Równania i nierówności trygonometryczne

Wprowadzenie

Ćwiczenie 1 i 2 związane będą z równaniami trygonometrycznymi. Celem 1 będzie rozwiązanie równania, a 2 nierówności trygonometrycznej. W rozwiązaniu równania nie będziemy wykonywać wykresu, a po przestaniem na analizie tabelki iksów i igreków. W tym ćwiczeniu skorzystamy z następujących funkcji Excela: STOPNIE(), JEŻELI, ORAZ i LICZ.JEŻELI().W rozwiązaniu nierówności po przygotowaniu tabelki sporządzimy wykres i poprzez jego analizę dojdziemy do wyniku. W obu ćwiczeniach, skoro nie rozwiązujemy metodą algebraiczną, konieczne będzie określenie wartości dopuszczalnego błędu.

Ćw.1

Rozwiąż równanie postaci:

dla x
<0,π>,z dopuszczalnym błędem-/+ 0,01.

Sposób rozwiązania

Na początek utwórzmy (w kolumnie A) ciąg liczb, zaczynając od liczby 0, a kończąc na wartości 3,14. Dostęp między każdą z liczb musi wynosić 0,01 (wynika to z warunku na dokładność). W kolumnie B wykonamy przeliczenie z radianów na stopnie. Następnie utworzymy (w kolumnie C ) formułę, która wyrażać będzie w Excelu funkcje:

f(x)=

W ten sposób sprawdzimy to zadanie do należenia miejsca zerowego funkcji. Aby znaleźć miejsca zerowe tej funkcji, następnej kolumnie (D) przygotujemy odpowiednią formułę testową. Jej postać wynikać będzie z następującego rozumowania. Skoro w kolejnych komórkach kolumny C mamy wartości funkcji w punktach odcinka <0,π>, to musi się pojawić, (jeśli jest rozwiązanie!) taki punkt, gdzie wartość iloczynu dwóch kolejnych wartości funkcji(badanych komórek kolumny C) będzie ujemna lub równa zeru. Takiego punktu szukamy. Przy czym, jeśli w którejś z komórek kolumny C będzie zero, to nasz „test na pierwiastek” zadziałałby dwa razy (wykazuje znalezienie kolejnego pierwiastka ). Aby tego niebezpieczeństwa uniknąć, zadamy jeszcze jeden warunek w formule testowej. Sprawdzi ona, jak zakończył się test w komórce poprzedniej. Jeżeli w poprzedniej komórce test wypadł pomyślnie (jest pierwiastek), to już drugi raz procedura testowa go nie wykaże. Formuła testowa zawierać będzie komunikat o znalezionym pierwiastku. Na koniec zliczamy, ile procedura testowa znalazła rozwiązań. Jeżeli będzie choć jedno, wystarczy przejrzeć komórki w kolumnie D i odczytać wartość pierwiastka w radianach lub stopniach.

Zauważamy, że pierwiastkiem równania w myśl przyjętego założenia o dokładności rozwiązania mogą być obydwa punkty, miedzy którymi następuje zmiana znaku. Jest tak, gdyż rzeczywisty pierwiastek leży miedzy tymi punktami (funkcja zmieniła znak), i tym samym jego odległość od obu znalezionych punktów nie przekracza 0,01. W przyjętym przez nas rozwiązaniu wybieramy jeden z tych punktów i określamy jako pierwiastek.

Rozwiązanie

1. Utwórz tabelkę argumentów i wartości funkcji w kolejnych punktach przedziału <0,π>.

Do komórki A1 wpisz liczbę 0. następnie wypełnij serią danych komórki A2 ÷A315 przyjmując krok 0,01 i wartość końcową 3,14. do komórki B1 wpisz =STOPNIE (A1) i przekopiuj ją do obszaru B2 ÷ B315. Do komórki C1 wpisz formułę =PIERWIASTEK (MODUŁ.LICZBY(SIN(A1)))-(3/2*COS(A1)).

2. Utwórz formułę „testową”, wykrywającą pierwiastki równania.

Do komórki D2 wpisz =JEŻELI (ORAZ(C1*C2<=0;D1<>”mamy cię pierwiastku!”); ”mamy cię pierwiastku!”;” ”). Następnie przekopiuj ją aż do komórki D315.

3. Zlicz znalezione pierwiastki.

Do komórki E1 wpisz tekst liczba pierwiastków, a do komórki G1 formułę =LICZ.JEŻELI (D2:D315;”mam cię pierwiastku!”).

Rys 1.

Ćw. 2

Rozwiąż nierówność postaci sin4x>cosx² + 1,5 dla x
<0,2π> z dopuszczalnym błędem
0,01.

