wi zenia
2.014
(c) (p ∨ q) ∧ (r ⇒ ¬r) W
k
a»dym
z
p
oni»szy
h
napisó
w
wsk
a»
na
jdªu»szy
fragmen
t
b
-
;
(d) (r ∧ s) ⇔ (s ⇒ p)
d¡ y
form
uª¡.
Które
z
p
oni»szy
h
napisó
w
nie
s¡
form
uªami
i
dla zego?
;
(a) (p ∧ q)r¬s
(e) ¬(p ∨ p) ∨ ¬(¬s).
;
(b) (p ∧ q) ⇒ r
2
;
.054
Przeksztaª¢
p
oni»sze
form
uªy
do
p
osta i
zbudo
w
an
y
h
wyª¡ z-
(c) ((q ⇒ r) ∧ ¬q);
p
q
nie
z
na
wiasó
w,
funktoró
w
nega ji
i
implik
a ji
oraz
zmienn
y
h
i
.
(d) (((¬q) ⇒ p) ⇒ ¬(s ∨ r)); (a) (q
(
⇒ p) ⇒ (¬(q ∨ p) ⇒ p)
e) ((p ∧ q) ∨ s) ∧ q)
;
⇒ (¬r).
(b) (¬p ⇒ ¬q) ⇒ ((p ∧ q) ⇒ (p ∨ q)); 2.024
(c) (p ⇒ q) ∨ (p ⇒ (q ∧ p)); W
ypisz
wszystkie
p
o
dform
uªy
dla
p
o
dan
y
h
p
oni»ej
form
uª
ra-
(d) (p ∧ (q ∨ ¬p)) ∧ ((¬q ⇒ p) ∨ q); h
unku
zda«.
(
(
a) (p
e) ((p ∧ q)
⇒ q) ⇒ (q ⇒ s)
⇒ ¬p) ⇒ ((p ⇒ ¬q) ⇒ p).
;
(b) (((¬p) ∨ (p)) ∧ (¬q)) 2.064
;
Przeksztaª¢
p
oni»sze
form
uªy
do
p
osta i
zbudo
w
an
y
h
wyª¡ z-
(c) (p ∧ q) ∨ (r ⇒ ¬r) p
q
;
⋆
nie
z
na
wiasó
w,
funktora
oraz
zmienn
y
h
i
.
(d) (r ∨ s) ⇒ (s ⇒ p); (a) (p ⇒ q) ⇒ (¬(q ∨ p) ⇒ p) ⋆ =
(
,
nand ;
e) ¬(p ∧ p) ∨ ¬(¬s).
(b) (¬q ⇒ ¬p) ⇒ ((p ∧ q) ⇒ (q ∨ p)) ⋆ =
,
nor ;
2.034
(c) (q ⇒ p) ∨ (p ⇒ (q ∧ p)) ⋆ =
,
nand ;
Ustal,
które
z
p
oni»szy
h
form
uª
s¡
tautologiami.
Które
z
ni
h
(d) (q ∧ (q ∨ ¬p)) ∧ ((¬q ⇒ p) ∨ p) ⋆ =
,
nor ;
s¡
sp
eªnialne?
Które
s¡
k
on
trtautologiami?
(e) ((q ∧ p)
(a) (p
⇒ ¬p) ⇒ ((p ⇒ ¬q) ⇒ q) ⋆ =
⇒ q) ⇒ (q ⇒ s)
,
nand.
;
(b) (((¬p) ∨ (p)) ∧ (¬q)) 2.074
;
Przeksztaª¢
p
oni»sze
form
uªy
do
na
jkrótszej
mo»liw
ej
p
osta i.
(c) (p ∧ q) ∨ (r ⇒ ¬r); (a) (q ∨ p) ∨ (¬(q ∧ p) ∨ p); (d) (r ∨ s) ⇒ (s ⇒ p); (b) (¬p ∧ ¬q) ⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ q)); (e) ¬(p ∧ p) ∨ ¬(¬s).
(c) (p ∨ q) ∨ (p ∨ (q ∧ p)); 2.044
(d) (p ∧ (q ∨ ¬p)) ∧ ((¬q ∨ p) ∨ q); Przeksztaª¢
p
oni»sze
form
uªy
do
suma yjnej
oraz
ilo
zyno
w
ej
(e) ((p ∧ q) ∧ ¬p) ⇒ ((p ∨ ¬q) ∧ p).
p
osta i
normalnej.
