‚

wi zenia

2.014

(c) (p ∨ q) ∧ (r ⇒ ¬r) W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

napisó

w

wsk

a»

na

jdªu»szy

fragmen

t

b

-

;

(d) (r ∧ s) ⇔ (s ⇒ p)

d¡ y

form

uª¡.

Które

z

p

oni»szy

h

napisó

w

nie

s¡

form

uªami

i

dla zego?

;

(a) (p ∧ q)r¬s

(e) ¬(p ∨ p) ∨ ¬(¬s).

;

(b) (p ∧ q) ⇒ r

2

;

.054

Przeksztaª¢

p

oni»sze

form

uªy

do

p

osta i

zbudo

w

an

y

h

wyª¡ z-

(c) ((q ⇒ r) ∧ ¬q);

p

q

nie

z

na

wiasó

w,

funktoró

w

nega ji

i

implik

a ji

oraz

zmienn

y

h

i

.

(d) (((¬q) ⇒ p) ⇒ ¬(s ∨ r)); (a) (q

(

⇒ p) ⇒ (¬(q ∨ p) ⇒ p)

e) ((p ∧ q) ∨ s) ∧ q)

;

⇒ (¬r).

(b) (¬p ⇒ ¬q) ⇒ ((p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)); 2.024

(c) (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ (q ∧ p)); W

ypisz

wszystkie

p

o

dform

uªy

dla

p

o

dan

y

h

p

oni»ej

form

uª

ra-

(d) (p ∧ (q ∨ ¬p)) ∧ ((¬q ⇒ p) ∨ q); h

unku

zda«.

(

(

a) (p

e) ((p ∧ q)

⇒ q) ⇒ (q ⇒ s)

⇒ ¬p) ⇒ ((p ⇒ ¬q) ⇒ p).

;

(b) (((¬p) ∨ (p)) ∧ (¬q)) 2.064

;

Przeksztaª¢

p

oni»sze

form

uªy

do

p

osta i

zbudo

w

an

y

h

wyª¡ z-

(c) (p ∧ q) ∨ (r ⇒ ¬r) p

q

;

⋆

nie

z

na

wiasó

w,

funktora

oraz

zmienn

y

h

i

.

(d) (r ∨ s) ⇒ (s ⇒ p); (a) (p ⇒ q) ⇒ (¬(q ∨ p) ⇒ p) ⋆ =

(

,

nand ;

e) ¬(p ∧ p) ∨ ¬(¬s).

(b) (¬q ⇒ ¬p) ⇒ ((p ∧ q) ⇒ (q ∨ p)) ⋆ =

,

nor ;

2.034

(c) (q ⇒ p) ∨ (p ⇒ (q ∧ p)) ⋆ =

,

nand ;

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

form

uª

s¡

tautologiami.

Które

z

ni

h

(d) (q ∧ (q ∨ ¬p)) ∧ ((¬q ⇒ p) ∨ p) ⋆ =

,

nor ;

s¡

sp

eªnialne?

Które

s¡

k

on

trtautologiami?

(e) ((q ∧ p)

(a) (p

⇒ ¬p) ⇒ ((p ⇒ ¬q) ⇒ q) ⋆ =

⇒ q) ⇒ (q ⇒ s)

,

nand.

;

(b) (((¬p) ∨ (p)) ∧ (¬q)) 2.074

;

Przeksztaª¢

p

oni»sze

form

uªy

do

na

jkrótszej

mo»liw

ej

p

osta i.

(c) (p ∧ q) ∨ (r ⇒ ¬r); (a) (q ∨ p) ∨ (¬(q ∧ p) ∨ p); (d) (r ∨ s) ⇒ (s ⇒ p); (b) (¬p ∧ ¬q) ⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ q)); (e) ¬(p ∧ p) ∨ ¬(¬s).

(c) (p ∨ q) ∨ (p ∨ (q ∧ p)); 2.044

(d) (p ∧ (q ∨ ¬p)) ∧ ((¬q ∨ p) ∨ q); Przeksztaª¢

p

oni»sze

form

uªy

do

suma yjnej

oraz

ilo

zyno

w

ej

(e) ((p ∧ q) ∧ ¬p) ⇒ ((p ∨ ¬q) ∧ p).

p

osta i

normalnej.

