Zadania

4.012

4.062

Sk

onstruuj do

w

o

dy

dla

nastpuj¡ y

h

tautologii: Ustal,

o

b

dzie

t

wierdzeniem ra

h

unku

zda«,

je»eli

za

ho

w

am

y

(a) q ⇒ (p ⇒ p)

{({ϕ,ϕ ⇒ ψ}, aksjomat y

,

a

reguª

o

dryw

ania

zast¡

pim

y

reguª¡

p

osta i

;

(b) ¬p ⇒ ¬p

{ψ, ¬ψ}): ϕ, ψ

}

to

do

w

olne

form

uªy

.

.

4.022

ϕ1 = (p ⇒ p) ϕ1

4.072

Nie

h

.

Sk

onstruuj do

w

ó

d

dla

tautologii oraz

Ustal,

zy

za

ho

wuj¡

reguª

o

dryw

ania

jak

o

jedyn¡

reguª

do-

tautologii dan

y

h

wzorem:

w

o

dzenia

mo»na

zmieni¢

ukªad

aksjomató w

ra

h

unku

zda«

w

taki

sp

o-

(a) ϕn+1 = (p ⇒ ϕn) n > 1

sób,

»e

ho

ia»

jedno

t

wierdzenie nie

b

dzie

aksjomatem, a

t

wierdzeniami dla

;

(b) ϕn+1 = ((p ⇒ p) ⇔ ϕn) n > 1

b

d¡:

dla

.

4.032

n

n

(a) tylko i wyª¡ znie kontrtautologie; Ustal,

dla

jaki

h

istnieje tautologia dªugo± i

nie

b

d¡ a

(b) tylko i wyª¡ znie formuªy speªnialne; aksjomatem ra

h

unku

zda«.

(c)

4.042

ϕ

wszystkie form

uªy

.

1

ϕ2

ϕn

Nie

h

,

,

.

.

.

,

b

dzie

do

w

o

dem

w

ra

h

unku

zda«.

W

y-

4

k

a»,

»e:

.083

P

o

da

j

na

jkrótszy mo»liwy

do

w

ó

d

pra

w

a

wyª¡ zonego

±ro

dk

a,

(a)

i

j ≤ i

ϕi

p ∨ ¬p

tj.

tautologii

.

dla

k

a»dego

istnieje takie

,

»e

jest

p

o

dform

uª¡

aksjomatu ϕj;

4

(b)

ϕ

.094

n

Ustal,

zy

istnieje tak

a

li zba

,

»e

k

a»da

tautologia ma

do

w

ó

d

1

ϕ2

ϕn

na

jdªu»sza z

form

uª

,

,

.

.

.

,

jest

aksjomatem.

n

dªugo± i

nie

wikszej ni»

.

4.052

ϕ1 ϕ2

ϕn

Nie

h

,

,

.

.

.

,

b

dzie

na

jkrótszym mo»liwym do

w

o

dem

ϕn

ϕ1 ϕ2

ϕn

k

4.104

tautologii

.

W

yk

a»,

»e

je»eli

w

i¡

gu

,

,

.

.

.

,

wystpuje P

W

yk

a»,

»e

form

uªa

ra

h

unku

zda«

jest

tautologi¡

wtedy

i

t

ylk

o

ϕ

k

i

ϕi

ϕi

n ≤

d(ϕi )

aksjomató w

1 ,

2 , . . . , k , to

j=1

j .

wtedy

,

gdy

jest

t

wierdzeniem ra

h

unku

zda«.

4

4

Ÿ

.

Sformalizo w

ane

teorie

matemat

y zne

G