(a) (p ⇔ q) ⇔ (q ⇒ s)
2.084
;
P
o
dane
p
oni»ej
zdania,
zapisane
w
jzyku
naturaln
ym,
prze-
(b) (((¬p) ∧ (p)) ∨ (¬q)); ksztaª¢
do
o
dp
o
wiada
j¡ ej
im
p
osta i
sym
b
oli znej.
Ustal
nastpnie
na
2
2
.
Ra
h
unek
zda«
M
wi zenia
(2)
(c)
a
5
3
tej
p
o
dsta
wie,
zy
s¡
to
zdania
pra
wdziw
e.
je»eli
li zba
aªk
o
wita
dzieli
si
przez
i
dzieli
si
przez
,
to
z
a
3
a
5
faktu,
»e
nie
dzieli
si
przez
,
wynik
a,
»e
nie
dzieli
si
przez
;
(a)
a
3
a
(d) je»eli Jan nie zna logiki, to je±li Jan zna logik, to Jan urodziª si
je»eli
li zba
naturalna
dzieli
si
przez
,
to
z
faktu,
»e
nie
dzieli
3
a
5
w
IV
wieku
p.n.e.;
si
przez
wynik
a,
»e
dzieli
si
przez
;
(b)
a
a
(e) Jan zna logik wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest prawd¡, »e nie jest je»eli
li zba
naturalna
jest
li zb¡
pierwsz¡,
to
o
ile
jest
li zb¡
a
4
pra
wd¡,
»e
Jan
zna
logik
.
zªo»on¡,
to
ró
wna
si
;
2
2
.
Ra
h
unek
zda«
N
Zadania
2.011
p2
pn
P
o
da
j
przykªad
form
uªy
ra
h
unku
zda«,
w
której
wystpuj¡
,
.
.
.
,
,
na
wiasó
w
i
funktora
ró
wno
w
a»no± i.
W
yk
a»,
»e
je±li
zmienna
p q r
pi
mi
ϕ
zmienne
,
,
i
która
wystpuje
razy
w
form
ule
,
to
P
(a)
(a) w(ϕ) = (1 +
n
m
2
jest
pra
wdziw
a
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
dokªadnie
dwie
ze
zmien-
i=1
i · (w(pi ) + 1)) mod
;
p q r
(b) ϕ
2|m
i
n
y
h
,
,
s¡
faªszyw
e;
i
jest
tautologi¡
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
dla
k
a»dego
;
(b)
p
(c)
ϕ
przyjm
uje
tak
¡
sam¡
w
arto±¢
jak
wikszo±¢
sp
o±ró
d
zmienn
y
h
,
form
uªy
p
o
wstaªe
z
p
oprzez
zamian
miejs ami
zmienn
y
h
lub
q r
ϕ
,
;
przesta
wienie
na
wiasó
w,
s¡
ró
wno
w
a»ne
.
(c)
p
przyjm
uje
tak
¡
sam¡
w
arto±¢
jak
mniejszo±¢
sp
o±ró
d
zmienn
y
h
,
2
q r
.083
s(ϕ)
ϕ
Nie
h
b
dzie
li zb¡
p
o
dform
uª
form
uªy
.
W
yk
a»,
»e:
,
.
(a) ⌊
d(ϕ)⌋ + 1 ≤ s(ϕ) ≤ d(ϕ) 2.021
ϕ
lg
;
1
ϕ2
ϕn
ψ
Nie
h
,
,
.
.
.
,
b
d¡
form
uªami.
W
yk
a»,
»e
je±li
jest
(b)
n
⌊ 1 n⌋ + 1 ≤ k ≤ n
ϕ
ϕ
dla
k
a»dego
i
k
a»dego
2
istnieje
form
uªa
1 ⇒ (ϕ2 ⇒ . . . (ϕn ⇒ ψ) . . .) tautologi¡,
to
tautologi¡
jest
form
uªa
.
n
s(ϕ) = k
dªugo± i
sp
eªnia
j¡ a
ró
wnanie
.
