ZAGADNIENIA WSTEPNE

1. SEMIOTYKA- PRZEDMIOT JEJ BADAN

SEMIOTYKA  nauka o poznaniu i komunikacji

-ogólna teoria znaku, nauka o znakach i ich funkcjach

-funkcje znaków:

o poznawcza

o komunikacyjna

dyscypliny:

-logiczne

-praktyczne - etyka, polityka

-tworcze - poetyka

2. DEFINICJE ZNAKU I PODZIAL ZNAKOW PIERCE'A. KROTKA CHARAKTERYSTYKA ZNAKOW: SYMBOLICZNYCH, IKONICZNYCH, WSKAZNIKOW

ZNAK

-dowolny byt (cokolwiek) ,co w jakikolwiek sposób daje dowolne określone pojęcie o jakimkolwiek przedmiocie (relacja znaku do rzeczywistości)

-„określone pojęcie” = wiedza

-„byt” - nie tylko symbol

- nie jast wazna relacja miedzy znakiem a tym co znak okresla

wyróżniał znaki:

-symboliczne (symbole)

odnoszą się do czegoś na mocy konwencji -a konwencje te ustalane są przez odpowiednie reguły

-ikoniczne

odnoszą się do pewnego przedmiotu bądź stanu rzeczy, dzięki relacji podobieństwa między znakiem a przedmiotem oznaczanym

 warunek minimalny - znak ikoniczny i przedmiot oznaczany muszą byc podobne pod przynajmniej jednym względem

- wskaźniki (indeksy)

- wyznaczane przez swój przedmiot dlatego, że są z tym przedmiotem związane relacją przyczynową

- funkcję przyczyny pełni ten przedmiot, na który znak wskazuje

- skutkiem działania przyczyny jest ten znak - ślady na piasku = znaki, że ktoś przeszedł - przyczyną jest stopa > relacja przyczynowo-skutkowa- wolne tlumaczenie: slady na piasku sa swiadectem ze ktos szedl i mial stopy ;)

*z czasem zaczęto się ograniczać tylko do znaków symbolicznych

** wskaźniki (indeksy) to oznaki - zaczęto je odrzucać w definicjach

ZNAK

- każdy przedmiot (lub czynności), który odnosi swego użytkownika (nadawcę lub odbiorcę) do czegoś względem siebie zewnętrznego, do jakiegoś przedmiotu lub stanu rzeczy i stanowi środek w poznaniu czegoś

słońce świeci - zdanie oznajmujące

-funkcja poznawcza (poznaję, że słońce świeci)

-funkcja komunikacyjna (wyrażam, że słońce świeci)

-funkcja odnosząca (odnosi do stanu rzeczy)

3. TROJKAT SEMANTYCZNY

myśl

symbolizuje odnosi nas do

znak (symbol) przedmiot

odnoszą do różnego rodzaju

przedmiotów (z różnych kat.)

znaczenie (pojęcie, sąd)

znak językowy odniesienie przedmiotowe

(symbol)

* jedna z teorii: nazwa własna nie ma znaczenia; Np. prof. Zeidler - nie odnosi się do czegoś konkretnego

4.PODZIAL SEMIOTYKI ORAZ CHARAKTERYSTYKA JEJ DZIALOW WEDLUG CH. MORRISA

3 płaszczyzny badania znaków - MORRIS

SYNTAKTYKA

o bada formalne relacje zachodzące między elementami tworzącymi znak (lub między znakami)

SEMANTYKA

o bada relacje między znakami a rzeczywistością względem znaków zewnętrznych

- 2 funkcje znakow: znaczenie i oznaczanie

PRAGMATYKA

o bada relacje między znakami a użytkownikami znaków (wprowadza się podmiot: użytkownik - znak)

5. Czym charakteryzuja sie rozwazania pragmatyczne? OKRESL JAKI CHARAKTER POSIADA PODZIAL WNIOSKOWAN NA SUBIEKTYWNIE PEWNE I SUBIEKTYWNIE NIEPEWNE ORAZ JAKI CHARAKTER POSIADAJA REGULY KONWERSACJI GRICE'A

WNIOSKOWANIA SUBIEKTYWNIE PEWNE

Wnioskowanie subiektywnie pewne są to takie wnioskowania, w których stopień pewności uznania wniosku jest taki sam jak stopień pewności uznania przesłanek.

Wnioskowanie subiektywnie pewne jest wnioskowaniem fromalnie poprawnym, jeśli schemat tego wnioskowania jest schematem niezawodnym.

