wi zenia
8.012
(a) u = {0} 6R=∈u
Ustal,
które
z
p
oni»szy
h
zbioró
w
s¡
zbiorami
prze
ho
dnimi.
,
;
(b) u = {1, 2,4, 6} 6R=⊆u Które
z
ni
h
s¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi?
,
;
(a) (∅, {∅})
(c) u = {0, {3}, 4,5} 6R=∈u
,
;
;
(b) {{∅}, {{∅}}}
(d) u = {1, 2,3, 4, ω} 6R=⊆u
,
;
;
(c) {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
(e) u = {1, 6,ω, ω ∪ {ω}} 6R=∈u
,
.
;
(d) {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}
8
;
.062
W
k
a»dym
z
p
oni»szy
h
przypadk
ó
w
wyzna z
t
yp
p
orz¡dk
o
wy
(e) {{∅}, (∅, ∅)}
(
.
u, 6R)
zbioru
.
8.022
(a) u = {ω · n + m: n ≤ 2 ∧ m ∈ ω} 6R=∈u
,
;
Ustal,
które
z
p
oni»szy
h
zbioró
w
s¡
zbiorami
prze
ho
dnimi.
(b) u = ω ∪ {ω + 2, ω + ω} 6R=⊆u
,
;
Które
z
ni
h
s¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi?
(a) {0, {0}, 1,{1}}
(c) u = {n ∈ ω: 2|n} 6R=∈u
,
;
;
(b) {0, 1, 2,3, 4}
(d) u = ω · 2 \ ω 6R=⊆u
,
;
;
(c) {0, 1, 2,{3}, {4}}
(e) u = ω ∪ {ω, ω ∪ {ω}} 6R=∈u
,
.
;
(d) {0, 2, 3,{2, 3}}
8.072
;
W
k
a»dym
z
p
oni»szy
h
przypadk
ó
w
obli z
reszt
oraz
iloraz
z
(e) {0, 1, {2,{3, 4}}}
α
β
.
dzielenia
przez
.
8.032
(a) α = ω[3] · 2 + ω · 2 + 3 β = ω + 1
,
;
Obli z
sum,
przekró
j
i
przekró
j
sum
y
dla
nastpuj¡ y
h
zbio-
(b) α = ω[2] · 3 + ω β = 2
,
;
ró
w:
(a) {0, {0}, 1,{1}}
(c) α = ω[3] · 4 + ω + 2 β = ω[2] + 3
,
;
;
(b) {1, 2, 3,4}
(d) α = ω[4] + ω β = ω + 1
,
;
;
(c) {1, 2, {3},{4}}
(e) α = ω[3] · 3 + ω + 5 β = 4
,
.
;
(d) {2, 3, {2,3}}
8.082
;
W
k
a»dym
z
p
oni»szy
h
przypadk
ó
w
obli z
sum
i
ilo
zyn
li zb
(e) {1, {2, {3,4}}}
α β
.
,
.
8.042
(a) α = ω[3] · 2 + ω · 2 + 3 β = ω + 1
,
;
Które
z
otrzyman
y
h
w
p
oprzednim
zadaniu
zbioró
w
s¡
prze-
(b) α = ω[2] · 3 + ω β = 2
,
;
ho
dnie?
Które
z
ni
h
s¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi?
(c) α = ω[3] · 4 + ω + 2 β = ω[2] + 3
,
;
8.052
W
k
a»dym
z
p
oni»szy
h
przypadk
ó
w
wyzna z
t
yp
p
orz¡dk
o
wy
(d) α = ω[4] + ω β = ω + 1
(
,
;
u, 6R)
zbioru
.
(e) α = ω[3] · 3 + ω + 5 β = 4
,
.
8
8
.
Li zb
y
p
orz¡dk
o
w
e
R
Zadania
8.012
u 6= ∅
8.082
u
Ustal,
zy
istnieje
taki
zbiór
prze
ho
dni
,
»e:
Nie
h
b
dzie
niepust
ym
zbiorem,
którego
elemen
tami
s¡
li zb
y
(a) ∈u
u
p
orz¡dk
o
w
e.
W
yk
a»,
»e:
nie
jest
rela j¡
prze
ho
dni¡
w
;
(b)
x ∈ u
(a)
u = T u
istnieje
,
które
nie
jest
zbiorem
prze
ho
dnim;
min
;
(c)
x ∈ u
(b) S u
»adne
nie
jest
zbiorem
prze
ho
dnim.
jest
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡.
8.022
u v
8.092
α
Nie
h
i
b
d¡
zbiorami.
W
yzna z
form
uª
teoriomnogo± io
w
¡
Nie
h
b
dzie
niepust¡
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡.
W
yk
a»,
»e
nast-
ró
wno
w
a»n¡
nastpuj¡ em
u
st
wierdzeniu:
puj¡ e
w
arunki
s¡
ró
wno
w
a»ne:
(a) u
(a) α
jest
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡;
jest
grani zn¡
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡;
(b) u
(b) α = S α
jest
grani zn¡
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡;
;
(c) f
u
(c) α
jest
i¡
giem
p
ozask
o« zon
ym
t
ypu
.
nie
p
osiada
elemen
tu
na
jwikszego.
