Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)
Zad. Badanie funkcji ...
⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to nak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)
⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)
⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...
⇓limx→4+ f(x)=…=∞ ⇓limx→4- f(x)=…=-∞ ⇓limx→4 f`(x)=…=∞
⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną
⇓a= limx→+-∞ f`(x)=…=coś ⇓b= limx→+-∞ (f(x)-ax)=…=coś
⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.
⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.
„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]
Zad. Największa i najmniejsza…
⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0
⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…
⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)
Zad. Ciągłość i różniczkowalność…
⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx→0f(x)=…=[..]=(coś)
⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx→0f(x)-f(0)//x-0=…=0
⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.
Zad. Metryka…
⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y
⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)
⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)
⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)
⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.
⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)