2.032
ϕ
ψ
Nie
h
b
dzie
form
uª¡
ra
h
unku
zda«,
a
form
uª¡
p
o
wstaª¡
2.093
ϕ
W
yk
a»,
»e
meto
da
rezolu ji
jest
p
opra
wna,
tzn.
dla
k
a»dego
ze-
z
p
oprzez
zanego
w
anie
wszystki
h
wystpuj¡ y
h
w
niej
zmienn
y
h.
sta
wu
dan
y
h
w
ej± io
wy
h
wyk
on
uje
sk
o« zon¡
li zb
krok
ó
w,
p
o
zym
Ustal,
które
z
p
oni»szy
h
st
wierdze«
s¡
pra
wdziw
e:
zwra a
p
opra
wn
y
wynik.
(a) w(ϕ) = w(¬ψ);
(b) ϕ
ψ
2.103
k
Nie
h
b
dzie
li zb¡
naturaln¡.
Na
ile
sp
osob
ó
w
mo»na
wsta
wi¢
jest
tautologi¡
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
jest
tautologi¡;
(c) ϕ
ψ
2k
k
k
q ⇒ ¬r ∨ s
na
wiasó
w
(
ot
wiera
j¡ y
h
i
zam
yk
a
j¡ y
h)
do
napisu
jest
sp
eªnialne
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
jest
sp
eªnialne.
tak,
b
y
otrzyma¢
za
k
a»dym
razem
form
uª
ra
h
unku
zda«?
2.042
tn
2n + 1
Nie
h
b
dzie
li zb¡
tautologii
dªugo± i
zbudo
w
an
y
h
p q
2.113
ϕ
p
p
wyª¡ znie
z
funktora
implik
a ji,
na
wiasó
w
oraz
zmienn
y
h
i
.
W
yk
a»,
1
2
Nie
h
b
dzie
form
uª¡,
w
której
wystpuj¡
zmienne
,
,
c > 1
tn = Ω(cn )
pn
rϕ
»e
istnieje
tak
a
li zba
rze zywista
,
»e
.
.
.
.
,
.
W
yk
a»,
»e
istnieje
takie
wyra»enie
arytmet
y zne
zbudo
w
ane
2.052
n
ze
zmienn
y
h,
na
wiasó
w,
jedynki,
znak
ó
w
mno»enia
i
o
dejmo
w
ania,
»e
W
yzna z
li zb
wszystki
h
form
uª
dªugo± i
zbudo
w
an
y
h
wy-
w(ϕ) = rϕ(w(p
p
1 ), w(p2 ), . . . , w(pn )).
ª¡ znie
z
funktora
nega ji,
na
wiasó
w
i
zmiennej
.
2.124
2.063
W
yk
a»,
»e
nie
mo»na
zdenio
w
a¢
k
oniunk
ji
i
alternat
ywy
za
p
o-
W
yk
a»,
»e
k
a»da
form
uªa
ra
h
unku
zda«
p
osiada
normaln¡
p
o-
mo
¡
ró
wno
w
a»no± i
i
nega ji.
Które
z
p
ozostaªy
h
dwuargumen
to
wy
h
sta¢
suma yjn¡
oraz
normaln¡
p
osta¢
ilo
zyno
w
¡.
funktoró
w
zdaniot
w
ór zy
h
mo»na
zdenio
w
a¢
przy
p
omo
y
ró
wno
w
a»-
2.073
ϕ
p1
Nie
h
b
dzie
form
uª¡
zbudo
w
an¡
wyª¡ znie
ze
zmienn
y
h
,
no± i
i
nega ji?
2
2
.
Ra
h
unek
zda«
O
Zadania
(2)
2.134
W
yzna z
wszystkie
dwuargumen
to
w
e
funktory
zdaniot
w
ór ze,
nat
ywy
i
k
oniunk
ji.
Które
z
p
ozostaªy
h
dwuargumen
to
wy
h
funktoró
w
przy
p
omo
y
który
h
mo»na
zdenio
w
a¢
wszystkie
inne
dwuargumen-
zdaniot
w
ór zy
h
mo»na
zdenio
w
a¢
przy
p
omo
y
alternat
ywy
i
k
oniun-
to
w
e
funktory
zdaniot
w
ór ze.
k
ji?
2.144
W
yk
a»,
»e
nie
mo»na
zdenio
w
a¢
implik
a ji
przy
p
omo
y
alter-
2
2
.
Ra
h
unek
zda«
P