3

Ÿ

.

Ra

h

unek

predyk

ató

w

3

Predyk

at

y

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

A

3

K

w

an

t

yk

atory

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

B

3

F

orm

uªy

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

C

3

Pra

w

a

ra

h

unku

predyk

ató

w

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

D

3

‚

wi zenia

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

F

3

Zadania

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

G

Predyk

at

y

☛ Predykat jest poj iem pierwotnym logiki; ka»dy predykat posiada ustalon¡ li zb argumentów, zwan¡

jego

ar

gumentowo± i¡

oraz

ustalone

zakresy

zmienno± i

argumen

tó

w.

☛ Predykaty nazywane s¡ niekiedy funk jami zdaniowymi , bo staj¡ si zdaniami, gdy za i h argumenty

p

o

dsta

wim

y

w

arto± i

wzite

z

o

dp

o

wiedni

h

zakresó

w

zmienno± i.

☛

0

W

szystkie

zdania

s¡

predyk

atami

predyk

at

-argumen

to

wy

i

zdanie

to

synonim

y

.

W

ystpuj¡ e

dalej

P

Q

predyk

at

y

b

d¡

ozna zane

literami

i

.

☛ Zmienne zdaniowe s¡ jednoargumentowymi predykatami. Przykªadem predykatu dwuargumentowego x = y

jest

rela ja

ró

wno± i

.

☛ Predykaty reprezentuj¡ te spo±ród zda« jzyka naturalnego, które zawieraj¡ zmienne i które staj¡ si

pra

wdziw

e

lub

faªszyw

e,

gdy

za

te

zmienne

p

o

dsta

wim

y

w

arto± i

z

i

h

zakresu.

3

3

Ÿ

.

Ra

h

unek

predyk

ató

w

A

K

w

an

t

yk

atory

☛ Kwantykatory s¡ wykorzystywane w jzyku naturalnym i w logi e do wyra»ania wªasno± i wszystki h

lub

niektóry

h

obiektó

w

z

zakresu

zmienno± i

zmienn

y

h,

który

h

dot

y z¡.

☛ Istniej¡ dwa kwantykatory:

∀xP(x)

x

P(x)

o

gólny

(uniwersalny

);

zytam

y:

dla

k

a»dego

za

ho

dzi

;

∃xP(x)

x

P(x)

sz ze

góªowy

(e

gzysten jalny

);

zytam

y:

istnieje

takie

,

»e

.

☛

x

X = {x

∀

∃

1, x2, . . . , xn}

xP(x)

xP(x)

Je»eli

zmienna

ma

sk

o« zon

y

zakres

zmienno± i

,

to

zdanie

(

)

jest

P(x1) ∧ P(x2) ∧ . . . ∧ P(xn) P(x1) ∨ P(x2) ∨ . . . ∨ P(xn) ró

wno

w

a»ne

zdaniu

(

).

☛ Aby skró i¢ zapis niektóry h formuª ra hunku predykatów, bdziemy korzysta¢ z kilku skrótowy h

zapisó

w.

Przyjm

ujem

y

w

sz zególno± i,

»e:

∃!

∀

xP(x) ⇔ (∃xP(x)) ∧ (∀x y((P(x) ∧ P(y)) ⇒ (x = y)))

;

∃

∀

Q(x)P(x) ⇔ ∃x(Q(x) ∧ P(x)) Q(x)P(x) ⇔ ∀x(Q(x) ⇒ P(x))

i

.

☛

∃!

∃

∀

xP(x)

x

P(x)

Q(x)P(x)

Q(x)P(x)

Napis

zytam

y:

istnieje

dokªadnie

jedno

takie,

»e

;

(

)

zytam

y:

x

Q(x)

P(x)

x

Q(x)

P(x)

istnieje

takie

,

»e

i

(dla

k

a»dego

,

o

ile

,

to

).

3

3

Ÿ

.

Ra

h

unek

predyk

ató

w

B

F

orm

uªy

☛ Formuªami ra hunku predykatów nazywa¢ bdziemy te i tylko te napisy, które mo»na zbudowa¢ wskutek zastoso

w

ania

sk

o« zon¡

li zb

razy

p

oni»szy

h

reguª.