(a) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇒ s)

2.084

;

P

o

dane

p

oni»ej

zdania,

zapisane

w

jzyku

naturaln

ym,

prze-

(b) (((¬p) ∧ (p)) ∨ (¬q)); ksztaª¢

do

o

dp

o

wiada

j¡ ej

im

p

osta i

sym

b

oli znej.

Ustal

nastpnie

na

2

2

Ÿ

.

Ra

h

unek

zda«

M

‚

wi zenia

(2)

(c)

a

5

3

tej

p

o

dsta

wie,

zy

s¡

to

zdania

pra

wdziw

e.

je»eli

li zba

aªk

o

wita

dzieli

si

przez

i

dzieli

si

przez

,

to

z

a

3

a

5

faktu,

»e

nie

dzieli

si

przez

,

wynik

a,

»e

nie

dzieli

si

przez

;

(a)

a

3

a

(d) je»eli Jan nie zna logiki, to je±li Jan zna logik, to Jan urodziª si

je»eli

li zba

naturalna

dzieli

si

przez

,

to

z

faktu,

»e

nie

dzieli

3

a

5

w

IV

wieku

p.n.e.;

si

przez

wynik

a,

»e

dzieli

si

przez

;

(b)

a

a

(e) Jan zna logik wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest prawd¡, »e nie jest je»eli

li zba

naturalna

jest

li zb¡

pierwsz¡,

to

o

ile

jest

li zb¡

a

4

pra

wd¡,

»e

Jan

zna

logik

.

zªo»on¡,

to

ró

wna

si

;

2

2

Ÿ

.

Ra

h

unek

zda«

N

Zadania

2.011

p2

pn

P

o

da

j

przykªad

form

uªy

ra

h

unku

zda«,

w

której

wystpuj¡

,

.

.

.

,

,

na

wiasó

w

i

funktora

ró

wno

w

a»no± i.

W

yk

a»,

»e

je±li

zmienna

p q r

pi

mi

ϕ

zmienne

,

,

i

która

wystpuje

razy

w

form

ule

,

to

P

(a)

(a) w(ϕ) = (1 +

n

m

2

jest

pra

wdziw

a

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

dokªadnie

dwie

ze

zmien-

i=1

i · (w(pi ) + 1)) mod

;

p q r

(b) ϕ

2|m

i

n

y

h

,

,

s¡

faªszyw

e;

i

jest

tautologi¡

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

dla

k

a»dego

;

(b)

p

(c)

ϕ

przyjm

uje

tak

¡

sam¡

w

arto±¢

jak

wikszo±¢

sp

o±ró

d

zmienn

y

h

,

form

uªy

p

o

wstaªe

z

p

oprzez

zamian

miejs ami

zmienn

y

h

lub

q r

ϕ

,

;

przesta

wienie

na

wiasó

w,

s¡

ró

wno

w

a»ne

.

(c)

p

przyjm

uje

tak

¡

sam¡

w

arto±¢

jak

mniejszo±¢

sp

o±ró

d

zmienn

y

h

,

2

q r

.083

s(ϕ)

ϕ

Nie

h

b

dzie

li zb¡

p

o

dform

uª

form

uªy

.

W

yk

a»,

»e:

,

.

(a) ⌊

d(ϕ)⌋ + 1 ≤ s(ϕ) ≤ d(ϕ) 2.021

ϕ

lg

;

1

ϕ2

ϕn

ψ

Nie

h

,

,

.

.

.

,

b

d¡

form

uªami.

W

yk

a»,

»e

je±li

jest

(b)

n

⌊ 1 n⌋ + 1 ≤ k ≤ n

ϕ

ϕ

dla

k

a»dego

i

k

a»dego

2

istnieje

form

uªa

1 ⇒ (ϕ2 ⇒ . . . (ϕn ⇒ ψ) . . .) tautologi¡,

to

tautologi¡

jest

form

uªa

.

n

s(ϕ) = k

dªugo± i

sp

eªnia

j¡ a

ró

wnanie

.

