1. Miary tendencji centralnej i ich podział.

• Określenie tendencji centralnej w zbiorowości, to wskazanie w zbiorowości statystycznej takiej wartości cechy, wokół której skupiają się wartości cechy wszystkich jednostek wchodzących w skład tej zbiorowości.

• Podział miar tendencji centralnej:

- miary klasyczne np. średnia arytmetyczna, są obliczane na podstawie wartości cechy wszystkich jednostek badanej zbiorowości,

- miary pozycyjne np. mediana i dominanta, są to wartości cechy statystycznej, jakie wystąpiły u konkretnej jednostki statystycznej, która wśród wszystkich pozostałych jednostek wyróżnia się miejscem (pozycją)
w uporządkowanym szeregu statystycznym.

2. Średnia arytmetyczna.

• Średnia arytmetyczna pozwala na ustalenie przeciętnego poziomu zjawiska.

• Sposób obliczania średniej arytmetycznej w przypadku indywidualnego szeregu wartości cechy
  - wzór i interpretacja.

średnia arytmetyczna  wartość cechy statystycznej u poszczególnych jednostek statystycznych

• Sposób obliczania średniej arytmetycznej w przypadku cechy mierzalnej ze zmiennością skokową
  - wzór i interpretacja.

 

• Sposób obliczania średniej arytmetycznej w przypadku cechy statystycznej mierzalnej ciągłej
  - wzór i interpretacja.

środek przedziału klasowego o numerze i

                

3. Obliczanie średniej arytmetycznej, gdy znane są wskaźniki struktury

dla cechy mierzalnej ze zmiennością skokową
dla cechy mierzalnej ze zmiennością ciągłą

4. Dominanta.

• Dominanta jest to wartość cechy, która najczęściej występuje w badanej zbiorowości.

• Sposób wyznaczania dominanty w przypadku indywidualnego szeregu wartości cechy - interpretacja.

• Sposób wyznaczania dominanty w przypadku cechy mierzalnej ze zmiennością skokową - interpretacja.

• Sposób obliczania dominanty w przypadku cechy statystycznej mierzalnej ciągłej - wzór i interpretacja.

dominanta  dolna granica przedziału, w którym występuje dominanta  rozpiętość przedziału liczbowego dominanty  liczebność przedziału dominanty liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty liczebność przedziału następującego po przedziale dominanty

5. Mediana.

• Mediana jest to wartość wyrazu środkowego w uporządkowanym  szeregu statystycznym.

• Sposób wyznaczania mediany w przypadku indywidualnego szeregu wartości cechy o nieparzystej liczbie jednostek- wzór i interpretacja.

wyraz środkowy (wyraz mediany) wartość mediany wartość cechy jednostki mediany

• Sposób wyznaczania mediany w przypadku indywidualnego szeregu wartości cechy o parzystej liczbie jednostek- wzór i interpretacja.

dwa wyrazy środkowe

• Sposób wyznaczania mediany w przypadku cechy mierzalnej ze zmiennością skokową - interpretacja.

• Sposób obliczania mediany w przypadku cechy statystycznej mierzalnej ciągłej - wzór i interpretacja.

dolna granica przedziału liczbowego mediany        rozpiętość przedziału mediany liczebność przedziału mediany

Wybór najlepszej miary tendencji centralnej.

• Zalety miar tendencji centralnej:

• w zwięzły sposób charakteryzują badaną zbiorowość,

• ich obliczanie nie jest skomplikowane,

• przy ich wykorzystaniu można porównywać np. różne zbiorowości statystyczne na podstawie przeciętnego poziomu wartości określonej cechy statystycznej ,albo przeciętny poziom wartości cechy tej samej zbiorowości w różnym czasie,

• są wyrażane w liczbach mianowanych tzn. w takich jednostkach miary, w jakich wyrażona jest wartość cechy,

• wartość każdej z miar tendencji centralnej mieści się w przedziale między najniższym a najwyższym poziomem wartości cechy
  w zbiorowości statystycznej (można więc łatwo sprawdzić poprawność obliczeń).