(1)

P

n

x1 x2

xn

P(x1, x2, . . . , Je»eli

jest

-argumen

to

wym

predyk

atem,

a

,

,

.

.

.

,

s¡

zmienn

ymi

lub

staªymi,

to

xn) jest (atomow¡) formuª¡ ra hunku predykatów.

(2)

ϕ

x

(ϕ) ¬ϕ ∀

∃

xϕ

xϕ

Je»eli

jest

form

uª¡

ra

h

unku

predyk

ató

w,

a

jest

zmienn¡,

to

,

,

i

s¡

form

uªami

ra

h

unku

predyk

ató

w.

(3)

ϕ

ψ

(ϕ ∧ ψ) (ϕ ∨ ψ) (ϕ ⇒ ψ) (ϕ ⇔ ψ)

Je»eli

i

s¡

form

uªami

ra

h

unku

predyk

ató

w,

to

,

,

i

s¡

form

uªami

ra

h

unku

predyk

ató

w.

☛ Formuªy ra hunku zda« s¡ równo ze±nie formuªami ra hunku predykatów, wi oba typy formuª bd¡

ϕ ψ

φ

ozna zane

t

ymi

sam

ymi

sym

b

olami,

tzn.

,

i

.

☛

x

ϕ

x

Zmienna

jest

zmienn¡

woln¡

form

uªy

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

istnieje

takie

miejs e,

w

którym

ϕ

ϕ

∃

∀

xψ

xψ

wystpuje

w

,

a

które

nie

nale»y

do

»adnej

p

o

dform

uªy

form

uªy

p

osta i

lub

.

☛

ϕ

Zmienne,

które

wystpuj¡

w

form

ule

,

a

nie

s¡

w

olne,

to

zmienne

zwi¡zane

.

Domkni

iem

form

uªy

ϕ

∀

∀

x

x . . . ∀x ϕ

x1 x2

xn

ϕ

nazyw

a¢

b

dziem

y

zdanie

1

2

n

,

gdzie

,

,

.

.

.

,

to

wszystkie

zmienne

w

olne

form

uªy

.

☛

ϕ

x1

Napis

p

o

wstaªy

z

p

oprzez

zamian

wszystki

h

wyst¡

pie«

zmiennej

w

olnej

na

(zmienn¡,

staª¡

lub

y1 x2

y2

xn

yn

ϕ(x1 := y1, x2 := y2, . . . , xn := yn) form

uª)

,

na

,

.

.

.

,

na

ozna za¢

b

dziem

y

sym

b

olem

.

3

3

Ÿ

.

Ra

h

unek

predyk

ató

w

C

Pra

w

a

ra

h

unku

predyk

ató

w

☛

ϕ

F

orm

uªa

jest

pr

awem

r

a hunku

pr

e

dykatów

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

domkni ie

k

a»dej

z

form

uª,

ϕ

które

p

o

wsta

j¡

z

p

oprzez

zast¡

pienie

wystpuj¡ y

h

w

niej

predyk

ató

w

inn

ymi

predyk

atami

o

tej

samej

argumen

to

w

o± i

jest

zdaniem

pra

wdziwym.

☛

ϕ

ψ

Istnieje

wiele

pra

w

ra

h

unku

predyk

ató

w;

oto

niektóre

z

ni

h

(

i

to

do

w

olne

form

uªy;

zakªadam

y

,

x

ψ

»e

nie

jest

zmienn¡

w

oln¡

w

):

(∀xϕ) ⇒ ϕ ϕ ⇒ (∃xϕ)

i

;

(¬∀xϕ) ⇔ (∃x¬ϕ) (¬∃xϕ) ⇔ (∀x¬ϕ)

i

(pra

w

a

de

Morgana);

∀

∀

x(ϕ ∧ ψ) ⇔ (∀xϕ ∧ ψ) x(ϕ ∨ ψ) ⇔ (∀xϕ ∨ ψ)

i

;

