Zadanie 6.

a) (Badam funkcję na podstawie swojego schematu;p)

1. Wyznaczenie dziedziny (wykluczenie punktów z dziedziny w wypadku: mianownika; pierwiastka; funkcji logarytmicznej (podstawa dodatnia); funkcji x² itp.)

Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

D_fєR={-∞;+∞}

Wobec czego funkcja jest różniczkowalna w całym swoim przedziale.

1. miejsca zerowe

f(x)=x³-x²+x-1=(x²+1)(x-1)

f(x)=0 dla x=1

2. Granice na przedziałach oznaczoności (granice prawostronne i lewostronne dla punktów wykluczonych z dziedziny)

3. Pierwsza pochodna

4. Druga pochodna

5. Asymptoty

1. pionowa - brak

2. ukośna

brak asymptoty ukośnej

Brak asymptot!

6. Wnioski z pochodnych

1. Monotoniczność (tam, gdzie f ` >0 rosnąca, f ` <0 malejąca, f'=0 stała; czyli wyznaczamy tam, gdzie zero i patrzymy po której są wartości dodatnie, a po której ujemne)

Funkcja jest rosnąca wtedy, gdy wartość pierwszej pochodnej jest większa od zera, malejąca, gdy wartość mniejsza od zera i stała dla wartości równej zero. Wobec tego liczę wartość, dla której f'(x)jest równa zero. Korzystam z wzoru na deltę

Ponieważ delta jest mniejsza od zera, pochodna funkcji nie przyjmuje wartości 0. (Sposób 1 na osądzenie monotoniczności: Na logikę, mamy teraz potęgę parzystą, a więc będzie przyjmowała przyjmowała wartości dodatnie. Sposób 2: Granice na przedziałach oznaczoności wskazują nam, że rośnie, bo przyjmuje wartości od -∞ do +∞).

Funkcja jest rosnąca

2. Pierwsza pochodna (tam, gdzie f ` =0 punkty podejrzewane - warunek konieczny; gdzie przy f ` =0 i f ' ' </>0 to maksimum/minimum)

Jak udowodniliśmy w poprzednim, pochodna nie przyjmuje wartości zero, a więc brak ekstremów.

3. Druga pochodna (tam, gdzie f ` ` = 0 punkty podejrzewane; sprawdzamy licząc granicę lewostronną i prawostronną punktu podejrzewanego o istnienie przegięcia i sprawdzamy, czy znak się zmienia)

Można policzyć granicę dla x=1/3, lecz w granic na przedziale oznaczoności widać, że dąży od wartości ujemnych od lewej i wartości dodatnich od prawej.

7. Tabelka

-∞	(-∞,1/3)	1/3	(1/3, 1)	1	(1, +∞)	+∞	Argumenty
-∞	-	-20/27	-	0	+	+∞	Funkcja
+	+	+	+	2	+	+	1pochodna
-	-	0	+	+	+	+	2pochodna

8. Szkic wykresu

Wstawię wykres:




Punkt przegięcia jest w miejscu, w którym przecina się styczna i normalna do wykresu(tu: żółta i niebieska

b)

D_fєR\{3}

Wobec czego funkcja jest różniczkowalna od -∞ do 3 i od 3 do +∞.

1. miejsca zerowe

x+1=0, x=-1

2. Granice na przedziałach oznaczoności (granice prawostronne i lewostronne dla punktów wykluczonych z dziedziny)




3. Pierwsza pochodna




4. Druga pochodna




5. Asymptoty

1. pionowa - x=3

2. ukośna




c) jeśli istnieje asymptota, to ma równianie y=b




dwie asymptoty poziome y=1

6. Wnioski z pochodnych

a)monotoniczność




Ponieważ funkcja nie przyjmuje wartości zero, a delta wychodzi nieujemna, to funkcja jest malejąca (wartość licznika będzie dzielona zawsze przez dodatni mianownik, a więc w konsekwencji pochodna zawsze będzie ujemna).

1. Pierwsza pochodna (tam, gdzie f ` =0 punkty podejrzewane - warunek konieczny; gdzie przy f ` =0 i f ' ' </>0 to maksimum/minimum)

Jak udowodniliśmy w poprzednim, pochodna nie przyjmuje wartości zero, a więc brak ekstremów.

2. Druga pochodna (tam, gdzie f ` ` = 0 punkty podejrzewane; sprawdzamy licząc granicę lewostronną i prawostronną punktu podejrzewanego o istnienie przegięcia i sprawdzamy, czy znak się zmienia)




Brak punktu przegięcia, ponieważ druga pochodna przyjmuje wartość zero tylko w wypadku wykluczonym z dziedziny funkcji.

7. Tabelka

Brak tabelki

8. Szkic wykresu

Wstawię wykres:




Jak widać (trochę niewyraźnie) funkcja zbiega do 1 poziomo i do 3 pionowo i jest malejąca.

c)

1. Rozpatrujemy dziedzinę funkcji ze względu na funkcję kwadratową jak i logarytmiczną. Wybieramy sumę tych dwóch powyższych

D_{funkcji kwadratowej} = R+=(0 , +∞)

D_{funkcji logarytmicznej} = R+/{0}= <0, +∞).

Wobec czego funkcja x²*lnx jest różniczkowalna od zera do +∞.

1. miejsca zerowe

x²=0, gdy x=0 <-niemożliwe, wykluczone z dziedziny

lnx=0, gdy x=1

Miejscem zerowym jest x=1

2. Granice na przedziałach oznaczoności (granice prawostronne i lewostronne dla punktów wykluczonych z dziedziny)




3. Pierwsza pochodna




4. Druga pochodna




5. Asymptoty

1. pionowa - x=0

2. ukośna




Brak asymptoty ukośnej. Asymptota pionowa x=0

6. Wnioski z pochodnych

a)monotoniczność




Funkcja jest malejąca (0,e^0,5), w punkcie e^0,5 stała i w (e^0,5, +∞) rosnąca.

1. Pierwsza pochodna (tam, gdzie f ` =0 punkty podejrzewane - warunek konieczny; gdzie przy f ` =0 i f ' ' </>0 to maksimum/minimum)

Jak udowodniliśmy w poprzednim, pochodna przyjmuje wartość zero, wyliczę teraz wartość drugiej pochodnej dla tego punktu (warunek II wystarczający).




Druga pochodna przyjmuje wartość większą od zera, a więc funkcja ma w tym punkcie minimum.

2. Druga pochodna (tam, gdzie f ` ` = 0 punkty podejrzewane; sprawdzamy licząc granicę lewostronną i prawostronną punktu podejrzewanego o istnienie przegięcia i sprawdzamy, czy znak się zmienia)




Ponieważ druga pochodna przyjmuje wartość zero i obustronne granice wyznaczają zmianę znaku, to punkt e^-1,5 jest punktem przegięcia funkcji

7. Tabelka

0	(0, e^-1,5)	e^-1,5	(e^-1,5, 1)	1	(1,e^0,5)	e^0,5	(e^0,5, +∞)	+∞	Argumenty
0	-	-	-	0	+	+	+	+∞	Funkcja
-	-	-	-	-	-	0	+	+	1pochodna
-	-	0	+	+	+	+	+	+	2pochodna

8. Szkic wykresu

Wstawię wykres:




---