Takie wnioskowania to wnioskowania dedukcyjne.

WNIOSKOWANIA SUBIEKTYWNIE NIEPEWNE

Wnioskowanie subiektywnie niepewne to takie wnioskowania, w których stopień pewności uznania wniosku jest mniejszy od stopnia pewności uznania przesłanek.

Opierają się o zawodne schematy wnioskowań.

CHARAKTER PODZIALU - ?? ROZWAZANIA PRAGMATYCZNE-?? REGULY KONWERSACJI GRICEA??

6. SCHEMATYCZNY OPIS PROCESU KOMUNIKACJI JEZYKOWEJ

Odniesienie trójkąta do procesu komunikacji: nadawca - znak - odbiorca

A a B

X - dowolna osoba posługująca się znakami

RI - kontekst pragmatyczny procesu komunikacji (wiedza, sytuacja, relacja, klasa)

R - znaczenie znaku

D - odniesienie przedmiotowe

R (a,A,RI)

R (a,B,RI)

„osoba A przypisuje R znaczenie a w kontekście RI”

Jakie warunki muszą być spełnione by zaszła komunikacja między A i B???

D (a,A,RI) = D (a,A,RI)

(problem tkwi w zdefiniowaniu znaczenia: R (a,A,RI) = R (a,B,RI)

- ten warunek nie musi być spełniony by zaszedł proces komunikacji!

- znaki mogą być różne i mieć różne znaczenia ale wskazywać na to samo)

- musi być spełniony warunek identyczności denotacji

(*problem pragmatyczny bo jeśli nie ma użytkownika można znać kontekst)

- odniesienie przedmiotowe znaku jest funkcją jego znaczenia

Q [ R (a,X,RI) ] = D (a,X,RI)

7. DEFINICJA LOGIKI ARYSTOTELESA. LOGIKA W UJECIU STOIKOW

logika dla Arystotelesa

-nauka o formalnie niezawodnych sposobach wnioskowania

-wnioskowanie zawsze jest prawdziwe jeżeli od prawdziwych przesłanek dochodzimy do prawdziwego wniosku

Semiotyka starożytna

-sceptycy (mieli największe osiągnięcia), stoicy, (+epikurejczycy)

-medyczna geneza (od Hipokratesa V/IV w.p.n.e. - choroby - badania symptomów, „jeżeli... to...” → implikacja - „jeżeli ból głowy, temperatura... to grypa” „jeżeli symptomy to dochodzimy do przyczyny”

-znaki uświadamiające - coś ujawnia coś innego niejawnego

znaki przypominające - dym → ogień

8.PRZELOM ANTYPSYCHOLOGISTYCZNY W LOGICE

Przełom II połowy XIX wieku

ANTYPSYCHOLOGIZM Obiektywne relacje zachodzące między prawdziwością a fałszem	FORMALIZM Zastosowanie symboli Słowa zastępuje znakami
Prawa myślenia - my ustalamy prawa i reguły	Frege: systemy dedukcyjne, geometria analityczna (aksjomaty - z nich można wyprowadzić wszystkie prawa logiki (przeliczalnie nieskończenie wiele N))
Psychologistyka - procesy w mózgu	System formalny - odwzorowanie języka naturalnego
Frege: dwa sądy sprzeczne nie mogą być jednocześnie prawdziwe	Ontologia formalna (język a to do czego się język odnosi)
Język naturalny skazuje na sprzeczności	Rachunek predykatów
Prawa logiki oparte na prawach psychologii	Logika wykorzystywana do badania znaków
Prawa logiki odnoszą się do relacji między prawdziwością a fałszywością	Semiotyka logiczna
Logika to nie nauka o tym jak faktycznie myślimy

9. Jaka jest podstawowa roznica miedzy logika ekstensjonalna a intensjonalna?

LOGIKA EKSTENSJONALNA- wartosc logiczna zdania zlozonego zalezy wylacznie od wartosci logicznej zdan skladowych

LOGIKA INTENSJONALNA- wykładnia sprowadza się do ustalania znaczenia wyrażeń występujących w akcie normatywnym.