∃

∃

x(ϕ ∧ ψ) ⇔ (∃xϕ ∧ ψ) x(ϕ ∨ ψ) ⇔ (∃xϕ ∨ ψ)

i

;

∀

∀

x(ϕ ⇒ ψ) ⇔ (∃xϕ ⇒ ψ) x(ψ ⇒ ϕ) ⇔ (ψ ⇒ ∀xϕ)

i

;

∃

∃

x(ϕ ⇒ ψ) ⇔ (∀xϕ ⇒ ψ) x(ψ ⇒ ϕ) ⇔ (ψ ⇒ ∃xϕ)

i

;

∀

∃

xϕ ⇔ ∀yϕ(x := y)

xϕ ⇔ ∃yϕ(x := y)

y

ϕ

i

(o

ile

nie

wystpuje

w

);

∀ ∀

∀

∃ ∃

∃

∃ ∀

∃

x yϕ ⇔ ∀y xϕ

x yϕ ⇔ ∃y xϕ

x yϕ ⇒ ∀y xϕ

,

i

.

☛ Nie istnieje algorytm, który potraªby odpowiedzie¢ na pytanie, zy dana formuªa jest prawem ra hunku

predyk

ató

w.

Istnieje

za

to

algorytm,

który

dla

form

uª

b

d¡ y

h

pra

w

ami

ra

h

unku

predyk

ató

w

zwra a

o

dp

o

wied¹

tak,

a

dla

p

ozostaªy

h

nie

k

o« zy

si.

3

3

Ÿ

.

Ra

h

unek

predyk

ató

w

D

Pra

w

a

ra

h

unku

predyk

ató

w

(2)

☛

1

T

o,

zy

dana

form

uªa

nie

za

wiera

j¡ a

predyk

ató

w

o

argumen

to

w

o± i

wikszej

ni»

jest

pra

w

em

ra-

h

unku

predyk

ató

w,

mo»na

spra

wdzi¢

k

orzysta

j¡

ze

zmo

dykowany h

tab

elek

zer

oje

dynkowy h

.

☛

(P(x) ⇔ Q(x)) ∨ ∃yQ(y) Dziaªanie

tej

meto

dy

zademonstrujem

y

na

przykªadzie

form

uªy

,

która

p

o

∀x((P(x) ⇔ Q(x)) ∨ ∃yQ(y)) domkni iu

sta

je

si

zdaniem

.

☛ Tworzymy tabelk, której pierwsze ztery kolumny wypeªniamy wszystkimi mo»liwymi warto± iami

∃

∃

∃

∃

x(P(x) ∧ Q(x))

x(P(x) ∧ ¬Q(x))

x(¬P(x) ∧ Q(x))

x(¬P(x) ∧ ¬Q(x))

zda«

,

,

i

.

☛

∃

∃

yQ(y)

x((P(x) ∧ ¬Q(x)) ∨ (¬P(x) ∧

P

ozostaªe

k

olumn

y

wyp

eªniam

y

w

arto± iami

logi zn

ymi

zda«

,

Q(x)))

∀x((P(x) ⇔ Q(x)) ∨ ∃yQ(y)) i

.

☛

∃

∃

yQ(y)

x((P(x) ∧ ¬Q(x)) ∨ (¬P(x) ∧ Q(x))) W

arto± i

zda«

i

umiesz zono

w

tab

el e

t

ylk

o

p

o

to,

b

y

∀x((P(x) ⇔ Q(x)) ∨ ∃yQ(y)) upro± i¢

obli zenie

w

arto± i

zdania

.

Q(y))

∃ (P(x) ∧ Q(x))

(P(x) ∧ ¬Q(x))

(¬P(x) ∧ Q(x))

(¬P(x) ∧ ¬Q(x))

Q(y)

((P(x) ∧ ¬Q(x))

((P(x) ⇔ Q(x))

x

∃x

∃x

∃x

∃y

∃x

∨(¬P(x) ∧ Q(x)))

∀x

∨∃y

0

0

0

1

0

0

1

.

.

.

1

1

1

1

1

1

1

3

3

Ÿ

.

Ra

h

unek

predyk

ató

w

E