‚

wi zenia

7.014

7.044

u

∈u

W

yzna z

dziedzin

y

i

prze iwdziedzin

y

p

oni»szy

h

rela ji.

Które

Ustal,

dla

który

h

z

p

oni»szy

h

zbioró

w

rela ja

jest

rela j¡

z

t

y

h

rela ji

s¡

funk

jami?

z± io

w

ego

p

orz¡dku.

(a) {(∅, ∅), ({∅}, ∅), (∅, {∅})}; (a) u = P(S({∅})); (b) {(x, y): x,y ∈ P(P({∅})) ∧ x ( y}; (b) u = P(P({{∅}})); (c) {(x, y): x,y ∈ P(P({∅})) ∧ x ∈ y}; (c) u = S(P({{∅}})); (d) {(x, (y,z)): x,y ∈ z ∧ z ∈ P(P({∅}))}; (d) u = S(S({∅})); (e) {(x, y): x,y ∈ P(P({∅})) ∧ x = S y}.

(e) u = {S({∅}), {P({∅})}}; 7.024

Które

rela je

z

p

oprzedniego

zadania

s¡:

7.054

u

∈

(

u

a)

Ustal,

dla

który

h

zbioró

w

z

p

oprzedniego

zadania

rela je

,

zwrotne/prze iwzwrotne

w

sw

o

jej

dziedzinie/prze iwdziedzinie?

⊆

(

u

b)

s¡

linio

wymi

p

orz¡dk

ami.

Które

z

ni

h

s¡

dobrymi

p

orz¡dk

ami?

symetry zne/an

t

ysymetry zne

w

sw

o

jej

dziedzinie/prze iwdziedzi-

nie?

7.064

W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

przypadk

ó

w

wyzna z

elemen

t

y

mini-

(c) prze hodnie w swojej dziedzinie/prze iwdziedzinie?

∈u

⊆u

malne,

maksymalne,

na

jmniejsze

i

na

jwiksze

dla

rela ji

i

.

(d) spójne w swojej dziedzinie/prze iwdziedzinie?

(a) u = S(S({∅})); 7.034

u = {∅, {∅}}

Nie

h

.

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

funk

ji

s¡

bijek-

(b) u = S({∅, {{∅}}}); jami,

suriek

jami

lub

injek

jami.

(c) u = {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}; (a) f: P(u) × P(u) → P(u) f((v,w)) = v ∪ w (d) u = {S({∅}), {P({∅})}}

,

;

;

(b) f: P(u) × P(u) → P(u) f((v,w)) = v ∩ w (e) u = S(S(P({∅})))

,

;

.

(c) f: P(u) × P(u) → P(u) f((v,w)) = v ÷ w

,

;

(d) f: P(P(u)) → P(u) f(v) = S v 7.074

u

,

;

Ustal,

dla

który

h

z

p

oprzedniego

zadania

zbiory

z± io

w

o

(e) f: P(P(u)) → P(u) f(v) = u \ v (u, ∈u ) (u, ⊆u)

,

.

up

orz¡dk

o

w

ane

,

s¡

izomor zne.

7

7

Ÿ

.

F

unk

je,

rela je

i

p

orz¡dki

O

Zadania

7.012

u

u∅

∅u

(a) f(x) =

{y ∈ v: ∀z<

Nie

h

b

dzie

zbiorem.

Obli z

i

.

min

R x f(z) <S y}; (b) f[

(u, x,6

(v,f(x),6

7.022

R )] =

S )

pred

pred

.

W

yk

a»,

»e

skªadanie

rela ji

jest

op

era j¡

ª¡ zn¡.

Czy

jest

ona

7.102

(u, 6

v ⊆ u

przemienna?

Czy

p

osiada

elemen

t

neutraln

y?

R )

Nie

h

b

dzie

zbiorem

dobrze

up

orz¡dk

o

w

an

ym,

a

7.032

R

x ∈ v y ∈ u

y <R x

zbiorem

o

nastpuj¡ ej

wªasno± i:

je»eli

,

oraz

,

to

W

yk

a»,

»e

rela ja

jest

y ∈ v

v

(a)

u

=

.

W

yk

a»,

»e

jest

o

d inkiem.

u ⊆ R

zwrotna

w

zbiorze

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

;

(b)

D(R) ∪ D∗(R)

7.112

(u, 6

prze

ho

dnia

w

zbiorze

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

R )

Nie

h

b

dzie

zbiorem

dobrze

up

orz¡dk

o

w

an

ym.

W

yk

a»,

RR ⊆ R

x, y ∈ u

x 6

(u, x, 6

(u,y,6

;

R y ⇔

R ) ⊆

R )

»e

je±li

,

to

pred

pred

.

(c)

D(R) ∪ D∗(R)

symetry zna

w

zbiorze

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

7

R−1 ⊆ R

.122

u

Ustal,

zy

istnieje

taki

niepust

y

zbiór

,

»e

.