Klasyczny rachunek zdań

I Wstępne ustalenia syntaktyczne dla KRZ

1) Słownik KRZ - definicja języka

Język w wąskim znaczeniu, to język wyznaczany przez reguły słownictwa i reguły gramatyczne

2) Gramatyka KRZ - definicje:

1. Wyrażenie KRZ - każdy skończony ciąg znaków słownika KRZ jest wyrażeniem tego języka

2. Zmienna zdaniowa KRZ - symbol, za który można podstawić zdanie. W klasycznym rachunku zdań zmienne zdaniowe symbolizowane są na ogół przez litery p, q, r, s, itd., Jeżeli wyrażenie p jest zmienna zdaniową, to wyrażenie p| jest również zmienna zdaniową. Oprócz zmiennych wymienionych w punktach 1 i 2 nie istnieją inne zmienne zdaniowe.

3. Formuła zdaniowa KRZ - Każda zmienna zdaniowa KRZ jest formułą tego rachunku. Jeżeli A jest formułą zdaniową, to wyrażenie o postaci jest też formułą KRZ. Jeżeli wyrażenia symboliczne o postaci ^┌A^┐┌B^┐ są formułami KRZ, to wyrażenia o postaci ^┌AvB^┐, ^┌AΛB^┐ są też formułami KRZ.

II Semantyka KRZ

1. Definicja wartościowania dla formuł KRZ - nieskończone ciągi wartości logicznych ze zbioru {1,0} nazywamy wartościowaniami <w_n> lub <v_n>

2. Definicja tautologii KRZ - formuła A KRZ jest tautologią tego rachunku wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wartościowania <w_n> zachodzi równanie, że V(A_k, <w_n>)=1

3. Semantyczne twierdzenie o odrywaniu - jeżeli AЄTrz i (A)→(B) Є Trz, to BЄTrz

4. Semantyczne twierdzenie o podstawianiu - Jeżeli AЄFrz oraz BЄTrz, to S(A,p_i,B)=Trz

III Syntaktyka KRZ

1. Ogólne określenie reguł dedukcyjnych: aksjomatycznych i inferencyjnych, dla dowolnego systemu dedukcyjnego.

Reguły dedukcyjne dla danego języka formalnego wyznaczają zbiór tez tego języka. Reguły te składają się z reguł:

Aksjomatycznych - reguły, które nakazują bezwarunkowo uznawać pewne formuły za tezy tego języka

Inferencyjnych - reguły, które nakazują uznawać pewne formuły za tezy w sytuacji, gdy już wcześniej pewne inne formuły zostały za tezy uznane. Odpowiadają niezawodnym schematom wnioskowania.

2. Ogólna definicja dowodu.

Dowodem formuły A języka J w oparciu o zbiór formuł X [aksjomatów] i zbiór reguł inferencyjnych nazywamy ciąg formuł [D₁,D₂,…,D_n] taki, że ostatnia formuła w tym ciągu jest równa formule dowodzonej A [D_n=A], a każda wcześniejsza formuła w tym ciągu jest albo elementem zbioru X [aksjomatem], albo powstała przez zastosowanie jednej z reguł inferencyjnych do formuł ją poprzedzających.

3. Reguły dowodowe dla KRZ.

Dowodem formuły A języka KRZ w oparciu o zbiór formuł X [zbiór 14 aksjomatów w systemie dedukcyjnym] nazywamy ciąg formuł [D₁,D₂,…,D_n] taki, że ostatnia formuła w tym ciągu jest równa formule dowodzonej A [D_n=A] oraz dla każdego wskaźnika K≤n spełniony jest jeden z następujących warunków:

1. D_k Є X

2. Istnieje wskaźnik j<K, B oraz wskaźnik i taki, że formuła D_k=S(B,p_i,D_j)

3. Istnieją wskaźniki i, j takie, że i<k oraz j<k oraz formuła D_j równa się formule o postaci D_j=^┌ D_i -> D_k ^┐, jeżeli D_i to D_k

4. Definicja konsekwencji:

KONSEKWENCJA [pojecie czysto syntaktyczne] na gruncie KRZ. Formuła A jest konsekwencją zbioru formuł C wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje, choć 1 dowód formuły A w oparciu o zbiór formuł X.