8.032
u
8.102
α · β
W
yk
a»,
»e
je»eli
jest
niepust
ym
zbiorem
prze
ho
dnim
(li zb¡
W
yk
a»,
»e
jest
grani zn¡
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡
wtedy
i
t
ylk
o
S(u) T u
S u
α
β
p
orz¡dk
o
w
¡),
to
,
i
s¡
zbiorami
prze
ho
dnimi
(li zbami
wtedy
,
gdy
lub
jest
grani zn¡
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡.
p
orz¡dk
o
wymi).
8.112
α β
γ
Nie
h
,
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e
je-
8.042
u
P(u)
α < β
γ + α < γ + β
α < β
W
yk
a»,
»e
je»eli
jest
zbiorem
prze
ho
dnim,
to
jest
zbio-
»eli
,
to
.
Czy
pra
wd¡
jest,
»e
je»eli
,
to
P(u)
u
α + γ < β + γ
rem
prze
ho
dnim.
Czy
m
usi
b
y¢
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡,
je»eli
jest
?
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡?
8.122
α β γ
α = β+γ
Nie
h
,
i
b
d¡
takimi
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi,
»e
.
8.052
α
β
Nie
h
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e:
W
yk
a»,
»e:
(a) 6αβ
(α × {0}) ∪ (β × {1})
(a) β ≤ α γ ≤ α
jest
dobrym
p
orz¡dkiem
w
;
i
;
(b) 6∗
β × α
(b)
γ > 0
β < α
αβ jest dobrym porz¡dkiem w
.
je±li
,
to
.
8.062
α
β
8.132
α β
α ≥ β
Nie
h
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e
je±li
,
Nie
h
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e
(a) α ≤ β
α < S(β)
γ
α = β + γ
to
istnieje
dokªadnie
jedna
tak
a
li zba
p
orz¡dk
o
w
a
,
»e
.
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
;
(b) α < β
S(α) ≤ β
8
wtedy
i
t
ylk
o
wtedy
,
gdy
.
.142
α
β
Nie
h
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
Czy
pra
wd¡
jest,
»e
8.072
α
β
α ≥ β
γ
je»eli
,
to
istnieje
dokªadnie
jedna
tak
a
li zba
p
orz¡dk
o
w
a
,
»e
Nie
h
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e:
α = γ + β
(a)
α · ω ≤ β
α + β = β
?
je±li
,
to
;
(b)
β < α · ω
α + β > β
8.152
α β
γ 6= 0
je±li
,
to
.
Nie
h
,
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e
8
8
.
Li zb
y
p
orz¡dk
o
w
e
S
Zadania
(2)
α < β
γ · α < γ · β
α < β
α ≤ β
γ · α ≤ γ · β α · γ ≤ β · γ
je»eli
,
to
.
Czy
pra
wd¡
jest,
»e
je»eli
,
to
,
to
i
.
α · γ < β · γ?
8.212
W
yk
a»,
»e
suma,
ró»ni a,
ilo
zyn,
iloraz
i
reszta
z
dzielenia
li zb
8.162
α β
γ
Nie
h
,
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e
je»eli
naturaln
y
h
to
li zb
y
naturalne.
α ≤ β
γ + α ≤ γ + β α + γ ≤ β + γ
,
to
i
.
8.222
W
yk
a»,
»e:
8.172
α < ω[i] i > 0
W
yk
a»,
»e
je±li
(
),
to
istniej¡
takie
li zb
y
natu-
n
(a) dodawanie i mno»enie li zb porz¡dkowy h jest ª¡ zne;
i−1
ni−2
n0
α = ω[i−1] · ni−1 + ω[i−2] · ni−2 + . .. +
ralne
,
,
.
.
.
,
,
»e
ω[0] · n
(b) dodawanie i mno»enie li zb naturalny h jest przemienne.
0 .
8.182
α 6= 1
β > 0
8.233
(xn)n<ω
xn ∈ xn−1
W
yk
a»,
»e
nie
istnieje
taki
i¡
g
,
»e
dla
Ustal,
zy
istniej¡
takie
li zb
y
p
orz¡dk
o
w
e
i
,
»e:
(a) β · α = β
n > 0
k
a»dego
.
;
(b) α · β = β
8
.
.243
u
v
W
yk
a»,
»e
dla
k
a»dego
zbioru
istnieje
taki
zbiór
prze
ho
dni
,
8.192
α ≥ ω
u ∈ v
»e
.
W
yk
a»,
»e
je±li
jest
li zb¡
p
orz¡dk
o
w
¡,
to
istnieje
tak
a
n
β
α = β + n
li zba
naturalna
i
grani zna
li zba
p
orz¡dk
o
w
a
,
»e
.
8.253
α 6= 0 β
Nie
h
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e
istnieje
8.202
α β
γ
(γ, δ)
β = α · γ + δ
δ < α
Nie
h
,
i
b
d¡
li zbami
p
orz¡dk
o
wymi.
W
yk
a»,
»e
je»eli
dokªadnie
jedna
tak
a
para
li zb
,
»e
i
.
8
8
.
Li zb
y
p
orz¡dk
o
w
e
T