2.032

ϕ

ψ

Nie

h

b

dzie

form

uª¡

ra

h

unku

zda«,

a

form

uª¡

p

o

wstaª¡

2.093

ϕ

W

yk

a»,

»e

meto

da

rezolu ji

jest

p

opra

wna,

tzn.

dla

k

a»dego

ze-

z

p

oprzez

zanego

w

anie

wszystki

h

wystpuj¡ y

h

w

niej

zmienn

y

h.

sta

wu

dan

y

h

w

ej± io

wy

h

wyk

on

uje

sk

o« zon¡

li zb

krok

ó

w,

p

o

zym

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

st

wierdze«

s¡

pra

wdziw

e:

zwra a

p

opra

wn

y

wynik.

(a) w(ϕ) = w(¬ψ);

(b) ϕ

ψ

2.103

k

Nie

h

b

dzie

li zb¡

naturaln¡.

Na

ile

sp

osob

ó

w

mo»na

wsta

wi¢

jest

tautologi¡

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

jest

tautologi¡;

(c) ϕ

ψ

2k

k

k

q ⇒ ¬r ∨ s

na

wiasó

w

(

ot

wiera

j¡ y

h

i

zam

yk

a

j¡ y

h)

do

napisu

jest

sp

eªnialne

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

jest

sp

eªnialne.

tak,

b

y

otrzyma¢

za

k

a»dym

razem

form

uª

ra

h

unku

zda«?

2.042

tn

2n + 1

Nie

h

b

dzie

li zb¡

tautologii

dªugo± i

zbudo

w

an

y

h

p q

2.113

ϕ

p

p

wyª¡ znie

z

funktora

implik

a ji,

na

wiasó

w

oraz

zmienn

y

h

i

.

W

yk

a»,

1

2

Nie

h

b

dzie

form

uª¡,

w

której

wystpuj¡

zmienne

,

,

c > 1

tn = Ω(cn )

pn

rϕ

»e

istnieje

tak

a

li zba

rze zywista

,

»e

.

.

.

.

,

.

W

yk

a»,

»e

istnieje

takie

wyra»enie

arytmet

y zne

zbudo

w

ane

2.052

n

ze

zmienn

y

h,

na

wiasó

w,

jedynki,

znak

ó

w

mno»enia

i

o

dejmo

w

ania,

»e

W

yzna z

li zb

wszystki

h

form

uª

dªugo± i

zbudo

w

an

y

h

wy-

w(ϕ) = rϕ(w(p

p

1 ), w(p2 ), . . . , w(pn )).

ª¡ znie

z

funktora

nega ji,

na

wiasó

w

i

zmiennej

.

2.124

2.063

W

yk

a»,

»e

nie

mo»na

zdenio

w

a¢

k

oniunk

ji

i

alternat

ywy

za

p

o-

W

yk

a»,

»e

k

a»da

form

uªa

ra

h

unku

zda«

p

osiada

normaln¡

p

o-

mo

¡

ró

wno

w

a»no± i

i

nega ji.

Które

z

p

ozostaªy

h

dwuargumen

to

wy

h

sta¢

suma yjn¡

oraz

normaln¡

p

osta¢

ilo

zyno

w

¡.

funktoró

w

zdaniot

w

ór zy

h

mo»na

zdenio

w

a¢

przy

p

omo

y

ró

wno

w

a»-

2.073

ϕ

p1

Nie

h

b

dzie

form

uª¡

zbudo

w

an¡

wyª¡ znie

ze

zmienn

y

h

,

no± i

i

nega ji?

2

2

Ÿ

.

Ra

h

unek

zda«

O

Zadania

(2)

2.134

W

yzna z

wszystkie

dwuargumen

to

w

e

funktory

zdaniot

w

ór ze,

nat

ywy

i

k

oniunk

ji.

Które

z

p

ozostaªy

h

dwuargumen

to

wy

h

funktoró

w

przy

p

omo

y

który

h

mo»na

zdenio

w

a¢

wszystkie

inne

dwuargumen-

zdaniot

w

ór zy

h

mo»na

zdenio

w

a¢

przy

p

omo

y

alternat

ywy

i

k

oniun-

to

w

e

funktory

zdaniot

w

ór ze.

k

ji?

2.144

W

yk

a»,

»e

nie

mo»na

zdenio

w

a¢

implik

a ji

przy

p

omo

y

alter-

2

2

Ÿ

.

Ra

h

unek

zda«

P