Cn(X) - zbiór wszystkich konsekwencji zbioru formuł X

5. Własności operacji konsekwencji:

a) Własność monotoniczności: Jeżeli XЄY, to Cn(X)cCn(Y)

b) Własność finistyczności: AЄCn(X) WTW, gdy istnieje taki zbiór Y, że YЄX oraz AЄCn(X)

c) XЄCn(X), AЄX, AЄCn(X)

d) Cn(Cn(X))ЄCn(X), AЄCn(X), D₁, D₂, … , D_n D_n=A

e) Cn(Cn(X))=Cn(X)

f) Twierdzenie o niesprzeczności KRZ

6. Syntaktyczne twierdzenie o podstawianiu

Jeżeli AЄCn(X), to rezultat S(B,p_i,A)ЄCn(X)

Dowód: D₁, D₂, …, D_n; D_n=A

7. Syntaktyczne twierdzenie o odrywaniu

Jeżeli AЄCn(X) oraz ^┌A^┐ЄCn(X), to BЄCn(X)

Dowód: D₁, D₂, …, D_n; D_n=A

E_1, E₂, …, E_m; E_m=^┌AB^┐

8. Twierdzenie o pełności KRZ

Cn(Arz)-Trz

Twierdzenie: Jeżeli XЄTrz, to Cn(X)cTrz

Twierdzenie: Cn(Trz)=Trz

Twierdzenie: Cn(Arz)ЄTrz

IV Wnioskowania

1. Definicja schematu wnioskowania

Schemat wnioskowania o postaci 1 sformułowany w języku KRZ nazywamy schematem niezawodnym, WTW, gdy dla każdego wartościowania <Wn> zachodzą równości:

V(A₁, <Wn>)=1, V(A₂, <Wn>)=1, …, V(A_n, <Wn>)=1

V(B, <Wn>)=1

2. Definicja schematu niezawodnego

Schemat wnioskowania o postaci 1 jest schematem niezawodnym WTW, gdy formuła o postaci [(A₁)Λ(A₂)Λ … Λ(A_n)] B jest tautologią.

Jeśli nie istnieje takie wartościowanie Wn, przy którym przesłanki są prawdziwe, a wniosek ma wartość 0, to wartościowanie jest niezawodne.

Schemat wnioskowania o postaci 1 jest niezawodny, tylko i wyłącznie wtedy, kiedy istnieje formuła o postaci [(A₁)Λ(A₂)Λ … Λ(A_K)] B

3. Podział wnioskowań na subiektywnie pewne i subiektywnie niepewne

Wnioskowania subiektywnie pewne, to takie wnioskowania, w których stopień pewności uznania wniosku jest taki sam jak stopień pewności uznania przesłanek. WSP jest wnioskowaniem formalnie poprawnym jeśli schemat tego wnioskowania jest schematem niezawodnym.

Wnioskowania subiektywnie niepewne, to takie, w których stopień pewności uznania wniosku jest mniejszy od stopnia pewności uznania przesłanek. Wnioskowania takie opierają się o zawodne schematy wnioskowań.

Koncepcje znaczenia

1. Asocjacyjna

2. Konotacyjna

3. …

[nie chce mi się pisać - sama paplanina :P]

Klasyczny rachunek predykatów

I Gramatyka kategorialna

1. Pojęcie kategorii gramatycznej

Kategoria gramatyczna wyrażenia W języka J, którym można zastąpić wyrażenie W w dowolnym zdaniu języka J, uzyskując na powrót zdanie tego języka.

Dwa wyrażenia należą do tej samej kategorii gramatycznej, jeśli są wymienialne w kontekstach zdaniowych.

2. Wymień i omów podstawowe kategorie gramatyczne

???

II Wstępne ustalenia syntaktyczne dla KRP

1. Słownik KRP - definicja języka

2. Gramatyka KRP:

1. Wyrażenie KRP - każdy skończony ciąg znaków JRP nazywamy wyrażeniem tego języka

2. Term KRP - inaczej formuły nazwowe - A, B, C, … zmienne metajęzykowe dla formuł zdaniowych rachunku predykatów. Wszystkie zmienne indywiduowe X­­­­­­_i oraz wszystkie nazwy indywidualne a_i nazywamy formułami nazwowymi czyli termami rachunku języka predykatów (α, β, γ)

3. Formuła zdaniowa atomowa - dane wyrażenie KRP jest formułą zdaniową atomową WTW, gdy ma postać Pⁿ_k (α₁, α₂, … , α_n)

Każda formuła zdaniowa atomowa jest formułą zdaniową języka rachunku predykatów

4. Formuła zdaniowa - ???

5. Zasięg kwantyfikatora - Wyrażenie A w dowolnej formule zdaniowej o postaci Λx_i(A) lub Vx_i(A) nazywamy zasięgiem kwantyfikatora

6. Zmienna związana - zmienna x_i występująca w dowolnym miejscu w formule zdaniowej A jest w tym miejscu związana, jeśli jest podpisana pod którymś z kwantyfikatorów lub znajduje się w zasięgu jakiegoś kwantyfikatora, pod którym jest podpisana

7. Zmienna wolna na danym miejscu w formule - ???

Zmienna wolna w formule - ???

