

y

h

zbioró

w

,

,

pra

wdziw

e

s¡

(u ∪ v) ∪ w = u ∪ (v ∪ w) (u ∩ v) ∩ w = u ∩ (v ∩ w) (u ÷ v) ÷ w = u ÷ (v ÷ w) ró

wno± i

,

i

.

☛

u v

Suma,

przekró

j

i

ró»ni a

symetry zna

s¡

przemienne,

tzn.

dla

do

w

oln

y

h

zbioró

w

,

pra

wdziw

e

s¡

u ∪ v = v ∪ u u ∩ v = v ∩ u

u ÷ v = v ÷ u

ró

wno± i

,

i

.

☛

u v w

Suma

i

przekró

j

s¡

rozdzielne

wzgldem

siebie,

tzn.

dla

do

w

oln

y

h

zbioró

w

,

,

pra

wdziw

e

s¡

(u ∪ v) ∩ w = (u ∩ w) ∪ (v ∩ w) (u ∩ v) ∪ w = (u ∪ w) ∩ (v ∪ w) ró

wno± i

i

.

☛

u

u ∪ u =

Suma

i

przekró

j

s¡

op

era jami

idemp

oten

tn

ymi,

tzn.

dla

k

a»dego

zbioru

za

ho

dzi

ró

wno±¢

u ∩ u = u; ró»ni a symetry zna nie jest opera j¡ idempotentn¡.

☛ Ró»ni a zbiorów nie ma »adnej z powy»szy h wªasno± i; speªnia ona jednak tzw. prawa de Morgana: u \ (v ∪ w) = (u \ v) ∩ (u \ w)

u \ (v ∩ w) = (u \ v) ∪ (u \ w)

i

.

☛

u v

u ⊆ v u ∩ v = u u ∪ v = v

Dla

do

w

oln

y

h

zbioró

w

,

nastpuj¡ e

w

arunki

s¡

ró

wno

w

a»ne:

,

,

i

u \ v = ∅; prawdziwe s¡ ponadto nastpuj¡ e implika je:

x ⊆ u

y ⊆ v

x ∪ y ⊆ u ∪ v

x ∩ y ⊆ u ∩ v

je±li

i

,

to

i

;

u ⊆ v

v ⊆ w

u ⊆ w

je±li

i

,

to

;

u ⊆ w

v ⊆ w

u ⊆ v

w \ v ⊆ w \ u

je±li

i

,

to

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

.

6

6

Ÿ

.

Algebra

zbioró

w

A

Meto

dy

do

w

o

dzenia

☛ Istniej¡ trzy podstawowe metody dowodzenia praw algebry zbiorów: wykorzystanie praw logiki, metoda zero

jedynk

o

w

a

i

diagram

y

V

enna.

☛ Dowody oparte o prawa logiki to najbardziej wymagaj¡ a, ale i najbardziej uniwersalna metoda dowodzenia

pra

w

algebry

zbioró

w

zakres

jej

zastoso

w

a«

jest

zna znie

szerszy

ni»

p

ozostaªy

h

meto

d.

☛ Metoda zerojedynkowa znajduje zastosowanie przy badaniu zale»no± i pomidzy wyra»eniami zbudo-

w

an

ymi

ze

zmienn

y

h,

na

wiasó

w

i

znak

ó

w

op

era ji

teoriomnogo± io

wy

h.

☛ Diagramy Venna to gra zna wersja metody zerojedynkowej; zakres jej zastosowa« jest taki sam, jak meto

dy

zero

jedynk

o

w

ej.

6

6

Ÿ

.

Algebra

zbioró

w

B

Do

w

o

dy

oparte

o

pra

w

a

logiki

☛ Dowody oparte o prawa logiki przeprowadza si w opar iu o aksjomat ekstensjonalno± i, prawa ra-

h

unku

zda«

i

kw

an

t

yk

atoró

w:

u = v

u ⊆ v

v ⊆ u

u ⊆ v

ab

y

wyk

aza¢,

»e

do

w

o

dzi

si,

»e

i

;

ab

y

wyk

aza¢,

»e

,

do

w

o

dzi

si,

»e

dla

x

x ∈ u ⇒ x ∈ v

k

a»dego

pra

wdziw

a

jest

implik

a ja

;

x ∈ u ⇒ x ∈ v

x

u

ab

y

wyk

aza¢,

»e

,

zakªadam

y

,

»e

nale»y

do

i

do

w

o

dzim

y

,

k

orzysta

j¡

z

pra

w

logiki,

x

v

»e

nale»y

do

.

☛

(u ∪ v) ∩ w = (u ∩ w) ∪ (v ∩ w)

Dziaªanie

tej

meto

dy

zademonstrujem

y

na

przykªadzie

ró

wno± i

.