(a) ∈

u

7.042

f: u

u jest symetry zne w

;

→ v

g: v → u

W

yk

a»,

»e

je±li

i

s¡

takimi

funk

jami,

»e

(b) ∈

u

gf(x) = x

x ∈ u

g

f

u jest prze hodnie w

;

dla

k

a»dego

,

to

jest

suriek

j¡,

a

injek

j¡.

(c) ∈u

u

jest

rela j¡

ró

wno

w

a»no± i

w

.

7.052

Ustal,

zy

zªo»enie

rela ji,

które

s¡

z± io

wymi

p

orz¡dk

ami

w

7

u

u

.132

u

Ustal,

zy

istnieje

taki

niepust

y

zbiór

,

»e

zbiorze

m

usi

b

y¢

rela j¡

z± io

w

ego

p

orz¡dku

w

zbiorze

.

(a) ∈

u

7.062

(u,

u

6

jest

p

orz¡dkiem

z± io

wym

w

,

ale

nie

jest

linio

wym

p

orz¡d-

R )

W

yk

a»,

»e

je±li

jest

zbiorem

linio

w

o

up

orz¡dk

o

w

an

ym

i

v ⊆ u

x

v

kiem;

,

to

jest

elemen

tem

minimaln

ym

zbioru

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

(b) ∈u

u

jest

linio

wym

p

orz¡dkiem

w

,

ale

nie

jest

dobrym

p

orz¡dkiem;

gdy

jest

elemen

tem

na

jmniejszym.

(c) ∈u

u

jest

dobrym

p

orz¡dkiem

w

.

7.072

Czy

rela ja

o

dwrotna

do

rela ji

z± io

w

ego

(linio

w

ego,

dobrego)

7.142

u

⊆u

Ustal,

zy

istnieje

taki

niepust

y

zbiór

,

»e

jest

rela j¡

do-

p

orz¡dku

jest

rela j¡

z± io

w

ego

(linio

w

ego,

dobrego)

p

orz¡dku?

P(u)

brego

p

orz¡dku

w

.

7.082

(u, 6R)

Ustal,

zy

istnieje

taki

zbiór

z± io

w

o

up

orz¡dk

o

w

an

y

,

v ⊆ u

7.152

u

W

yzna z

wszystkie

zbiory

,

dla

który

h

istnieje

dokªadnie

»e

k

a»de

p

osiada

ograni zenie

dolne

i

6

(a) 6

R ⊆ u × u

jedna

rela ja

dobrego

p

orz¡dku

.

R

u

nie

jest

linio

wym

p

orz¡dkiem

w

;

(b) 6R

7.162

g: u → u

jest

linio

wym

p

orz¡dkiem,

ale

nie

jest

dobrym

p

orz¡dkiem.

W

yk

a»,

»e

je±li

jest

bijek

j¡,

to

7.092

(u,6R) (v,6S)

(a) S

fx = S

f

Nie

h

i

b

d¡

zbiorami

dobrze

up

orz¡dk

o

w

an

ymi.

x∈u

x∈u

g(x) ;

f: u → v

x ∈ u

(b) T

fx = T

f

W

yk

a»,

»e

je»eli

jest

izomorzmem,

to

dla

k

a»dego

mam

y

x∈u

x∈u

g(x) .

7

7

Ÿ

.

F

unk

je,

rela je

i

p

orz¡dki

P

Zadania

(2)

7.172

(a) T

S

f

T

f

W

yzna z

wszystkie

takie

zbiory

z± io

w

o

up

orz¡dk

o

w

ane

x∈v

y∈w

(x,y) = Sg∈wv

x∈v

(x,g(x)) ;

(u, 6

T

S

R )

6R ⊆ u × u

(b) S

f

f

,

»e

jest

rela j¡

ró

wno

w

a»no± i.

x∈v

y∈w

(x,y) = Tg∈wv

x∈v

(x,g(x)) .

7.183

g

v ⊆ D(g)

u = S

gx

7.203

u

v

Nie

h

oraz

b

d¡

zbiorami.

W

yk

a»,

»e

istnienie

injek

ji

prze-

W

yk

a»,

»e

je±li

jest

funk

j¡,

i

x∈v

,

to

(a) S

f

S

f

u

v

ksztaª a

j¡ ej

w

jest

ró

wno

w

a»ne

z

istnieniem

suriek

ji

przeksztaª a-

x∈u

x = Sy∈v

z∈g(y)

z ;

(b) T

f

T

f

v

u

j¡ ej

w

.

x∈u

x = Ty∈v

z∈g(y)

z .

7.213

u

7.193

u = v × w

v

w

W

yk

a»,

»e

dla

k

a»dej

ro

dzin

y

niepust

y

h

zbioró

w

istnieje

tak

a

Je»eli

dla

p

ewn

y

h

zbioró

w

i

,

to

f: u → S u

f(x) ∈ x

x ∈ u

funk

ja

,

»e

dla

k

a»dego

.

7

7

Ÿ

.

F

unk

je,

rela je

i

p

orz¡dki

Q