Sposób rozwiązania

Przekształćmy nierówność do postaci sin4x- cosx²-1,5>0 i rozpatrzymy funkcję f(x)=sin4x-cosx²-1,5. Następnie wykonajmy wykres tej funkcji w zadanym przedziale. Rozwiązanie oparte będzie - w przeciwieństwie do poprzedniego ćwiczenia - na analizie wykresu. Skoro jednak mamy uzyskać dokładność rzędu 0,01, to wykres musi być dokładny. W tym celu tworząc tabelkę danych, określamy odstępy między punktami na 0,01. Rozpoczniemy od wartości 0,00, a skończymy na 6,28. Wartość 6,28 jest zaokrągleniem liczby 2π do dwóch miejsc po przecinku (można to wyliczyć, wpisując do komórki arkusza formułę =2*PI() i odpowiednio ją zaokrąglić). Po przygotowaniu tabeli wykonamy wykres. Zaraz po wykonaniu wykresu zmniejszymy rozmiar czcionki na osi X, aby format wartości liczbowych nie była za duża. Pierwsze spojrzenie na wykres powinno nam udzielić odpowiedzi na pytanie, czy w ogóle jest rozwiązanie tej nierówności.. Jeżeli rozwiązanie będzie, to teraz „rozciągniemy” wykres maksymalnie w poprzek. Dzięki temu będzie można dotrzeć do szczegółów wykresu. Po znalezieniu miejsca przecięcia krzywej wykresu z osią X można odczytać wartość niewiadomej x.

Dodatkowo można jeszcze kliknąć przyciskiem myszy w linię wykresu, wtedy Excel wyświetli wartość punktu x i wartość funkcji w tym punkcie. Gdy znajdziemy już pierwszy punkt(początek przedziału),wtedy poszukamy jego końca i ewentualnie dalszych punktów. W efekcie wyznaczymy przedziały, w których funkcja jest dodatnia. Dowolna liczba z tych przedziałów będzie naszym rozwiązaniem.

Rozwiązanie

1. Utwórz tabelkę argumentów i wartości funkcji w kolejnych punktach przedziału <0,2π>.

Do komórki A1 wpisz liczbę 0. Następnie wypełnij serią danych komórki A2 ÷A629, przyjmując krok 0,01 i wartość końcową 6,28. Następnie do komórki B1 wpisz = sin(4*A1) - cos ( A1^2)- 1,5. Formułę tę przekopiuj do komórek B2÷B6629.

2. Wykonaj wykres funkcji w oparciu o dane z przygotowanej tabeli.

Wykonaj wykres liniowy danych z obszaru B1÷B629. Jako etykiety Osi Kategorii X podaj zakres = Arkusza1!$A$1: $A$629. Wyłącz legendę i Os Główną Kategorii X.

W powstałym wykresie zmień rozmiar czcionki na 8 pkt. W Formacie osi X.

Rys. 2

3. Znajdź dwa punkty, gdzie funkcja po raz pierwszy przyjmuje wartości dodatnie.

Zmień wielkość wykresu, poszerzając go maksymalnie (aż do kolumny 4 arkusza) oraz nieco zwiększając jego wysokość. Następnie znajdź miejsca, gdzie następuje przecięcie krzywej z osią X. Na rysunkach 3 i 4 pokazano dwa znalezione punkty. Drugie dwa punkty stanowiące rozwiązanie przedstawia rysunek 5.

Rys 3

Rys 4

Rys 5

Podsumowanie

Rozwiązanie obu ćwiczeń wykonaliśmy tą samą (numeryczną ) metodą. Jak zobaczyliśmy w ćwiczeniu 1, aby znaleźć rozwiązanie, nie był potrzebny nam do tego wykres. Z kolei w ćwiczeniu 2 z samego wykresu odczytaliśmy rozwiązanie. Wszystko to jednak jednak podziałowi przedziału <0, 2π>na wiele odcinków o długości 0,01. Można by się pokusić o większą dokładność i wykonać jeszcze „drobniejszy podział”, ale i ten wynik jest dostatecznie dobry. Ponadto taki sposób rozwiązania równań i nierówności (wszystkich, nie tylko trygonometrycznych) jest prosty w wykonaniu (seryjne wypełnianie komórek szybko prowadzi do wyniku). Przede wszystkim nie jest w tej metodzie ważne, jakiej postaci jest równanie czy nierówność trygonometryczna. Może być ono bardzo proste, jak i mocno skomplikowane. Excel posiada bogaty zestaw funkcji trygonometrycznych pomocnych w tego typu zadaniach.

---