8. Zdanie języka KRP - formuła zdaniowe, która nie zawieraja zmiennych wolnych

Predykaty 1, 2, n-argumentowe

Symbole funkcyjne 1, 2, n-argumentowe

…

III Syntaktyka KRP

1. Reguła tworzenia aksjomatów w KRP - aksjomatami RP są wszystkie te i tylko te formuły zdaniowe tego rachunku, które powstają z tautologii rachunku zdań przez konsekwentne zastępowanie zmiennych zdaniowych dowolnymi formułami zdaniowymi rachunku predykatów [plus pełno wzorów]

2. Ogólna definicja dowodu -

Dowodem formuły A języka J w oparciu o zbiór formuł X [aksjomatów] i zbiór reguł inferencyjnych nazywamy ciąg formuł [D₁,D₂,…,D_n] taki, że ostatnia formuła w tym ciągu jest równa formule dowodzonej A [D_n=A], a każda wcześniejsza formuła w tym ciągu jest albo elementem zbioru X [aksjomatem], albo powstała przez zastosowanie jednej z reguł inferencyjnych do formuł ją poprzedzających.

3. Definicja podstawialności termu L za zmienna x_i do formuły zdaniowej A

WTW, gdy zmienna x_i nie leży w formule zdaniowej A jako zmienna wolna w zasięgu żadnego kwantyfikatora wiążącego którąś ze zmiennych występujących w termie α.

4. Reguły dowodowe dla KRP:

- podstawiania

- reguła opuszczania dużego kwantyfikatora

- reguła dopisywania dużego kwantyfikatora

- reguła opuszczania małego kwantyfikatora

- reguła dopisywania małego kwantyfikatora

- reguła generalizacji

5. Definicja tezy KRP:

6. Pojęcie konsekwencji logicznej

7. Własności operacji konsekwencji logicznej

8. Wykaż, że zbiór tez KRP jest identyczny ze zbiorem konsekwencji logicznych zbioru pustego.

9. Wykaż, że zbiór tez KRP zawiera się w konsekwencjach logicznych dowolnego zbioru formuł

10. Twierdzenie o dedukcji [podstawowe sformułowanie i jego wersje]:

IV System dedukcyjny

1. Definicja języka I rzędu:

Każdy podzbiór zbioru znaków języka rachunku predykatów I rzędu zawierający wszystkie stałe logiczne, zmienne indywiduowe, nawiasy oraz przynajmniej jeden predykat i ewentualnie [niekoniecznie] nazwy indywidualne oraz symbole funkcyjne nazywamy językiem teorii I rzędu

2. Teoria I rzędu:

Zbiór formuł zdaniowych X języka I rzędu - J nazywamy teorią [systemem dedukcyjnym] WTW, gdy wszystkie formuły zdaniowe języka J będące konsekwencjami logicznymi zbioru formuł zdaniowych X należą do zbioru X Cn_L(X)cX

3. Teoria z identycznością - 3 aksjomaty określające zwrotność, symetryczność i przechodniość

1. x=x

2. x=y y=x

3. x=y Λ y=z x=z

4. Własności systemu dedukcyjnego

A. Niesprzeczność

a) Definicja niesprzeczności - zbiór formuł zdaniowych X jest niesprzeczny WTW, gdy nie istnieje taka formuła A, że AЄCn_L(X) oraz formuła ^┌~A^┐Є Cn_L(X)

b) Twierdzenia definiujące niesprzeczność:

TWIERDZENIE I: zbiór formuł zdaniowych X jest niesprzeczny WTW, gdy Cn_L(X) jest niesprzeczny.

Nie istnieje A, takie, że AЄCn_L(X) oraz ^┌~AЄ Cn_L(X) ^┐

AЄCn_L(X) oraz ^┌~A^┐Є Cn_L(X)

AЄCn_L(CnL(X)) oraz ^┌~A^┐Є Cn_L(CnL(X))

TWIERDZENIE II: Jeżeli xcy i zbiór y jest niesprzeczny, to X jest również niesprzeczny

TWIERDZENIE III: Zbiór x jest niesprzeczny WTW, gdy każdy skończony podzbiór zbioru X jest niesprzeczny.