Ab

y

(u ∪ v) ∩ w ⊆ (u ∩ w) ∪ (v ∩ w) (u ∩ w) ∪ (v ∩ w) ⊆ (u ∪ v) ∩ w j¡

udo

w

o

dni¢,

wyk

a»em

y

,

»e

i

.

x ∈ (u ∪ v) ∩ w

(x ∈ u ∨ x ∈ v) ∧ x ∈ w

Je»eli

,

to

.

K

orzysta

j¡

z

rozdzielno± i

k

oniunk

ji

wzgldem

(x ∈ u ∧ x ∈ w) ∨ (x ∈ v ∧ x ∈ w)

x ∈ (u ∩ w) ∪ (v ∩ w)

alternat

ywy

otrzym

ujem

y

,

sk

¡d

.

x ∈ (u ∩ w) ∪ (v ∩ w)

(x ∈ u ∧ x ∈ w) ∨ (x ∈ v ∧ x ∈ w)

Je»eli

,

to

.

K

orzysta

j¡

z

rozdzielno± i

(x ∈ u ∨ x ∈ v) ∧ x ∈ w

x ∈ (u ∪ v) ∩ w

k

oniunk

ji

wzgldem

alternat

ywy

otrzym

ujem

y

,

sk

¡d

.

6

6

Ÿ

.

Algebra

zbioró

w

C

Meto

da

zero

jedynk

o

w

a

☛ Metoda zerojedynkowa korzysta z aksjomatu ekstensjonalno± i, sprowadzaj¡ pytanie o równo±¢ zbio-

u v

x ∈ u x ∈ v

ró

w

,

do

p

ytania

o

ró

wno

w

a»no±¢

zda«

,

.

☛

u ÷ (v ÷ w) (u ÷ v) ÷ w

Dziaªanie

tej

meto

dy

zademonstrujem

y

na

przykªadzie

wyra»e«

,

.

W

yk

a»em

y

,

x ∈ u ÷ (v ÷ w) x ∈ (u ÷ v) ÷ w

»e

s¡

one

sobie

ró

wne

do

w

o

dz¡ ,

»e

zdania

,

s¡

ró

wno

w

a»ne.

☛ Tworzymy tabelk, w której pierwsze trzy kolumny wypeªniamy wszystkimi mo»liwymi warto± iami

x ∈ u x ∈ v

x ∈ w

zda«

,

i

.

☛

x ∈ v ÷ w x ∈ u ÷ (v ÷ w) x ∈ u ÷ v

P

ozostaªe

k

olumn

y

wyp

eªniam

y

w

arto± iami

logi zn

ymi

zda«

,

,

i

x ∈ (u ÷ v) ÷ w, obli zonymi na podstawie warto± i znajduj¡ y h si w pierwszy h trze h kolumna h.

☛

x ∈ u ÷ (v ÷ w) x ∈ (u ÷ v) ÷ w

Ab

y

st

wierdzi¢,

zy

zdania

,

s¡

ró

wno

w

a»ne,

wystar zy

teraz

spra

wdzi¢,

zy

o

dp

o

wiada

j¡ e

im

k

olumn

y

za

wiera

j¡

te

same

w

arto± i.

x ∈ u x ∈ v x ∈ w

x ∈ v ÷ w x ∈ u ÷ (v ÷ w)

x ∈ u ÷ v x ∈ (u ÷ v) ÷ w

0

0

0

0

0

0

0

.

.

.

1

1

1

0

1

0

1

6

6

Ÿ

.

Algebra

zbioró

w

D

Diagram

y

V

enna

☛

u \ (v ∪ w) (u \ v) ∩

Dziaªanie

meto

dy

diagramó

w

V

enna

zademonstrujem

y

na

przykªadzie

wyra»e«

,

(u \ w). Porównuj¡ i h diagramy, wyka»emy, »e s¡ one sobie równe.

☛

u v

w

Diagram

V

enna

dla

wyra»enia

zbudo

w

anego

ze

zbioró

w

,

i

p

o

wsta

je

p

oprzez

takie

naryso

w

anie

t

y

h

zbioró

w

na

pªasz zy¹nie,

»e:

u ∩ v ∩ w u ∩ v ∩ (R2 \ w) u ∩ (R2 \ v) ∩ w (R2 \ u) ∩ v ∩ w u ∩ (R2 \ v) ∩ (R2 \ w)

k

a»dy

ze

zbioró

w

,

,

,

,

,

(R2 \ u) ∩ v ∩ (R2 \ w) (R2 \ u) ∩ (R2 \ v) ∩ w (R2 \ u) ∩ (R2 \ v) ∩ (R2 \ w)

,

i

jest

sp

ó

jn

y

i

niepust

y;

zbiór

b

d¡ y

rozw

a»an

ym

wyra»eniem

jest

p

ok

oloro

w

an

y

jedn

ym

k

olorem,

a

aªa

reszta

pªasz zyzn

y

drugim.

u

v

u

v

u \ (v ∪ w)

w

(u \ v) ∩ (u \ w)

w

:

:

6

6

Ÿ

.

Algebra

zbioró

w

E