PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA

W PILE

SPRAWOZDANIE Z LABORATORIUM

Ćwiczenie nr 5 : Wyznaczenie przyspieszenia

ziemskiego za pomocą wahadła

matematycznego.

Data wykonania:

Wykonali:

1.Wstęp:

Ciążenie powszechne (grawitacja)

Prawo powszechnego ciążenia

Newton - 1665 spadanie ciał. Skoro istnieje siła przyciągania pomiędzy dowolnym ciałem i Ziemią, to musi istnieć siła między każdymi dwoma masami m₁ i m₂. Skoro siła jest proporcjonalna do masy ciała to musi być proporcjonalna do każdej z mas m₁ i m₂ oddzielnie czyli:

F ∼ m₁m₂

Newton zastanawiał się również, czy siła działająca na ciała będzie malała wraz ze wzrostem odległości. Doszedł do wniosku, że gdyby ciało znalazło się w odległości takiej jak Księżyc to będzie ono miało takie samo przyspieszenie jak Księżyc bowiem natura siły grawitacyjnej pomiędzy Ziemią i Księżycem jest taka sama jak pomiędzy Ziemią i każdym ciałem.

Newton wykonał takie obliczenia i wyciągnął wniosek, że siła przyciągania między dwoma masami maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między nimi (odległość między środkami mas). Sformułował więc prawo powszechnego ciążenia

Stałą proporcjonalności oznacza się G, więc

Newton oszacował wartość stałej G zakładając średnią gęstość Ziemi ρ = 5·10³ kg/m³ (porównać to z gęstością pierwiastków z układu okresowego np. ρ_Si = 2.8·10³ kg/m³, ρ_Fe = 7.9·10³ kg/m³).

Punktem wyjścia jest równanie:

Jeżeli weźmiemy r = R_Z to otrzymamy:

Zgodnie z II zasadą Newtona F = ma, gdzie a = g.

Stąd

więc

Wiemy, że M_Z = ρV_Z więc

Uwzględniając R_Z = 6.37·10⁶ m otrzymamy G = 7.35·10^-11 Nm²/kg² co jest wartością tylko o 10% większą niż ogólnie przyjęta wartość 6.67·10^-11 Nm²/kg².

Porównując przyspieszenie grawitacyjne na orbicie Księżyca i na powierzchni Ziemi, Newton zakładał, że Ziemia zachowuje się tak jakby jej cała masa była skupiona w środku. Zgadywał, że tak ma być ale dowód matematyczny przeprowadził dopiero 20 lat później (wtedy też sformułował rachunek całkowy).

Równanie nazywa się prawem powszechnego ciążenia, ponieważ dokładnie to samo prawo stosuje się do wszystkich sił grawitacyjnych. To samo prawo wyjaśnia spadanie ciał na Ziemię, tłumaczy ruch planet, pozwala obliczyć ich masy i okresy obiegu.

Ruch drgający

Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.

Siła harmoniczna

Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem

F = - kx

gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest prawo Hooke'a.

Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:

• dla wychylenia A

• dla prędkości ωA (występuje gdy x = 0)

• dla przyspieszenia ω²A (występuje gdy x = A)

Okres drgań

Funkcja cosωt lub sinωt powtarza się po czasie T dla którego ωT = 2π. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T

T = 2π/ω

Liczba drgań w czasie t jest równa

n = t/T

Liczba drgań w jednostce czasu

Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f

Dla ruchu harmonicznego więc otrzymujemy

Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A. Tę właściwość drgań harmonicznych prostych zauważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.

Wahadła

Wahadło proste

Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy.

Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone o kąt θ od pionu. Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi

F = mgsinθ

Podkreślmy, że siła jest proporcjonalna do sinθ, a nie do θ, więc nie jest to ruch prosty harmoniczny. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10°) to sinθ jest bardzo bliski 0 (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta) wynosi x = 10. Przyjmując zatem, że sinθ ≅0 otrzymujemy

Siła F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "-"). Jest to kryterium ruchu harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu F = - kx. Przy małej amplitudzie okres wahadła prostego wynosi więc

Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.

Wahadło fizyczne

Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.

P jest punktem zawieszenia ciała, a punkt S, znajdujący się w odległości l od punkt P, jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi

τ = - mglsinθ

Korzystając ze związku

τ = Iα =I(d²θ /dt²)

otrzymujemy

Dla małych wychyleń, dla których sinθ ≅ θ dostajemy równanie

To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc

lub

Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l. Wówczas I = ml² i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego

Wahadło fizyczne stosuje się do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.

Wahadło matematyczne

Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny

o masie „m” zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej

nici o długości „l” . Inaczej mówiąc jest to wahadło

doskonałe.

2.Wzory:

• równanie ruchu harmonicznego

• częstość drgań

• okres drgań

t- czas

n- ilość pełnych wychyleń

• przyspieszenie ziemskie

l-długość wahadła (dł. sznurka + promień kulki)

3.Przebieg doświadczenia:

Zawieszamy kulkę na cienkiej nici o długościach podanych

w tabeli. Mierzymy długość wahadła od punktu zawieszenia do środka kulki za pomocą zwijanej miary metalowej.

Aby dokładnie wyznaczyć T, mierzymy czas trwania 10 okresów, a następnie z wzoru na okres drgań otrzymujemy czas trwania jednego pełnego wahnięcia.

Do pomiaru czasu używamy stopera, który pozwala mierzyć czas z dokładnością do 0,01 s. Liczymy kolejne przejścia kulki przez jedno z położeń skrajnych.

L.p.	Długość l	Czas t	Okres T	Przyspieszenie g
A	1,214	21	2,1	10,86
B	0,919	17,5	1,75	11,84
C	0,636	15,8	1,58	10,05

4.Obliczenie błędów:

- błąd długości

- błąd okresu

Obliczamy błąd względny:

Dla A:

B:

C:

Obliczamy błąd bezwzględny:

Dla A:

B:

C:

Ostatecznie:

4.Wnioski:

Największy wpływ na wielkość błędu ma w naszym przypadku refleks mierzącego (tzn. nie jednoczesne włączenie stopera i puszczenie kulki ). W obliczeniach należy również uwzględnić błąd paralaksy przy mierzeniu długości wahadła. Podobnie duży wpływ na ów błąd ma liczba mierzonych okresów. Gdyby liczbę tę zwiększyć otrzymany wynik byłby bliższy oczekiwanego 9.81m/s².

1

---