TWIERDZENIE IV: Jeżeli A jest zdaniem oraz negacja A nie należy do konsekwencji logicznych zbioru X, to zbiór Xu{A}jest niesprzeczny.

c) Metody dowodów niesprzeczności:

- warunkowe - warunkują niesprzeczność pewnej teorii od niesprzeczności innej. A(l,a,g)

l - stałe logiczne; spójniki, kwantyfikatory, stałe

a - arytmetyka, stałe pozalogiczne

g - geometria

• A(l,a,a₁) Postać formalna jest taka sama w obu zdaniach

- bezwarunkowe - można je podstawić tylko, gdy dysponujemy teorią zaksjomatyzowaną

A₁, A₂, …, A_n R₁, R₂, …, R_n

1. Każdy aksjomat posiada własność W.

2. Własność W po przesłankach dziedziczą wyprowadzone według tych reguł inferencyjnych wnioski

3. Własność W jest tak skonstruowana, że nigdy 2 zdania sprzeczne tej własności nie posiadają

4. Każde zdanie, które można wyprowadzić z aksjomatów stosując te reguły posiada własność W.

B. Niezależność

a) Kiedy formuła A jest niezależna od zbioru formuł X?

b) Kiedy zbiór formuł X jest zbiorem niezależnym?

c) Podaj twierdzenie łączące własność niezależność z niesprzecznością. Omów na przykładzie - powstanie geometrii nieeuklidesowych.

C. Zupełność

a) Definicja zupełności zbioru formuł

Zbiór formuł zdaniowych X języka J jest zupełny ze względu na język J WTW, gdy dla każdego zdania A języka J bądź AЄCn_L(X) bądź ­^{┌ ~}A^┐Є Cn_L(X).

b) Twierdzenie Lindenbauma: Jeżeli X jest niesprzecznym zbiorem formuł języka J, to istnieje taka teoria dedukcyjna Y, że Y jest niesprzeczne, zupełne oraz zawiera się w Y.

XcY

^{(x jest podzbiorem y)}

V Semantyka dla KRP

1. Pojęcie interpretacji semantycznej dla danego języka I-go rzędu nazywamy każdą parę uporządkowaną I=<U;▲>, gdzie U jest dowolnym niepustym zbiorem, zwanym zbiorem uniwersum, a ▲ jest funkcją denotacji określoną na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych spełniająca następujące warunki:

1. Dla każdego predykatu Pⁿ_i­­­ funkcja denotacji przypisuje relację n-członową opisaną na zbiorze uniwersum ▲(Pⁿ_i)

2. Dla każdego symbolu funkcyjnego Fⁿ_i funkcja denotacji przypisuje funkcję opisaną na zbiorze uniwersum i czerpiącą wartości również z tego zbioru ▲(Fⁿ_i)

3. Dla każdej nazwy indywidualnej a_i funkcja przypisuje obiekt indywiduowy ze zbioru uniwersum ▲(a)Єu

2. Pojęcie wartościowania - nieskończone ciągi elementów, uniwersów danej interpretacji

3. Definicja wartościowania termu α

1. W₁=(x_i­; <w_n>)=w_i

2. W₁=(a_i; <w_n>)=▲(a_i)

3. W₁ ………

4. [8 równań]

5. Pojęcie prawdy-formuła zdaniowa A jest prawdziwa w interpretacji I=<V, ▲> WTW, gdy każdy nieskończony ciąg elementów uniwersum tej interpretacji spełnia tę formułę przy tej interpretacji AЄV_r(I) Λ (<w_n>SpT_i(A))

a) - f)

6. Semantyczna zasady wyłączonego środka - twierdzenie

7. Semantyczna zasada przeciwności - twierdzenie

8. Pojęcie tautologii KRP - tautologią KRP nazywamy każdą formułę tego rachunku, która jest prawdziwa przy dowolnej interpretacji.

AЄTautΛ(AЄV_r(I))

9. Pojęcie modelu semantycznego - modelem semantycznym zbioru formuł zdaniowych X nazywamy każdą interpretację języka, w którym formuły te zostały napisane tak, że te formuły są w tej interpretacji prawdziwe. XcV_p(I)

10. Twierdzenie Godla o istnieniu modelu.

Jeżeli X jest niesprzecznym zbiorem formuł zdaniowych to posiada model przeliczalny, którego uniwersum jest równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych.

Twierdzenie przeciwne. Jeżeli zbiór formuł zdaniowych (teoria) posiada model to jest niesprzeczny.

11

---