 

• Właściwości średniej arytmetycznej:

• iloczyn średniej arytmetycznej i liczebności zbiorowości statystycznej jest równy sumie wartości cechy wszystkich jednostek zbiorowości (znając średnią arytmetyczną i liczebność zbiorowości można obliczyć sumę wartości cechy wszystkich jednostek statystycznych)            

                                         


• suma różnic wartości cechy i średniej arytmetycznej obliczona dla wszystkich jednostek statystycznych jest równa zero
  ( wykorzystujemy np. gdy brak jest informacji o wartościach cechy jednej jednostki statystycznej, a dane są wartości cechy pozostałych jednostek statystycznych i średnia arytmetyczna)

- dla indywidualnego szeregu wartości cechy




- dla szeregu statystycznego z cechą mierzalną ze zmiennością skokową




-dla szeregu statystycznego z cechą mierzalną ze zmiennością ciągłą


.

 

• Wady miar tendencji centralnej:

• wszystkie miary tendencji centralnej obliczone na podstawie szeregu statystycznego z cechą mierzalną ze zmiennością ciągłą są wielkościami przybliżonymi,

• jeżeli w szeregu statystycznym występują przedziały klasowe otwarte, to nie można policzyć średniej arytmetycznej
  (nie można ustalić środka otwartego przedziału klasowego), gdy liczebności przedziałów otwartych są niewielkie
  (nie przekraczają 10% liczebności zbiorowości) można dokonać umownego domknięcia takich przedziałów, przyjmuje się,
  że ich rozpiętość jest taka sama jak przedziałów sąsiednich,

• na wartość średniej arytmetycznej wpływają wartości cechy, jakie wystąpiły u wszystkich jednostek zbiorowości, dlatego,
  gdy w zbiorowości występuje bardzo duże zróżnicowanie wartości cechy, nie należy liczyć średniej arytmetycznej,

• wartość średniej arytmetycznej może być różna od wartości cechy wszystkich jednostek statystycznych ,

•  dominantę można stosować tylko wtedy, gdy rozpiętość przedziału, w którym znajduje się dominanta oraz przedziałów
  z nim sąsiadujących jest taka sama,

• wyznaczenie dominanty nie jest możliwe, gdy największa liczebność cząstkowa występuje w pierwszym lub ostatnim wierszu szeregu statystycznego z cechą mierzalną ze zmiennością ciągłą,

• wyznaczenie dominanty nie ma sensu, gdy w szeregu statystycznym istnieją dwie lub więcej wartości cechy, wokół których skupiona jest największa liczba jednostek.

Zależności między miarami tendencji centralnej.

• Wszystkie miary tendencji centralnej mają taką samą wartość    
   tzn., że liczba jednostek, która posiada wartości cechy wyższe niż średnia arytmetyczna jest taka sama jak liczba jednostek, która posiada wartości cechy niższe niż średnia arytmetyczna, taki rozkład wartości cechy w zbiorowości statystycznej określamy mianem rozkładu symetrycznego.

• Wartość średniej jest większa niż wartość mediany i wartość mediany jest większa od wartości dominanty
   tzn., że wartość cechy większości jednostek statystycznych jest niższa od średniej arytmetycznej, taki rozkład wartości cechy w zbiorowości statystycznej określamy mianem rozkładu o asymetrii prawostronnej.

• Wartość średniej jest mniejsza niż wartość mediany i wartość mediany jest mniejsza od wartości dominanty
   tzn., że wartość cechy większości jednostek statystycznych jest wyższa od średniej arytmetycznej, taki rozkład wartości cechy w zbiorowości statystycznej określamy mianem rozkładu o asymetrii lewostronnej.

Bibliografia:

1. Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001. ISBN 83-204-2684-7.

2. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8. 

3. Roman Nowak Statystyka dla fizyków, Warszawa, PWN, 2002, s.136, ISBN 83-01-13702-9

4. Strona internetowa: http://pl.wikipedia.org/wiki/Tendencja_centralna

---